PPKE ITK 2008/09 tanév 8. félév (tavaszi) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése Tájékoztatás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Osztályozás 2.Általános eredmények 3.Pollaczek-Hincsin képlet – M/G/1 4.Prioritásos rendszerek 5.Állandó tartásidő 6.GI/G/1 7.Round Robin és processor megosztás Applied Queuing Theory Rendszerek egyetlen kiszolgáló szervvel. Már volt !

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – M/D/n (FCFS) Az igények ugyanolyan sorrendben hagyják el a rendszert, mint ahogy kiszolgálásra elfogadták azokat. Történelmi megjegyzések Erlang (1909, 1917, 1920) Fry (1928) Crommelin (1932, 1934) Polaczek (193~ ) Hincsin (1932) Állandó tartásidő, M|D|1 – 1. Alkalmazás eleinte csak pl. markerekhez, majd később a TPV kapcsolóközpontok, számítógépek és azok hálózatainak megjelenése után széleskörűen.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 2. M/D/1 állapotegyenletek hívásintenzitás tartásidő A rendszert a t és a t+h időpontban vizsgáljuk. A t időpontban kiszolgált, max. egy igény a t+h időpontban már nincs a rendszerben. A (t, t+h) intervallumban érkezett igények egyike a t+h időpontban kiszolgálás alatt áll, a többi várakozik. A beérkezett igények darabszáma: Poisson eloszlás

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 3. ………. Ha üres a rendszer és i érkezik, akkor h idő múlva még egy sem távozott. Ha van kiszolgálás, és i érkezik, akkor h idő múlva egy igény már távozott. levezetés: Jegyzet p

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 4. M/D/1, átlagos várakozási idő, foglaltsági periódus PASTA miatt a várakozás D valószínűsége: W az átlagos várakozási idő az összes igényre, w a várakozókra. A Pollaczek- Hincsin formulát alkalmazva w az M/G/1-re érvényes foglatsági periódus fele A foglaltsági periódus alatt beérkező igények eloszlása, Borel eloszlás (s = h !!) A formatényező = 1 2w =

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 5. Várakozási idő eloszlása, M/D/1 és FCFS Bizonyítható, hogy: ahol h=1 az időegység, t=T+ τ, T egész és 0 ≤ τ <1 Irregularitás, ha W = kT Numerikus számításra gyakorlatilag alkalmatlan. Kis várakozási időkre alkalmas közelítő képlet: Pontos számítás lehetséges, részletek: Jegyzet p. 277.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M|D|1 – 6. Példa M|M|1 M|D|1 FCFS-tfeltételezve

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M/D/n – 1. M|D|n állapotegyenletek: Kiszámítás közvetlenül csak akkor, ha ismert az első: Egyébként, ezekre becslést felvéve és alkalmazva a fenti összefüggést, iterációval megoldás kapható. Van lehetőség az állapot valószínűségek pontos és közvetlen kiszámítására generátor függvényeket alkalmazva.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M|D|n – 2. M/D/n, FCFS – várakozási idő eloszlása Van pontos képlet, de … (Crommelin) Zárt formájú, kis várakozási idők számítására alkalmas képlet:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Állandó tartásidő, M|D|n – 3. Átlagos várakozási idő W az összes igényre: Közelítő képlet: (Molina) Minden korlátlan számú várakozási hellyel rendelkező várakozásos rendszerre érvényes persze, hogy a ténylegvárakozó igények átlagos várakozási ideje: ahol:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – A csoport mindig a k. igényt fogja kiszolgálni. Erlang-k érkezési folyamat, E k |D|n – 1. Legyen n=r.k, r és k egész számok, GI bemeneti folyamat. Lefoglalási rend FIFO, ciklikusan, mindig azonos sorrendben Eltávozási sorrend = beérkezési sorrend. Adott kiszolgáló szerv mindig az éppen n. igényt fogja kiszolgálni. r k x x+k x+2k x+(r-1)k.. Lefoglalási sorrend

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Erlang-k érkezési folyamat, E k |D|n – 2. Így a várakozási idő eloszlása szempontjából az M/D/r.k, FCFS rendszer egyenértékű az E k /D/r, FCFS rendszerrel. E k /D/r tehát számítható M/D/n táblázatokból. Így rendszert kapunk. A az eredeti bemeneti folyamat, azaz a beérkezési idő eloszlás, k-szoros konvolúciója. Így rendszert kapunk. A az eredeti bemeneti folyamat, azaz a beérkezési idő eloszlás, k-szoros konvolúciója. Van tehát k darab rendszer. Ha GI Poisson folyamat, akkor Erlang-k beérkezési folyamat. The assumption about cyclic hunting of the servers is not necessary within the individual systems. State probabilities, mean waiting times etc. are independent of the queueing discipline, which is of importance for the waiting time distribution only.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Véges rendszer – M|D|1|k – 1 A várakozási helyek száma mindig véges a gyakorlatban. Állapotvalószínűségek: (Volt már M/G/1/k kapcsán !) aholés A > 1 esetében is alkalmazható eljárás: Jegyzet old.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Véges rendszer – M|D|1|k – 2 Traffic shaping Example : Leaky Bucket Leaky Bucket is a mechanism for control of cell (packet) arrival processes from a user (source) in an ATM–system. The mechanism corresponds to a queueing system with constant service time (cell size) and a finite buffer. If the arrival process is a Poisson process, then we have an M/D/1/k system. The size of the leak corresponds to the long-term average acceptable arrival intensity, whereas the size of the bucket describes the excess (burst) allowed. The mechanism operates as a virtual queueing system, where the cells either are accepted immediately or are rejected according to the value of a counter which is the integral value of the load function (Fig. 13.2). In a contract between the user and the network an agreement is made on the size of the leak and the size of the bucket. On this basis the network is able to guarantee a certain grade-of-service.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 1. Átlagos várakozási idő M/G/1 esetében (emlékeztetésként)Pollaczek-Hincsin: M/M/1: M/M/1: M/D/1: M/D/1: A várakozási idő csökken, ha a tartásidő „szabályosabb”.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 2. Átlagos várakozási idő GI/G/n esetében Nincs pontos képlet Átlagos várakozási idő GI/G/1 esetében Szerepet kapnak további momentumok Felső határ: ahol v = szórásnégyzet (б 2 ) v a = beérkezések közötti időre v a = beérkezések közötti időre v d = tartásidőre v d = tartásidőre Használható becslés: ahol a a beérkezések közötti átlagos idő (A=s/a, s=1 /μ, a=1/ λ ) Kingmanegyenlőtlenség Marchal közelítés

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 3. Állapotegyenletek GI/M/1 esetében GI-hez az f(t) sűrűségfüggvény tartozik. M megszűnési intenzitása μ. A rendszert tetszőleges időpontban vizsgálva nem Markov folyamat van, mert a beérkezés nem véletlen, függ az előző beérkezés időpontjától. PASTA nem érvényes. De közvetlenül a beérkezés előtt (vagy után) (equilibrium point) van, beágyazott Markov lánc (embedded Markov chain) található. Egy ilyen pontban π (i) a i állapot valószínűsége és egyenletet kielégítő pozitív valós gyök

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 4. Az igények távozása Poisson folyamat. Ha p(j) annak valószínűsége, hogy két regenerációs pont között j igény távozik, akkor felírható és π (i) nem annak valószínűsé- ge, hogy a rendszer egy tetszőleges időpontban a i állapotban van (time average), hanem, hogy köz- vetlenül egy igény érkezése előtt van az i állapotban (call average). ! a normálási feltétel

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 4. Jellemző mennyiségek: Várakozók átlagos száma közvetlenül egy igény érkezése előtt: A rendszerben lévők száma közvetlenül egy igény érkezése előtt: Egy igényt éppen kiszolgál a rendszer várhatóértékek

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 5. Jellemző mennyiségek (folytatás ): Átlagos várakozási idő az összes igény számára: Átlagos sorhosszúság a teljes időtengelyre vetítve (Little tétel !): Átlagos várakozási idő a tényleg várakozókra:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 6. Várakozási idő eloszlása - FCFS Exponenciális eloszlású várakozási idő paraméterrel. A rendszerbe beérkező igény azt találja, hogy az ott tartózkodó igények száma geometriai eloszlású. Ha egyáltalán várakoznia kell, akkor geometriai eloszlású exponenciális időtartamokat kell kivárnia. Ebből adódik az alábbi.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – GI|G|1 – 7. ε M = 2 ε D = 1

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Round Robin and Processor Sharing – 1. Ha Δs  0, akkor PS (Processor Sharing – fair queuing) Ha Δs  ∞, akkor M/G/1, FCFS Végtelen sor. M beérkezési folyamat intenzitással. G kiszolgálási folyamat s átlagértékkel Matematikailag jól kezelhető (Kleinrock 1967, 1976)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Round Robin and Processor Sharing – 2. Értelmezés: Ha a rendszerben i igény van, akkor mindegyik a kapacitás 1/i részét veszi igénybe. A sor kiszolgálási stratégia elveszíti jelentését. Ha <1, akkor kimutatható, hogy: geometriai eloszlás A/(1-A) várható értékkel. A t idejű igények (jobok) átlagos tartásideje (átlagos válaszideje): Ha A  0, akkor R t  t Mivel nincs hagyományos értelemben vett sor: Egy véletlenszerű job-ra: Ugyanaz mint M|M|1-re (E 2,1 (A)=A !)

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Round Robin and Processor Sharing – 2a.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-13-2 – Processor Sharing – 3. W Pollaczek-Hincsin: GI|G|1 Round- Robin ill. M|M|1