Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA I. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖKI BSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI BSc.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA I. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖKI BSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI BSc."— Előadás másolata:

1 MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA I. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖKI BSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI BSc

2 HEFOP )Fogalmak 2)Bázistranszformáció 3)Lineáris egyenletrendszerek megoldása 4)Mátrix inverzének meghatározása LINEÁRIS TEREK, BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ÁTTEKINTÉSE

3 HEFOP ) Fogalmak Vektor alatt a következőkben A n,1 =a n =a n elemű oszlopvektort értünk Egy V  halmazt valós vektortérnek, elemeit vektoroknak nevezzük, ha értelmezve van benne az összeadás és a skalárral szorzás ez nem vezet ki a térből: eredményük is V-be tartozó vektort ad. Legyenek az alábbi 2 elemű vektorok egy V vektortér elemei Ezekből további vektorok állíthatók elő. Például: tetszőleges  1,  2  R skalárokkal  1 a 1 +  2 a 2 = b  Vvízszintes irányú vektorok  1 a 1 +  2 a 3 = b  Vsíkbeli vektorok Az a 1, a 2,…,an  V vektorok  1,  2,…,  n  R skalárokkal vett lineáris kombinációján az  1 a 1 +  2 a 2 + …+  n a n = b vektort értjük.

4 HEFOP Vizsgáljuk meg az a 1, a 2, a 3 vektorok lineáris kombinációjával a 0 vektor előállítási lehetőségét:  1 a 1 +  2 a 2 = 0itt a 1 =-a 2 így pl  1 =1,  2 =2  1 a 1 +  2 a 3 = 0itt csak  1 =  2 =0 a megoldás Az a 1, a 2,…,a n  V vektorok lineárisan függetlenek, ha az  1 a 1 +  2 a 2 + …+  n a n = 0 lineáris kombináció csak  1 =  2 = … =  n = 0 esetén áll fenn. lineárisan függőek: egyébként Következmény: lineárisan független vektorok közül egyik sem fejezhető ki lineárisan függő vektorok között van olyan, amelyik kifejezhető a többi vektor lineáris kombinációjaként. Egyenes mentén: max. 1 lineárisan független vektor – 1 dimenziós tér Síkbeli vektorok: max. 2 lineárisan független vektor – 2 dimenziós tér 3 elemű vektorok: max. 3 lineárisan független vektor – 3 dimenziós tér

5 HEFOP Egy V  tér n dimenziós, ha n lineárisan független vektor van, de n+1 már nincs a vektorai között. Az a 1, a 2,…,a n  V vektorrendszer az n dimenziós tér bázisa, ha lineárisan független rendszer és a tér bármely vektora lineárisan kombinálható belőle. Pl. az a 1, a 3 vagy az a 2, a 3 a sík bázisai Bizonyítható, hogy bázisvektorokból a tér bármely vektora egyértelműen generálható. Példák bázisokra: síkban: → i, j egységvektorok (középiskolából), → bármely két nem egy egyenesbe eső vektor n dimenziós térben: e 1, e 2,…,e n triviális bázis ebben egy tetszőleges vektor könnyen megadható: Például b=(b 1,b 2,…,b n ): b=b 1 e 1 +b 2 e 2 +…+b n e n formában Egy V térben több bázis is megadható.

6 HEFOP Egy a 1, a 2,…,a n  V vektorrendszer rangja = maximális (tovább már nem bővíthető) lineárisan független részrendszereinek száma. Jele: rang(a 1, a 2,…,a n ) Pl. Korábbi példánkra rang(a 1, a 2, a 3 )=2 Egy A(a 1, a 2,…,a n ) mátrix rangja= oszlop/sor vektoraiból álló vektorrendszer rangja. Jele: rang(A) Pl. ha a mátrix oszlopvektorai az előző a 1, a 2, a 3 vektorok, akkor rang(A)=2 Egy b vektor kompatíbilis az a 1, a 2,…,a n vektorrendszerrel, ha kifejezhető ezek lineáris kombinációjaként.

7 HEFOP ) Bázistranszformáció Elemi bázistranszformáció Tudjuk, hogy a bázisvektorok segítségével a tér bármely vektora egyértelműen generálható. Legyen b 1,b 2,...,b n a V=R n n dimenziós tér egy bázisa, s ebben egy tetszőleges v vektor v= v 1 b 1 +v 2 b v k b k +...+v n b n Elemi bázistranszformáció: egy vektor koordinátáit olyan új bázisra adjuk meg, melyben egy bázisvektort újra cseréltünk. Cseréljük ki pl. b k -t egy a vektorral, majd adjuk meg v-t a b 1,...,b k-1, a,b k+1,...,b n bázisban.

8 HEFOP Legyen a régi bázisban a: a=a 1 b 1 +a 2 b a k b k +...+a n b n Innen b k –t kifejezve (feltesszük, hogy a k  0) b k = -a 1 /a k b 1 -a 2 /a k b /a k a-...-a n /a k b n s ezt v képletébe írva v =( v 1 - v k /a k a 1 ) b 1 +…+ v k /a k a+ …+( v n - v k /a k a n ) b n majd az r=1/a k és a q=v k /a k jelöléseket használva a vektorok koordinátái a régi ill. az új bázisban a táblázatokban láthatók:

9 HEFOP Az elemi bázistranszformáció lépései: -A bázisba vonandó vektor egy nem zéró koordinátáját generáló elemnek választjuk -A generáló elem sorában lévő bázisvektort és a bázisba vonandó vektort a táblázatban kicseréljük egymással -A generáló elem helyébe a reciprokát írjuk, oszlopát a generáló elem negatívjával osztjuk, ezzel megkaptuk a bázisból kikerült vektor koordinátáit az új bázisra -A többi vektor generáló elem helyével egyező sorát osztjuk a generáló elemmel. E vektorok többi új koordinátáit úgy kapjuk, hogy a régi (pl. i-ik) koordinátájából kivonjuk az előbbi osztással kapott hányados és a generáló elem ugyanezen (i.-ik) koordinátájának szorzatát.

10 HEFOP A bázistranszformáció és alkalmazásai Az elemi bázistranszformáció többszöri alkalmazásakor - amikor általában teljesen újra cseréljük a régi bázist - már bázistransz-formációról beszélünk. Kiindulási (régi) bázisként rendszerint az egységvektorokból álló bázist használjuk. A bázistranszformáció alkalmazási lehetőségei: a.Vektorok lineáris függőségének, -függetlenségének meghatározása b.Vektorrendszer rangjának meghatározása c.Adott vektorok által generált tér dimenziójának megadása d.Adott oszlopvektorokból álló mátrix rangjának megadása e.Kompatibilis-e adott vektor egy vektorrendszerrel f.Lineáris egyenletrendszer megoldása g.Mátrix inverzének meghatározása.

11 HEFOP Legyenek a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = b 1 = b 2 = Válaszoljuk meg az kérdéseket, ha a 1,…,a 5 az adott vektorrendszer! Végezzük el a bázistranszformációt! Kiindulási bázis: e 1, e 2, e 3, e 4. Új bázis: az a 1,…,a 5 vektorokból választott bázis. Adjuk meg ebben az új bázisban a bázisba be nem vont vektorokat valamint a b vektorokat! 0.a1a2a3a4a5b1b21.a2a3a4a5b1b22.a3a4a5b1b2 e a e e a21121 e e e e e400000

12 HEFOP Válaszok: a.Az a 1,…,a 5 vektorrendszer lineárisan függő, mert pl. a 3 =2a 1 +a 2 b.rang(a 1,…,a 5 )=2 mert max. 2 lineárisan független van közöttük c.rang(A)=2 d.dim(a 1,…,a 5 )=2 Kompatibilisek-e a b vektorok? e. b 1 kompatibilis, mert b 1 =2a 1 -a 2, de b 2 nem kompatibilis, mert b 2 =3a 2 +a 2 +4e 3

13 HEFOP ) Lineáris egyenletrendszerek megoldása Megoldhatók-e az Ax=b 1 illetve az Ax=b 2 egyenletrendszerek? Általánosan, az a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2 … a m1 x 1 +a m2 x a mn x n =b m vagy Ax=bA az együttható mátrix ill. a 1 x 1 +a 2 x a n x n =ba i az x i –k, b a b j -k vektora m egyenletből álló n ismeretlenes egyenletrendszer -megoldható, ha b kompatibilis az a 1,a 2,...,a n vektorrendszerrel, -különben nincs megoldása az egyenletrendszernek. Az Ax=b 1 megoldható, az Ax=b 2 nem oldható meg, mert van, ill. a második esetben nincs olyan x –megoldás- vektor, melynek koordinátáival a b vektor lineárisan kombinálható (L e. pont is)

14 HEFOP Lineáris egyenletrendszer megoldása bázistranszformációval. A bázistranszformáció befejezése után jelentse A r =(a 1,a 2,...,a r ) a bázisba vont új vektorok mátrixát, ahol r  min(m,n) a mátrix rangja E r : rxr-es egységmátrixot x r : a bázisba vont a i vektorok x i skalárszorzóiból képzett oszlopvektort x s : a bázisba nem vont a i vektorok x i skalárszorzóiból képzett oszlopvektort D : a bázisba nem vont a i vektorok alatti együtthatókból képzett mátrixot d : a jobboldali konstansok (b) transzformált alakját  Ha a táblázatban csupa 0 sorok találhatók, ezek elhagyhatók (nem független egyenletek)  Ha az a i vektorok alatt vannak csupa 0 elemekből álló sorok, de a b vektor sorában itt nem 0 van, akkor b nem kompatibilis, az egyenletrendszernek nincs megoldása

15 HEFOP A bevezetett jelölésekkel: A= A r (E r, D) és b = A r d alakba írható, melyekkel A x = b A r (E r, D) x = A r d E r x r + D x s = d x r =d – D x s az egyenletrendszer általános megoldása Jelölje r az együtthatómátrix rangját, n az ismeretlenek számát. Ha  r  n akkor irreguláris az egyenletrendszer  r = n akkor reguláris az egyenletrendszer Ha a jobboldali konstansok vektora  b=0, akkor homogén az egyenletrendszer  b  0, akkor inhomogén az egyenletrendszer

16 HEFOP A megoldható egyenletrendszerek típusai és ezek megoldása: 1. Ha r

17 HEFOP Példánkra: a) Az irreguláris inhomogén rendszer megoldása: x r = d - D x s Ahonnan x 1 = 2-2x 3 +x 4 +x 5 = 2 0 2… x 2 =-1-x 3 -x 4 -2x 5 =-1-2-5… x 3 == 0 1 1… x 4 == 0 0 1… x 5 == 0 0 1… x 1 =2-2x 3 +x 4 +x 5 ez az egyenletrendszer általános x 2 =-1-x 3 -x 4 -2x 5 megoldása x 3, x 4, x 5 helyébe tetszőleges valós számokat helyettesítve végtelen sok un partikuláris megoldás kapható

18 HEFOP b) Ha a b=0 lenne, irreguláris inhomogén: x r = - D x s x 1 =2x 3 +x 4 +x 5 =0-20… x 2 =x 3 -x 4 -2x 5 =0-1-4… x 3 ==011… x 4 ==001… x 5 ==001… c) Ha csak a 1, a 2 és b 1 lenne, reguláris inhomogén: x=d x 1 = 2 x 2 =-1 d) Ha csak a 1, a 2 és b=0 lenne, reguláris homogén: x=0 x 1 =0 x 2 =0

19 HEFOP ) Mátrix inverzének meghatározása Legyen A nxn-es mátrix. Jelölje X az inverzét! Ekkor az AX=E mátrixegyenletet kell megoldani. Mátrixegyenletünk (Ax 1 Ax 2 … Ax n ) = (e 1 e 2 … e n ) formába írható, ahol az x i ill. e i vektorok az X ill. E mátrix i. oszlopvektorát jelölik Az X inverzmátrix az Ax 1 = e 1 Ax 2 = e 2 … Ax n = e n egyenletrendszerek megoldásaiból kapható, amit az egység- vektoroknak az A oszlopvektoraira, mint bázisra nyert koordinátái adnak.

20 HEFOP Példa Próba 2.e1e2a3 a a2-313 e a1a2a3 e112-2 e237-3 e309 1.e1a2a3 a112-2 e2-313 e e1e2e3 a a a37-21

21 HEFOP ÖSSZEFOGLALÁS A lineáris tér olyan vektorokból álló nem üres halmaz, melyekre az összeadás és a skalárral való szorzás értelmezve van, és ezek eredménye is e térbeli vektort ad. Értelmeztük a lineáris kombináció, lineáris függetlenség, vektorrendszer-, mátrix rangja, dimenzió, bázis, kompatibilitás fogalmát. Bázistranszformációval lehetővé vált a)Vektorok lineáris függőségének, -függetlenségének meghatározása b)Vektorrendszer rangjának meghatározása c)Adott vektorok által generált tér dimenziójának megadása d)Adott oszlopvektorokból álló mátrix rangjának megadása e)Vektor adott vektorrendszerrel való kompatibilitásának vizsgálata f)Lineáris egyenletrendszer megoldása g)Mátrix inverzének meghatározása

22 HEFOP ELLENÖRZŐ KÉRDÉSEK 1.Mit nevezünk lineáris vagy vektortérnek? 2.Mit értünk vektorok lineáris függetlenségén, vektorrendszer rangján? 3.Mi tekinthető egy n dimenziós tér bázisának, melyik a legegy- szerűbb bázis? 4.Hogyan írható mátrixos ill. vektoregyenlőség formában fel egy lineáris egyenletrendszer, mikor van megoldása az egyenlet- rendszernek? 5.Milyen típusai vannak a lineáris egyenletrendszereknek, milyen képletek adják ezek megoldását? 6.Hogy határozható meg egy négyzetes mátrix inverze bázistranszformációval?

23 HEFOP Felhasznált források Szakirodalom: Bíró F.- Vincze Sz.: A gazdasági matematika alapjai. Egyetemi jegyzet, 2002 Egyéb források: Obádovics J. Gy-Szarka Z: Felsőbb matematika. Scolar Kiadó, Budapest, 1999 További ismeretszerzést szolgáló források: Sydsaeter – Hammond : Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó1998

24 HEFOP Az előadás anyagát készítette: Dr. Drimba Péter KÖSZÖNÖM A FIGYELMÜKET! KÖVETKEZŐ ELŐADÁS CÍME: TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK


Letölteni ppt "MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA I. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI AGRÁRMÉRNÖKI BSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI BSc."

Hasonló előadás


Google Hirdetések