Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kombinatorika Véges halmazok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kombinatorika Véges halmazok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával."— Előadás másolata:

1 Kombinatorika Véges halmazok

2 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával és sorba rendezésével foglalkozik.

3 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Permutációk Valamely véges halmaz elemeinek egy lehetséges sorrendjét a halmaz egy permutációjának nevezzük. 2 elem 3 elem4 elem 2624

4 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A permutációk száma 2 elem: P 2 =2 3 elem: P 3 =3·2=3·P 2 =6 4 elem: P 4 =4·6=4·P 3 =24 5 elem: P 5 =5·24=5·P 4 =120... n elem: P n =n·P n-1 P 4 =4·3·2·1=24 P 2 =2·1=2 P 3 =3·2·1=6 P 5 =5·4·3·2·1=120 P 4 =4! P 2 =2! P 3 =3! P 5 =5! P n =n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 Faktoriális: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 Pn=n!Pn=n! Pn=n!Pn=n!

5 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A faktoriális tulajdonságai Pl: 4! = 4·3!12! = 12·11! Egyszerűsítsd a törteket: Oldd meg az egyenleteket: *

6 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példák A „Sorakozó!” vezényszóra 10 tanuló sorakozik fel tetszőleges sorrendben. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Írd fel az A = {a, b, c} halmaz elemeinek összes lehetséges sorrendjét.

7 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok Hány különböző módon ülhet le 4 személy 4 székre? Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 egy sorba rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 körbe rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. Hány lehetséges sorrendje lehet egy futóversenynek, ha a versenyzők száma 8. Hány 5 jegyű, 25-tel kezdődő szám írható fel az 1,2,3,4,5 számjegyekből, úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek?

8 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok Hány 6 jegyű 5-tel osztható szám írható fel a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek? Az 1234 alap-permutációból alkotott permutációk közül hányadik a 3421? Hányadik permutáció a JÓSKA, az AJKÓS alap- permutációból. Hogyan szól az AGIKLO alap-permutáció 586. permutációja?

9 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Ismétlés nélküli variációk Egy A halmaz elemeiből alkotható k elemszámú sorozatokat az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak nevezzük (k≤n). 3 elem (n=3) 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) 3. osztály (k=3)

10 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Ismétlés nélküli variációk száma

11 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példák Legyen A = {1, 2, 3, 4}. Írjuk fel az A halmaz különböző elemeiből alkotható összes kétjegyű és háromjegyű számot. 8 jelölt vizsgázik szóbelileg matematikából. az első napra 5 jelöltet kell beosztani. Hány beosztás lehetséges az első napra?

12 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel az 1, 2, …, 9 számjegyekből? Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekből? Hányféleképp tudunk kiválasztani 9 jelölt közül négyet, 4 különböző munkahelyre. 12 versenyző között hányféleképp oszthatjuk ki az arany, ezüst ill. bronzérmet?

13 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Ismétlés nélküli kombinációk Az n elemű A halmaz k elemet tartalmazó részhalmazait az A halmaz k-ad osztályú kombinációinak nevezzük. 4 elem: 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) 3. osztály (k=3)

14 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A kombinációk száma n=4, k=3

15 Az ismétlés nélküli kombinációk száma Tóth István – Műszaki Iskola Ada Új művelet:„n” a „k” felett

16 Példa Az iskola sakkcsoportjába 5 tanuló jár. Hányféleképp állíthatunk össze 3 tagú csapatot belőlük? Feltételezzük, hogy a csapatban mindenki egyenrangú – nem fontos a sorrend, csak a csapattagok személye – ismétlés nélküli kombináció:

17 Feladatok Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek másodosztályú kombinációit. Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek harmadosztályú kombinációit. Egy sakktornán 15 sakkozó vesz részt. Ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik, hány mérkőzést játszanak ezen a tornán?

18 Ismétléses permutációk Ha az A halmaz elemeiből álló sorozatban az x 1 elem k 1 -szer, az x 2 elem k 2 -ször, … az x n elem k n -szer szerepel, a sorozatot az A halmaz ismétléses permutációjának nevezzük.

19 Az ismétléses permutációk száma Összesen hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3 számjegyekből, amelyekben az 1 kétszer, a 2 háromszor és a 3 egyszer szerepel? 112223112232 112322 113222,stb. 1112212223311122122233 6 különböző elem összes sorrendje: Megoldás:

20 Az ismétléses permutációk száma Hányféleképp lehet egy polcon egymás mellé rakni 3 angol, 2 francia és 5 német szótárt, ha az azonos nyelvű szótárak között nem teszünk különbséget?

21 Feladatok 1.Írd fel az 1,2,2,3,3 elemek összes permutációit! 2.Három angol, két német és három orosz futó áll rajthoz a futóversenyen. Hányféle sorrend lehetséges, ha csak a nemzetek közötti eredmény a mérvadó? 3.Hányféle gyöngysor készíthető 10 fehér és 15 türkizkék gyöngyből?

22 Ismétléses variációk ismétléses variációjánakHa az A halmaz elemeiből álló k tagú sorozatban vannak egyenlő eleme is, akkor ezt a sorozatot az A halmaz k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük.

23 Ismétléses variációk Az A = {1, 2, 3, 4} halmaz elemeiből alkotható kétjegyű számok: 11213141 12223242 13233343 14243444 A számjegyek ismétlődnek! Összesen 16 = 4 2 ilyen szám van.

24 Az ismétléses variációk száma Az x 1 x 2...x k sorozatban az elemek ismétlődhetnek. Bármely helyre az A halmaz bármelyik eleme tehető: n·n·... ·n=n k eset.

25 Példa Hány háromjegyű számot írhatunk fel –az 1,2,3,4,5 –a 0,1,2,3,4,5 számjegyekből?

26 Feladatok 1.Írd fel az 1,2,3,4 elemek harmadosztályú ismétléses variációit! 2.A széf „kombinációs” zárán 4 tárcsa található, melyek mindegyikén a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C jelek láthatóak. Hány különböző variáció lehetséges a zár kinyitásához? 3.A sportfogadás szelvényen 13 mérkőzés eredményére lehet fogadni (1 – hazai győzelem, 2 – vendéggyőzelem és 0 – döntetlen). Hány szelvényt kell kitölteni a biztos találathoz?

27 Nem Igen Nem Igen

28 Ismétléses kombinációk Ha n elem k-ad osztályú kombinációjában megengedjük, hogy ugyanaz elem többször is szerepeljen, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Például: A={1,2,3,4}. Másodosztályú ismétléses kombinációk: 11121314222324 333444

29 Az ismétléses kombinációk száma Hét versenyző hányféleképpen vihet el öt első díjat egy öttusaversenyen? Négy ötdinárossal hány különböző dobás lehetséges (fejek és írások száma)?

30 Binomiális tétel Binom: kéttagú algebrai kifejezés (a+b). Binomok hatványai:

31 Binomiális tétel Általában: Minden tagot, minden taggal szorozunk: A kifejtett binom egy tagja: Mennyi a B k+1 ? Ismétléses permutáció!!

32 Binomiális tétel Rövidebben:

33 A Pascal háromszög 11 121121 13311331 1464114641 15101051 A Pascal háromszög n-edik sorának k-adik eleme:

34 Feladatok Hogyan szól a kifejezés 5. tagja? A kifejezés melyik tagja nem tartalmaz x-et?


Letölteni ppt "Kombinatorika Véges halmazok. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával."

Hasonló előadás


Google Hirdetések