FIBONACCI SOROZAT

TÖRTÉNETE Leonardo Pisano (1170-1250): ismertebb néven Fibonacci olasz kereskedő-matematikus Kora matematikai ismereteit Liber Abaci címen ismert munkájában foglalta össze. E híres munkájában található a következő probléma, amit Fibonacci nyulaiként is gyakran emlegetnek: „Hány pár nyúlra szaporodik egy év alatt a kezdeti pár, ha tudjuk, a nyulak két hónap alatt válnak ivaréretté, és ezután minden pár minden hónapban egy új párnak ad életet és mindegyikük életben marad?”

Az egyes hónapokhoz tartozó nyúl-párok számát leíró: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … számsor Fibonacci-sorozat néven vonult be a matematika történetébe. Tehát a nyulak szaporodását leíró modell azt adta, hogy a nyulak száma meghatározott minta szerint növekszik minden új hónapban. Válasz: 144 db nyúl pár lesz (12. Fibonacci szám)

2. feladat: Egy túra során egy hegyre akarunk feljutni 2. feladat: Egy túra során egy hegyre akarunk feljutni. 3 út van: egy lanka szerpentin és 2 meredek ösvény. Hányféleképp juthatunk fel a hegy csúcsára a zászlóhoz (Z), ha haladhatunk bármelyik úton (akár felváltva is), de célunk mindig a feljebb jutás? A →A=1 A→B=1 A→C=2 A→D=3 A→E=5 A→F=8

3. feladat: Hányféleképp fedhetünk le egy 2xn-es négyzetrácsot 1x2-es dominókkal (egyrétűen, hézagmentesen, nem tudjuk a dominókat megkülönböztetni)?

TULAJDONSÁGOK A sorozat előállításának alapja az a tulajdonság, mely szerint a harmadik elemtől kezdve bármely elem az előző kettő összege. A sorozat definíciója ennek megfelelően: f1=1,f2=1 és fn=fn-1+fn-2, ha n>2 A Fibonacci-számokat előállító képlet: fn = 1 5 [ ( 1+ 5 2 ) 𝑛 − ( 1− 5 2 ) 𝑛 ]

ÉRDEKESSÉGEK A négyzetre emelésnél a négyzetre emelt tagok összege a Fibonacci sorozat elemeit adják meg. Hasonlóan érdekes, ha nem 2 négyzetre emelt tagot, hanem egyre többet adunk össze. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 1 1 4 9 25 64 .. 1+1=2 1+4=5 4+9=13 9+25 =34 1+1+4=2 ∙ 3 1+1+4+9 =15=3 ∙ 5 1+1+4+9+25=40=5 ∙ 8 1+1+4+9+25+64= 104=8 ∙ 13 1 2 +1 2 +2 2 +3 2 +5 2 +8 2 =8×13=104

A Fibonacci sorozat megtalálható továbbá a Pascal háromszögben is: f1 = 0 0 =1 f2 = 1 0 = 1 f3 = 2 0 + 1 0 = 2 f4 = 3 0 + 2 1 = 3 Általánosan: fn+1 = 𝑛 0 + 𝑛−1 1 + 𝑛−2 2 + … + 𝑛−𝑖 𝑖 ahol 𝑖 ≤ 𝑛-𝑖 és 𝑖 az 𝑛 2 -ig (𝑛/2 egészrészéig) megy el.

A Fibonacci sorozat a művészetekben is gyakran előkerül, a zenében, festészetben, szobrászatban. Ha tekintjük az egymást követő Fibonacci-számok hányadosait, azt tapasztaljuk, hogy ezek egyre inkább egy számhoz közelítenek, ez pedig hogy, hogy nem, épp az aranymetszés aránya, vagyis φ. Zongora- egy oktáv 13 billentyűt tartalmaz, ebből 8 fehér és 5 fekete billentyű, a fekete billentyűk 3 és 2 különálló csoportban vannak. rengeteg műalkotásban is megtalálható. Az ókori görög-római épületeket eszerint tervezték, Leonardo Da Vinci Mona Lisa festményén is megtalálható.

Fibonacci Tree House

Fibonacci NIM

FIBONACCI ALAPÚ SZÁMRENDSZER Zeckendorf-tétel: Minden pozitív egész szám felírható különböző Fibonacci számok összegeként; ha a Fibonacci számok között nem lehet két egymást követő, akkor a felírás egyértelmű. Ennek a tételnek köszönhetően létrehozható egy olyan számrendszer, amelynek helyi értékei: ... 34, 21, 13, 8, 5 , 3, 2, 1. Tekintettel arra, hogy a 2 szerepel a helyi értékek között, ezért ebben a számrendszerben csak két számjegy lehet (a 0 és az 1). A tétel második része következtében bármely pozitív egész szám Fibonacci számrendszerben való felírásakor egymás mellett két egyes nem állhat.

Fibonacci NIM Legyen a kavicsok száma x! Ha az x nem Fibonacci szám, akkor írjuk fel Fibonacci számrendszerben! Ha mindig annyi kavicsot veszünk el, mint amennyit a legkisebb helyi értékű 1-es számjegy jelez, akkor az ellenfél nem tudja elvenni a megmaradó kavicsok számában levő legkisebb helyi értékű 1-es számjegy által jelzett számú kavicsot.

FORRÁS Török Judit: A Fibonacci-sorozatról Tankönyvkiadó, 1984 http://hirmagazin.sulinet.hu/hu/pedagogia/fibonacci-nim http://www.blueforest.com/project/fibonacci-tree-house/ http://materd.uw.hu/09_01.html http://www.mathsisfun.com/numbers/fibonacci-sequence.html https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers Dr. Máté László: Rekurzív sorozatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980. Schultz János – Tarcsay Tamás: Matematika 11-12 emelt szint, Maxim Könyvkiadó, Szeged, 2012. Valamint felkészítő tanáraink: Vargáné dr. Nádházi Ágnes és Tarcsay Tamás

Thanks for your attention! Köszönjük a figyelmet! Thanks for your attention!