Kvantifikáció:  xA: az x változó minden értékére igaz, hogy…  a: értelmetlen. (Megállapodás volt: ̒a’, ̒b’, … individuumnevek.) Annak sincs értelme, hogy „Minden Lánchídra igaz, hogy …” Mi van, ha A-ban nem fordul elő x (a kvantorváltozó) szabadon? Igazságfeltétel volt: x összes megengedett értékére (az univerzum összes elemére) igaz az x mondat. Ha A-ban nem fordul elő az x szabadon, akkor A értéke nem függ x-től. Tehát “  xA” ugyanakkor igaz, amikor A. “  xA” ugyanígy. Ilyen esetben a kvantifikáció hatástalan. Zárójelek: A szintaxis szerint tagoló zárójelek csak többargumentumú konnektívumok alkalmazásakor kerülnek be egy FOL-mondatba. Tehát pl. így: (A  B) Konvenció: bizonyos fölösleges zárójeleket el lehet hagyni. Pl. kész FOL-mondatban a legkülsőket. Tehát negáció argumentuma, kvantifikáció hatóköre nem kerül automatikusan zárójelbe, csak ha kijelentéslogikailag összetett.

A logikai négyzet Arisztotelészi kategorikus kijelentések Egyetemes állító Minden, ami A, az B  x(A(x)  B(x))  x(A(x)   B(x)) Részleges állító Van olyan A, amely B  x(A(x)  B(x))  x(A(x)   B(x)) Egyetemes tagadó Egy A sem B  x(A(x)   B(x))  x(A(x)  B(x)) Részleges tagadó Van olyan A, ami nem B  x(A(x)   B(x))  x(A(x)  B(x)) kontra- diktórius kontrárius szubkontrárius szubaltern a o i e

Kontradiktórius párok: az egyik igaz, a másik hamis. Kontrárius párok: lehetnek egyszerre hamisak, de nem lehetnek egyszerre igazak. Szubkontrárius párok: lehetnek egyszerre igazak, de nem lehetnek egyszerre hamisak. Szubaltern kijelentés következik a fölötte levőből. Az i és e típusú kijelentések megfordíthatók, azaz ekvivalensek az A és B felcserélésével keletkező kijelentéssel. Az a típusú kijelentés gyengén megfordítható, azaz következik belőle megcserélt alannyal és állítmánnyal az i típusú kijelentés. Kivéve, ha …

Arisztotelész és követői szerint az a típusú kijelentések egzisztenciális súllyal (avagy nyomatékkal; existential import) rendelkeznek, azaz maguk után vonják, hogy az alanyterminus (A) terjedelme nem üres. Ez vagy azt jelenti, hogy “ Minden, ami A, az B”-t így kell értenünk:  x(A(x)  B(x))   xA(x), vagy azt, hogy a kategorikus kijelentésekben nem is szabad üres terjedelmű terminusokat használni. Az első esetben baj lesz a kontradiktórius viszonyokkal. A másodikban az elmélet érvényességi köre nagyon leszűkül, s főképp sok esetben nem tudjuk előre, teljesül-e a feltétel. HF: 9.10 Cél: egy szövegfájl (9.10_vezeteknev.doc,.docx vagy.rtf) tizenkét mondattal (angol vagy magyar, tetszés szerint). Mindegyik mondat zárt mondat. Következésképp a fordításban nem szerepelhet változó.

Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) Alapfelállás: -Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). - A játék tárgya egy zárt mondat: P. -Választanom kell egy elkötelezettséget: P igaz, avagy hamis. -Az ellenfél automatikusan a másikat választja. -A kezdésnél P az aktuális mondat, az én választásom szabja meg az elkötelezettséget. -A további lépésekben mindig változik az aktuális mondat is, az elkötelezettség is. -Azt, hogy ki jön a következő lépésben, mindig az aktuális mondat alakja és az elkötelezettségem együtt dönti el. -Ha pl. azt állítom, hogy “Q  R” igaz, akkor a Természet választhat Q és R között, hogy szerinte melyik hamis. Amit választott, az lesz az aktuális mondat, és én amellett leszek elkötelezve, hogy ez a mondat igaz. -Ha azt állítom, hogy hamis, akkor neki kell azt állítania, hogy igaz, tehát én választok (hogy szerintem melyik hamis).

- Ha “Q  R” igazságát állítom, akkor én választhatok, hogy melyiknek az igazságát akarom negvédeni, ha pedig a hamisságát, akkor a Természet választja ki, hogy szerinte melyik hamis. -Tehát mindegyik lépés eredménye egy új (egyszerűbb) mondat és egy új elkötelezettség. - Az igazság természetesen mindig egy adott világban értendő. - Végül eljutunk egy atomi mondatig és van vele kapcsolatban egy elkötelezettségem. Ha ez teljesül a világban, én nyertem, ha nem, a Természet. - Ha igazam van, akkor mindig van nyerő stratégiám (de veszíthetek is, ha rosszul játszom). -Ha nincs igazam, akkor a Természet fog nyerni (mert van nyerő stratégiája, és nem fog hibázni).

Játékszabályok kvantoros formulákra Ha azt állítom, hogy “  xP(x)” igaz, akkor kell tudnom mutatni egy olyan objektumot a világban, amelyre P(x) igaz. Nem biztos, hogy van neve, de adunk neki (egy új nevet akkor is, ha már van neki); legyen ez b. Tehát az eredmény: P(b) igazságát kell állítanom. Ha azt állítom, hogy “  xP(x)” hamis, akkor a Természet választ tetszése szerint egy b-t és nekem meg kell védenem P(b) hamisságát. Hasonlóképpen: ha “  xP(x)” igazságát állítom, akkor a természet választ b-t és nekem P(b) igazságát kell állítanom; ha pedig a hamisságát, akkor én választom meg az ellenpéldát, azaz azt a b-t, amelyre szerintem P(b) hamis. Példa (órai gyakorlásra) : 9.5 feladat Ajánlott otthoni munka: továbbjátszani 9.5 mondataival.

Logikai igazságok, helyes következtetések – újak és régiek0 000  x Él(x)  x Virul(x)  x(Él(x)  Virul(x))  x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x)  x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x)  x Él(x)  x Virul(x)  x (Él(x)  Virul(x)) Kijelentéslogikai következmények (TautCon) Elsőrendű következmény (FOCon) Nem következmény Tarski-ellenpélda?

Hasonlóképpen logikai igazságokkal:  xTet(x)  xTet(x) logikai igazság (tautológia)  xTet(x)  x  Tet(x) nem logikai igazság  x(Tet(x)  Tet(x)) (FO) logikai igazság, de nem tautológia.  xTet(x)   x  Tet(x) ugyancsak FO logikai igazság, de nem tautológia.  xTet(x)   xTet(x) tautológia. Definíció: Az elsőrendű nyelv egy mondata tautológia, ill. egy következtetése tautologikusan helyes (másképp: a konklúzió tautologikusan következik a premisszákból), ha a kijelentéslogikai formája tautológia, illetve helyes kijelentéslogikai következtetési séma. A kijelentéslogikai forma úgy áll elő, ha a kijelentéslogikában tovább nem bontható részmondatokat mondatbetűkkel helyettesítjük. Volt a szemináriumon, de pontosabb és részletesebb bemutatás: jövő héten. A tárgyalási univerzum nem lehet üres!