Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Makai M: Neutrontranszport 1 Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció). Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf,

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Makai M: Neutrontranszport 1 Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció). Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf,"— Előadás másolata:

1 Makai M: Neutrontranszport 1 Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció). Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf, 1942) 1.Tétel. Legyen G(,u) egy analitikus leképezése a redukált fázis- térnek és tegyük fel, hogy létezik egy ismert u( ) megoldása az alábbi egyenletnek: Tegyük fel továbbá, hogy u( ) instabillá válik, mert a G u (,u) ope- rátor  ( ) sajátértéke nullává válik = 0 -nál Tegyük fel, hogy  ( 0 )=0 és  ’( 0 )>0. Akkor létezik egy sima, nemtriviális megoldás (  ), u(  ), ami elágazik az u( ) megoldásból ( 0,u 0 )-nál. Itt G(,u) egy nemlineáris operátor, benne a paraméter. Egy u(t) megoldás stabil, ha bármely  >0-hoz létezik létezik  >0 úgy, hogy esetén fennáll minden t-re:

2 Makai M: Neutrontranszport 2 A mérés Klasszikus rendszer: S-et kölcsönhatásba hozzuk egy B beren- dezéssel. Megvárjuk az egyensúly beállását, ebből meghatároz- zuk S kölcsönhatást leíró paraméterét. B-nek kontinuum sok állapota lehetséges. Nincs olyan kölcsönhatás, ahol a B berende- zés S egyedi részecskéivel hat kölcsön. Követelmények: legyen kölcsönhatás S mérendő mennyiségéhez B kevéssé változtassa meg S állapotát az egyensúly elfogadható időn belül álljon be. Példa: hőmérsékletmérés T1 S

3 Makai M: Neutrontranszport 3 A kölcsönhatások leírása Extenzív és intenzív mennyiségek, az intenzív mennyiségek kiegyen- lítődnek. Az intenzív mennyiségek gradiensei áramot indítanak, pl. A gradiens azonban kereszteffektusokkal is jár: az anyagi állandókat egy mátrix írja le: a j.-extenzív mennyiség árama az i-ik extenzív mennyiség gradiense (Onsager) Dufour-effektus (termodiffúzió), Peltier-effektus stb. anyagi állandó

4 Makai M: Neutrontranszport 4 Kvantumos rendszer Most a mérendő S rendszernek megszámlálhatóan sok lehetséges állapota van. B-nek viszont véges sok lehetséges állapota van. S lehet “tiszta állapotban” vagy “kevert állapotban”. Tiszta álla- potban S a mérendő fizikai mennyiség A operátrorának sajátálla- potában van: Valamely k-ra és  k S állapotfüggvénye. Ebben az állapotban A mérésének eredménye a k lesz. Kevert állapotban S állapotfüggvénye legyen , ami kifejthető a  k függvények szerint:

5 Makai M: Neutrontranszport 5 A mérés eredményeként valamelyik  p -t kapjuk, a mért érték a  p állapotban mérhető érték lesz. Állapotredukció. Yakir Aharonov (Univ. of South Carolina): Lehetséges kvantumos rendszeren mérést végezni anélkül, hogy a szuperpozíciót a mérés lerombolná. Phys. Letters A, 301, p.130 (2002) Javaslata: weak measurement (kíméletes mérés) Aharonov elvégezte azt a mérést, amit Lucien Hardy írt le, mint gondolatkísérletet.A kísérletben egy elektron és egy pozitron (anti elektron) kölcsönhatását vizsgálják egy interferométerben. A kíméletes mérés eredménye: nagy hiba, sok mérés átlaga vi- szont pontos.

6 Makai M: Neutrontranszport 6 Tekintsük az alábbi kísérletet ld.ábra).

7 Makai M: Neutrontranszport 7 Mind az elektron, mind a pozitron egy féligáteresztő tükörre esik. A tükör a részecskét két állapot szuper- pozíciójába viszi. A részecskék ebben az állapotban haladnak egy-egy csatornán. Az interferométer az út végén újra összehozza a két részecskét. Az ütközés eredménye attól függ, milyen állapotban vannak a részecskék. Ha a részecske zavartalanul utazik, akkor a C detektorba jut, ha viszont kölcsönhatásba lépett más részecskével vagy térrel, akkor a D detektorba jut. Ha az interferométer két csatornáját úgy képezzük ki, hogy azok találkoznak, akkor a találkozás helyén szétsugárzódnak. Ritkán, de előfordulhat, hogy mind- két részecske a D detektorba jut, azaz, találkoztak, de nem sugárzódtak szét. Vagyis, a kölcsönhatás úgy is vizsgálható, hogy mindkét részecske megmarad az eredeti állapotában. (2xD „jel” a mérés eredménye)

8 Makai M: Neutrontranszport 8 Liouville-tétel Amennyiben a részecskeszám megmarad, a fázistérbeli sűrűség nem változhat: A mozgásegyenletekből pedig tudjuk: Amennyiben at S rendszer termodinamikai egyensúlyban van, bármely lehetséges állapota egyenlően valószínű. (Posztulátum) Ezért csak olyan állapotokkal foglalkozunk, ahol a fluktuációk kicsik.

9 Makai M: Neutrontranszport 9 Milyen mennyiségeket lehet megfigyelni? A mérésekben makroszkopikus mérőberendezés lép kölcsönhatásba a vizsgált S rendszerrel. A mért jel (VÁLASZ) a következő alakú: a berendezés térfogata a berendezés paramétere S-re jellemző eloszlás fv. Példa: 1,neutrongázban: reakciógyakoriság, ott B=neutron hkrm 2, fémben vezetőképesség mérés: B-külső térerő, a válasz: elektro- mos áram

10 Makai M: Neutrontranszport 10 Lineáris válasz Itt B 0 az egyensúlyi érték. Ha F nem túl erős (az elektromos példa esetén j=  E) Általában: válaszfüggvény A mérés úgy történik, hogy egy makroszkopikus gerjesztés hat az S rendszerre és mérjük annak válaszát. A gerjesztés annyit jelent, hogy a Hamilton-operátor H0  H0+AF(t) módon megváltozik. Példa: Ha F(t) elektromos tér, akkor A a csatolást biztosító dipól- momentum (S egyik paramétere). A változás hatására S-ben is változások mennek végbe. Figyeljük meg a B mennyiség változását:

11 Makai M: Neutrontranszport 11 A transzportelmélet tárgya:   fotonok transzportja (sugárvédelem, orvosi vizsgálatok,csillagá- szat)  neutronok transzportja (reaktorfizika, plazmafizika, anyagszerke- zet vizsgálata neutronokkal)  elektrontranszport (különleges mikroelektronika tervezése)  anyagáramlás (folyadékok és gázok áramlása extrém körülmények között) Az előadásban többnyire csak általános kérdéseket érintünk, egyes módszereket viszont a neutrontranszport keretében dolgoztak ki (pl. aszimptotikus elmélet).

12 Makai M: Neutrontranszport 12 Boltzmann-féle transzportegyenlet Legyen N molekula V térfogatban, a hőmérséklet legyen kellően magas, a sűrűség pedig kellően alacsony ahhoz, hogy a molekulá- kat lokális hullámcsomagként lehessen kezelni. Ennek feltétele, hogy a molekulák közötti távolsághoz képest a de Brogli-féle hullámhossz legyen kicsi: Ebben a közelítésben a molekulát klasszikus részecskének lehet tekinteni, tehát lehet pontosan meghatározott helye és impulzusa. A molekulák között csak az ütközések révén van kcshatás, ennek hkrm-e adott (  ). A molekulákat egyformának tekintjük. Az edény faláról csak rugalmas visszaverődés lehetséges. A gázt sűrűség- függvénnyel írjuk le. N>>1, az infinitezimális térfogat d 3 r~ cm 3.

13 Makai M: Neutrontranszport 13 A gáz leírására f(r,v,t)-t használjuk, a független változókat  -tér elemeinek nevezzük. Az (r és v) változókat egyenlő cellákra osztjuk, az integrált összeggel helyettesítjük. f normálását így választjuk: Ha a molekulák egyenletesen vannak elosztva V-ben, akkor Feladat: meghatározni f(r,v,t)-t adott kcshatás esetén. Mivel t→  esetén f(r,v,t) meghatározza S minden egyensúlyi paraméterét, a kinetikus elmélet nem független a termodinamikai leírástól. Első lépésként vizsgáljuk meg, milyen egyenletből határozható meg az eloszlásfüggvény!

14 Makai M: Neutrontranszport 14 Kezdjük a kcshatás mentes esettel. Ekkor dt idő alatt: Az ütközések leírására bevezetjük a ütközési sebességet, amivel

15 Makai M: Neutrontranszport 15 Az ütközési integrálok kiszámítása v1v1 v2v2 v1’v1’ v2’v2’ + ugyanez a ‘ sebességekre is V=V’ és |u|=|u’|. Továbbá, d 3 v 1 d 3 v 2 =d 3 v 1 ’d 3 v 2 -ből következik: d 3 Vd 3 u=d 3 V’d 3 u’.

16 Makai M: Neutrontranszport 16 A reakciógyakoriság kiszámítása A reakciógyakoriság |u|-tól függ, V-től nem. Legyen u=  u|, ekkor az 1 sec alatt ( ,  +d  ) térszögbe szóródott moleku- lák számát Adja meg, itt I-az 1 cm 2 -en 1 sec alatt beeső molekulák száma,  (  ) a differenciális hkrm, mérhető mennyiség. Legyen A hkrm rendelkezik az alábbi szimmetriákkal: A v 2 -v 1 és v 2 ’-v 1 ’ vektorok által bezárt szög a Időtükrözés: b Térbeli forgatás:

17 Makai M: Neutrontranszport 17 c Fordított ütközés: Az ütközési integrál kiszámításához az alábbi feltevésekkel élünk: csak bináris ütközéseket veszünk figyelembe az edény falának hatását elhagyjuk feltesszük: a szórási folyamatra külső erők nem hatnak a molekula sebessége nem függ a térbeli helyétől Az utolsó feltevés rögzíti a molekuláris káoszt. Az r körüli d 3 r-ben található (v 1,v 1 +d 3 v 1 ) sebességű és az r körüli d 3 r-ben található (v 2,v 2 +d 3 v 2 ) sebességű molekula- párok száma

18 Makai M: Neutrontranszport 18 Határozzuk meg, a v 1 sebességű molekulákra eső v 2 sebességű molekulák áramát: A dt idő alatti ütközések száma: Az R ki d 3 v 1 tagot ebből úgy kapjuk, hogy integrálunk v 2 -re és megszorozzuk f(r,v 1,t)-vel: Az R be d 3 v 1 tagot analóg módon állíthatjuk elő:

19 Makai M: Neutrontranszport 19 A c szimmetria miatt  ’= , b miatt A Liouville-tétel miatt az infinitezimális térfogatok azonosak. Ezért: Az ütközési integrál R be -R ki,ezért stb.

20 Makai M: Neutrontranszport 20 Ezzel a sűrűségfüggvényre vonatkozó Botzmann-egyenlet:


Letölteni ppt "Makai M: Neutrontranszport 1 Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció). Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf,"

Hasonló előadás


Google Hirdetések