A kondicionális törvényei Modus ponens avagy leválasztási szabály (MP): “Ha A, akkor B”-ből és A-ból következik B. Formálisan: A  B, A  B Modus tollens.

Az előadások a következő témára: "A kondicionális törvényei Modus ponens avagy leválasztási szabály (MP): “Ha A, akkor B”-ből és A-ból következik B. Formálisan: A  B, A  B Modus tollens."— Előadás másolata:

1 A kondicionális törvényei Modus ponens avagy leválasztási szabály (MP): “Ha A, akkor B”-ből és A-ból következik B. Formálisan: A  B, A  B Modus tollens (MT): “Ha A, akkor B”-ből és “Nem B”-ből következik “Nem A”. Azaz: A  B,  B   A Kontrapozíció elve: A  B   B   A (Vigyázni az előidejűségre! Köznyelvben “Ha A, akkor B” “Csak akkor  B, ha  A”-val egyenértékű.) Még egy fontos törvény: A  (B  C)  (A  B)  C A kondicionális nem asszociatív! A  (B  C) nem ekvivalens (A  B)  C –vel. Egy következtetési szabály: A  B, B  C  A  C ( láncszabály)

2 Lebontási szabályok a kondicionálishoz Emlékeztető: A  B   A  B   (A  B) Negálatlan kondicionális lebontása: A  B ABAB Negált kondicionális lebontása:  (A  B) A BB A láncszabályt könnyen igazolhatjuk analitikus fával. Keressünk analitikus fával olyan igazságértékelést, amely mellett “A  (B  C)” igaz, “(A  B)  C” pedig hamis!

3 Kitérő a szigorú kondicionálisról Egy kondicionális akkor hamis, ha az előtagja igaz és az utótagja hamis. És mikor hamis egy feltételes állítás? Y tényleg azt állítja, hogy Z csődbe fog menni és nem lesz öngyilkos? Talán valószínűbb értelmezés, hogy erre gondol: Lehetséges, hogy Z csődbe megy és mégsem lesz öngyilkos. De akkor X feltételes kijelentése azt jelentette, hogy: Lehetetlen, hogy (Z csődbe megy és nem lesz öngyilkos). Azaz más szavakkal: Szükségszerű, hogy ( (Z csődbe megy)  (Z öngyilkos lesz)) Ez a feltételes kijelentések szigorú kondicionális olvasata. Nagyjából Leibnizig egyeduralkodó a logika történetében, kivéve: megarai Philón. A 20-21. században is számos híve van, C.I.Lewistól kezdve. Olyan logikai rendszerben érhető el, amelyben vannak „szükségszerű, hogy”, „lehetséges, hogy” jelentésű konnektívumok (modális logika). X: Ha Z csődbe megy, akkor öngyilkos lesz. Y: Ez nem igaz!

4 Bikondicionális (1) Csak akkor kaptok, ha maradtok. (2) Kaptok, ha maradtok. (1) azt állítja, hogy annak, hogy kapnak, szükséges feltétele az, hogy maradjanak. (2) azt, hogy elégséges feltétele. A kettő konjunkciója szükséges és elégséges feltétel: (1)  (2) Akkor, de csak akkor kaptok, ha maradtok. Ez a (materiális) bikondicionális. Hibás elnevezése: (materiális) ekvivalencia. Jele: ‘  ’ (régebben: ‘  ’) Rövidített kifejezése: angolul iff, magyarul csakkor vagy hha. A  B  (A  B)  (B  A)  (A  B)  (  A   B) Akkor igaz, ha A és B igazságértéke megegyezik. AB A  B TTT TFF FTF FFT h

5 A bikondicionális negációja:  (A  B) akkor igaz, ha A és B igazságértéke különbözik. Ez tkp. a ̒vagy’ kizáró használatának felel meg. Szokás  -val rövidítani és kizáró diszjunkciónak nevezni. (Mi nem vezetjük be külön konnektívumként.) A bikondicionális lebontási szabályai: A  B AAAA BBBB  (A  B) A AA A  B B Itt kell használni a Ruzsa program harmadik lebontási opcióját (elágaztatás, de mindkét ágra két mondat kerül).

6 A bikondicionális nyilvánvalóan kommutatív. Asszociatív-e? Határozzuk meg analitikus fával (A  B)  C igazságfeltételeit! Akkor igaz, ha A, B és C között páros sok hamis van. (Ez általánosítható.)

7 Használat és említés “A  B” azt jelenti, hogy A-nak és B-nek történetesen, itt és most megegyezik az igazságértéke. “A  B” azt jelenti, hogy A-nak és B-nek logikai okokból mindig megegyezik az igazságértéke. Avagy azt jelenti, hogy “A  B” logikai igazság. Még egy fontos különbség: Amikor egy “A  B” vagy “A  B” alakú mondatot állítok, akkor az A és B mondatokat használom, nem pedig említem. Amikor azt állítom, hogy A-ból következik B, vagy A ekvivalens B-vel, akkor az A és B mondatokat megnevezem, róluk állítok valamit, tehát említem őket. Köznyelvben, konkrét példában az ̒az, hogy’ kifejezés használata utal erre. Abból, hogy b kocka, következik az, hogy nem tetraéder. A ̒Cube(b)  Tet(b)’ mondat a blokknyelv egy logikai (analitikus) igazsága. Amikor nyelvi jelekről beszélünk, ügyelnünk kell a használat és az említés megkülönböztetésére. Ennek eszköze az egyvesszős, direkt idézőjel, amely tetszőleges kifejezésből a kifejezés nevét állítja elő. Pl. az a jelsorozat, hogy ̒Jancsi’, egy fiúnévnek a neve. A kétvesszős (kvázi-) idézőjel sémából képez névsémát. Pl. amikor “A  B” alakú mondatokról beszélünk.

8 Házi feladatok (a megoldásokat nekem küldjék): 7.12 (fordítás FOL-ra, ajánlott hozzá a 7.13 is) Figyelem: az ̒̒̒̒only if’-fel ugyanaz a helyzet, mint a ̒̒̒̒csak akkor’-ral. “A only if B” azt jelenti, hogy A-nak szükséges feltétele B, azaz ha A fennáll, akkor B-nek is teljesülnie kell. Tehát FOL-fordítása: “A  B”. 8.47, 48, 53: döntsék el a következtetések helyességét analitikus fával. Ha egy következtetés nem helyes, adjanak rá ellenpéldát Tarski’s World-ben. A Ruzsa programban megjelent a Save gomb (béta verzióban). Ezzel a képernyőn lévő analitikus fát egy.tree kiterjesztésű fájlba tudják menteni. A fájl nevét a szokásos módon adják meg, tehát pl. 8.47_mate.tree. Most már ilyen formátumban küldjék a megoldásaikat. Ha problémát találnak a működésben, jelezzék. A saját gépükön levő.tree fájlokat az Open gombbal tudják újra megnyitni. A 8.46 feladatot megoldjuk órán. A 8.49-51 feladatokon érdemes elgondolkodni. A helyes következtetések is csak analitikusan helyesek, azaz lesz nyitott ág, de olyan mondatokkal, amelyek a blokknyelvben nem lehetnek egyszerre igazak. A 8.50 feladatot megoldását elfogadom a fentiek valamelyike helyett. Aki a házi feladatok jelentős részét megcsinálta és május 11-ig a mostaniakból is küld megoldást, annak a május 13.-i óráig ajánlok meg jegyet.