Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kombinatorika Véges halmazok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kombinatorika Véges halmazok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával."— Előadás másolata:

1 Kombinatorika Véges halmazok

2 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával és sorba rendezésével foglalkozik.

3 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Permutációk Valamely véges halmaz elemeinek egy lehetséges sorrendjét a halmaz egy permutációjának nevezzük. 2 elem 3 elem4 elem 2624

4 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A permutációk száma 2 elem: P 2 =2 3 elem: P 3 =3·2=3·P 2 =6 4 elem: P 4 =4·6=4·P 3 =24 5 elem: P 5 =5·24=5·P 4 = n elem: P n =n·P n-1 P 4 =4·3·2·1=24 P 2 =2·1=2 P 3 =3·2·1=6 P 5 =5·4·3·2·1=120 P 4 =4! P 2 =2! P 3 =3! P 5 =5! P n =n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 Faktoriális: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 Pn=n!Pn=n! Pn=n!Pn=n!

5 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A faktoriális tulajdonságai Pl: 4! = 4·3!12! = 12·11! Egyszerűsítsd a törteket: Oldd meg az egyenleteket: *

6 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példák A „Sorakozó!” vezényszóra 10 tanuló sorakozik fel tetszőleges sorrendben. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Írd fel az A = {a, b, c} halmaz elemeinek összes lehetséges sorrendjét.

7 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok Hány különböző módon ülhet le 4 személy 4 székre? Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 egy sorba rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 körbe rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. Hány lehetséges sorrendje lehet egy futóversenynek, ha a versenyzők száma 8. Hány 5 jegyű, 25-tel kezdődő szám írható fel az 1,2,3,4,5 számjegyekből, úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek?

8 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok Hány 6 jegyű 5-tel osztható szám írható fel a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek? Az 1234 alap-permutációból alkotott permutációk közül hányadik a 3421? Hányadik permutáció a JÓSKA, az AJKÓS alap- permutációból. Hogyan szól az AGIKLO alap-permutáció 586. permutációja?

9 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Ismétlés nélküli variációk Egy A halmaz elemeiből alkotható k elemszámú sorozatokat az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak nevezzük (k≤n). 3 elem (n=3) 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) 3. osztály (k=3)

10 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Ismétlés nélküli variációk száma

11 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példák Legyen A = {1, 2, 3, 4}. Írjuk fel az A halmaz különböző elemeiből alkotható összes kétjegyű és háromjegyű számot. 8 jelölt vizsgázik szóbelileg matematikából. az első napra 5 jelöltet kell beosztani. Hány beosztás lehetséges az első napra?

12 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel az 1, 2, …, 9 számjegyekből? Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekből? Hányféleképp tudunk kiválasztani 9 jelölt közül négyet, 4 különböző munkahelyre. 12 versenyző között hányféleképp oszthatjuk ki az arany, ezüst ill. bronzérmet?

13 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Ismétlés nélküli kombinációk Az n elemű A halmaz k elemet tartalmazó részhalmazait az A halmaz k-ad osztályú kombinációinak nevezzük. 4 elem: 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) 3. osztály (k=3)

14 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A kombinációk száma n=4, k=3

15 Az ismétlés nélküli kombinációk száma Tóth István – Műszaki Iskola Ada Új művelet:„n” a „k” felett

16 Példa Az iskola sakkcsoportjába 5 tanuló jár. Hányféleképp állíthatunk össze 3 tagú csapatot belőlük? Feltételezzük, hogy a csapatban mindenki egyenrangú – nem fontos a sorrend, csak a csapattagok személye – ismétlés nélküli kombináció:

17 Feladatok Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek másodosztályú kombinációit. Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek harmadosztályú kombinációit. Egy sakktornán 15 sakkozó vesz részt. Ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik, hány mérkőzést játszanak ezen a tornán?

18 Ismétléses permutációk Ha az A halmaz elemeiből álló sorozatban az x 1 elem k 1 -szer, az x 2 elem k 2 -ször, … az x n elem k n -szer szerepel, a sorozatot az A halmaz ismétléses permutációjának nevezzük.

19 Az ismétléses permutációk száma Összesen hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3 számjegyekből, amelyekben az 1 kétszer, a 2 háromszor és a 3 egyszer szerepel? ,stb különböző elem összes sorrendje: Megoldás:

20 Az ismétléses permutációk száma Hányféleképp lehet egy polcon egymás mellé rakni 3 angol, 2 francia és 5 német szótárt, ha az azonos nyelvű szótárak között nem teszünk különbséget?

21 Feladatok 1.Írd fel az 1,2,2,3,3 elemek összes permutációit! 2.Három angol, két német és három orosz futó áll rajthoz a futóversenyen. Hányféle sorrend lehetséges, ha csak a nemzetek közötti eredmény a mérvadó? 3.Hányféle gyöngysor készíthető 10 fehér és 15 türkizkék gyöngyből?

22 Ismétléses variációk ismétléses variációjánakHa az A halmaz elemeiből álló k tagú sorozatban vannak egyenlő eleme is, akkor ezt a sorozatot az A halmaz k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük.

23 Ismétléses variációk Az A = {1, 2, 3, 4} halmaz elemeiből alkotható kétjegyű számok: A számjegyek ismétlődnek! Összesen 16 = 4 2 ilyen szám van.

24 Az ismétléses variációk száma Az x 1 x 2...x k sorozatban az elemek ismétlődhetnek. Bármely helyre az A halmaz bármelyik eleme tehető: n·n·... ·n=n k eset.

25 Példa Hány háromjegyű számot írhatunk fel –az 1,2,3,4,5 –a 0,1,2,3,4,5 számjegyekből?

26 Feladatok 1.Írd fel az 1,2,3,4 elemek harmadosztályú ismétléses variációit! 2.A széf „kombinációs” zárán 4 tárcsa található, melyek mindegyikén a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C jelek láthatóak. Hány különböző variáció lehetséges a zár kinyitásához? 3.A sportfogadás szelvényen 13 mérkőzés eredményére lehet fogadni (1 – hazai győzelem, 2 – vendéggyőzelem és 0 – döntetlen). Hány szelvényt kell kitölteni a biztos találathoz?

27 Nem Igen Nem Igen

28 Ismétléses kombinációk Ha n elem k-ad osztályú kombinációjában megengedjük, hogy ugyanaz elem többször is szerepeljen, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Például: A={1,2,3,4}. Másodosztályú ismétléses kombinációk:

29 Az ismétléses kombinációk száma Hét versenyző hányféleképpen vihet el öt első díjat egy öttusaversenyen? Négy ötdinárossal hány különböző dobás lehetséges (fejek és írások száma)?

30 Binomiális tétel Binom: kéttagú algebrai kifejezés (a+b). Binomok hatványai:

31 Binomiális tétel Általában: Minden tagot, minden taggal szorozunk: A kifejtett binom egy tagja: Mennyi a B k+1 ? Ismétléses permutáció!!

32 Binomiális tétel Rövidebben:

33 A Pascal háromszög A Pascal háromszög n-edik sorának k-adik eleme:

34 Feladatok Hogyan szól a kifejezés 5. tagja? A kifejezés melyik tagja nem tartalmaz x-et?


Letölteni ppt "Kombinatorika Véges halmazok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával."

Hasonló előadás


Google Hirdetések