PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (őszi) Távközlési hálózattervezés forgalmi nézőpont Tájékoztatás 3. Várakozásos rendszerek.

Az előadások a következő témára: "PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (őszi) Távközlési hálózattervezés forgalmi nézőpont Tájékoztatás 3. Várakozásos rendszerek."— Előadás másolata:

1 PPKE ITK 2009/10 tanév 8. félév (őszi) Távközlési hálózattervezés forgalmi nézőpont Tájékoztatás http://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/ 3. Várakozásos rendszerek Manhattan Central Park

2 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 2 3.1 Várakozásos rendszerek jellemzése Jelölések Várakoztatási eljárások Prioritások Igények magatartása

3 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 3 Osztályozás 1. Rendszerek jellemzése Eloszlás típusok: Milyenek ezek ? Kendall féle jelölés

4 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 4 Osztályozás 2. Teljes jellemzés: További jelölések: K = n veszteséges rendszer A b csoportos érkezést (bulk or batch arrival). B b csoportos kiszolgálást, C ütemezett (clocked) kiszolgálást jelent. jelent.

5 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 5 Osztályozás 3. Várakoztatási stratégiák A fenti stratégiák esetében az összes igényre vonatkoztatott teljes várakozási idő egyforma.

6 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 6 Osztályozás 4. Eddigiek érkezési időpont vagy ismert tartásidőtől függő stratégiák. Alábbiak dinamikusak, a stratégia a rendszerben töltött idő függvénye.

7 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 7 Osztályozás 5. Prioritások Az egyes osztályokban a már említett stratégiák érvényesülhetnek

8 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 8 Osztályozás 6. Előfizetők viselkedése

9 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 9 3.2 Erlang várakozásos rendszer M|M|n A levezetések a jellemző értékek pontos megértését kívánják támogatni. Részletes levezetések: GG Honlap, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2009 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv

10 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 10 Erlang – M/M/n 1. A rendszer állapotát az benne tartózkodó összes igény (kiszolgálás alatt lévő és várakozó együtt) darabszáma mutatja. A rendszer n egyforma kiszolgáló szerv n egyforma kiszolgáló szerv teljes elérhetőség teljes elérhetőség ∞ számú várakozási hely ∞ számú várakozási hely PCT I igények PCT I igények

11 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 11 Erlang – M/M/n 2. Állapotegyenletek A=/μ

12 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 12 Erlang – M/M/n 3. Várakozás valószínűsége igény érkezik, amikor minden vonal foglalt ______________________________________________________ igény érkezik bármikor igény érkezik bármikor Erlang C képlet: Jelölések: Az azonnali kiszolgálás valószínűsége

13 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 13 Erlang – M/M/n 4. Lebonyolított forgalom (= felajánlott !) Van várakozó igény: Sorhosszúság mint v.v. = L Alkalmazott összefüggés: ha i < n ha i ≥ n

14 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 14 Erlang – M/M/n 5. Erlang C kiszámítása 1. 2. ahol korábbi rekurziós képletből Táblázatos számítási segédlet: GG Honlap, Gyakorlatok Erlang C táblázat A (forgalom), bármely N (vonalszám) kettőből a Erlang C (vár. val.) harmadik

15 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 15 Erlang – M/M/n 6.

16 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 16 Erlang – M/M/n 7. Átlagossorhosszúságtetszőlegesidőpontban PASTA ! Idő- és hívás átlagok egyformák

17 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 17 Erlang – M/M/n 8. Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban miatt a sor abszolút konvergens és így a differenciálás kihozható a sor összegezése elé Értelmezhető mint a várakozási helyek forgalma. PASTA ! Ha akkor:

18 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 18 Erlang – M/M/n 9. Átlagos sorhosszúság – ha van sor Feltételes valószínűség. Feltétel: = PASTA !

19 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 19 Erlang – M/M/n 10. Átlagos várakozási idő – minden igénylőre Little tétele miatt ahol: (érkezési gyakoriság) x (átlagos várakozási idő) továbbá, mivel L értelmezhető várakozási forgalomként és miatt

20 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 20 Erlang – M/M/n 11. Átlagos várakozási idő – a tényleg várakozókra w n (feltételes valószínűség) = = átlagos várakozási idő – minden igénylőre / várakozás valószínűsége

21 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 21 Erlang – M/M/n 12. Átlagos várakozási idő – a tényleg várakozókra: Átlagos várakozási idő – minden igénylőre: Átlagos sorhosszúság – ha van sor : Átlagos sorhosszúság – tetszőleges időpontban: Van várakozó igény – véletlen időpontban: Lebonyolított forgalom (= felajánlott !) Várakozás valószínűsége: Azonnali kiszolgálás valószínűsége:

22 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 22 Erlang – M/M/n 13. Példa: M/M/1 mivel hiszen: és 12.2.1 példa

23 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 23 Erlang – M/M/n 14. FCFS/FIFO first in first out LCFS/LIFO last in first out SIRO/RANDOM service in random order

24 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 24 3.3 M|M|n|S|S Palm várakozásos rendszer Részletes levezetések: GG Honlap, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2009 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv A levezetések a jellemző értékek pontos megértését kívánják támogatni.

25 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 25 A modell A rendszer PCT-II igények PCT-II igények n egyforma kiszolgáló szerv n egyforma kiszolgáló szerv teljes elérhetőség teljes elérhetőség S számú várakozási hely S számú várakozási hely S forgalomforrás S forgalomforrás M/M/n/S/S Palm féle gép-javítási modell (várakozásos PCT-II modell)

26 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 26 Palm – M/M/1/S/S – 1. Palm féle „Gépjavítási” modell (Várakozásos PCT-II) Igény-források Jelentkezési intenzitás intenzitás Kiszolgálásiintenzitás „Ülök a számítógép terminál előtt.” Figure 12.5: Palm’s machine-repair model. A computer system with S terminals (an interactive system) corresponds to a waiting time system with a limited number of sources (cf.Engset-case for loss systems).

27 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 27 Palm – M/M/1/S/S – 2. think time + responsetime R (response)= waiting + service T t  m t Tw  mwTw  mwTw  mwTw  mw T s  m s Időtartamok és várható értékek T t + R = circulation time =

28 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 28 Palm – M/M/1/S/S – 3. i = 0, a számítógép szabad (idle) i > 0, a számítógép foglalt (busy), (i-1) várakozó van (waiting), (i-1) várakozó van (waiting), (S-i) gondolkozik (thinking) (S-i) gondolkozik (thinking) metszeti egyenletek ! service intensity thinking intensity Az ábra „kifordítva” mintha az Erlang eset volna !! ( λ > μ, μ > γ csere )

29 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 29 Palm – M/M/1/S/S – 4. csonkítottPoissoneloszlás mindenki gondolkozik, senki sem áll sorban, kiszolgálás sincs Erlang B képlete S vonalra és ρ forgalomra „forgalom”: (service ratio)

30 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 30 Palm – M/M/1/S/S – 5. Mintha (!): a számítógép μ intenzitással 1/ tartásidej ű hívásokat S vonalra küldene Az eredmény független a thinking time eloszlásától, ha a számítógép kiszolgálási ideje exponenciális eloszlású Theorem 12.1 The state probabilities of the machine repair model (12.36) & (12.37) with one computer and S terminals is valid for arbitrary thinking times when the service times of the computer are exponentially distributed.

31 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 31 Palm – M/M/1/S/S – 6. Jellemző átlagos értékek (az Erlang veszteséges képlettel): served terminals: a p(0) állapot kivételével az összes többiben mindig egy terminál van kiszolgálás alatt waiting terminals: (Az összesből levonva a kiszolgáltat és a gondolkozókat) thinking terminals: (traffic carried in the Erlang loss system) A gondolkozó terminálok várható értéke.

32 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 32 Palm – M/M/1/S/S – 7. Valószínűségek (az előbbiekből, osztva a terminálok számával) random terminal at a random point of time :

33 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 33 Palm –M/M/1/S/S – 8-1. Circulation rate of jobs (igények forgási intenzitása) m x (igények átlagos tartásideje) n x (igények átlagos száma) R várható értéke: R (response time): Előzetes tájékoztatás:

34 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 34 Palm –M/M/1/S/S – 8-2. Tehát az R (response time) várható értéke független az idő eloszlásoktól, mert csak p(0)=E 1,S (ρ)- tól és átlagértékektől függ. vagy felhasználásával A „circulation rate of jobs” azonos a végberendezésekre, a várakozási helyekre és a számítógépre. Ezért Little tétele alapján:

35 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 35 Palm – M/M/1/S/S – 9. R képlete alapján [m s ]-ben kifejezve Fig. 12.8 dimenzió Ha S=1, akkor R = m s = 1/µ mert ilyenkor m w = 0, hiszen nem kell várakozni

36 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 36 Palm – M/M/1/S/S – 10.

37 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 37 Palm – M/M/1/S/S – 11. Fig. 12.9 The waiting time traffic (the proportion of time spend waiting) measured in erlang for the computer, respectively the terminals in an interactive queueing system (Service factor % = 30).

38 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 38 Palm – M/M/1/S/S – 12. Traffic congestion We may define the traffic congestion in the usual way (Sec. 2.3). The offered traffic is the traffic carried when there is no queue. The offered traffic per source is (8.8): The carried traffic per source is: The traffic congestion becomes: In this case with finite number of sources the traffic congestion becomes equal to the proportion of time spent waiting.

39 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 39 Palm – M/M/n/S/S – 1. n kiszolgáló szerv (pl. computer ) van Állapotegyenletek és normálás: Az állapotegyenletek függetlenek a „thinking time” eloszlásától.

40 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 40 Palm – M/M/n/S/S – 2. Lehetséges állapotok: A computerek átlagos kihasználtsága: A terminálok átlagos várakozási ideje:

41 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 41 Palm – M/M/n/S/S – 3. Example 12.5.4: Kiindulási értékek: S/n = 30, μ/  = 30, n = 1-16 One may obtain the highest utilisation for large values of n (and S). (in this case p t = α ). dimenzió S3060120240480

42 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 42 3.4 Általános eredmények Little tétele Pollaczek-Hincsin képlet M/G/1 és M/G/1/k rendszerek Prioritásos M/G/1 rendszer Részletes levezetések: GG Honlap, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2009 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv

43 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 43 Általános eredmények – 1 Sok speciális eset, kevés általános eredmény. Sok speciális eset, kevés általános eredmény. Little tétele általánosan alkalmazható tetszőleges várakozásos rendszerre. Little tétele általánosan alkalmazható tetszőleges várakozásos rendszerre. Matematikailag egyszerűen a Poisson bemeneti folyamatú rendszerek kezelhetők. Matematikailag egyszerűen a Poisson bemeneti folyamatú rendszerek kezelhetők. Sorba-kötött várakozásos rendszerek és várakozásos hálózatok esetében fontosak a szimmetrikus rendszerek, amikor a rendszerből való távozás is Poisson folyamat. Sorba-kötött várakozásos rendszerek és várakozásos hálózatok esetében fontosak a szimmetrikus rendszerek, amikor a rendszerből való távozás is Poisson folyamat. A klasszikus modellek fontosak, mert, ha a kiszolgáló szervek darabszáma növekszik, sok rendszer ezekhez konvergál (Palm tétel) A klasszikus modellek fontosak, mert, ha a kiszolgáló szervek darabszáma növekszik, sok rendszer ezekhez konvergál (Palm tétel)

44 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 44 Általános eredmények – 2 In waiting time systems we also distinguish between call averages and time averages. The virtual waiting time is the waiting time, a customer experiences if the customer arrives at a random point of time (time average). The actual waiting time is the waiting time, the real customers experiences (call average). If the arrival process is a Poisson process, then the two averages are identical (PASTA property).

45 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 45 Little tétele 1. Görbék közti távolságok:rendszerben lévők száma Both arrival and departure processes are considered as stochastic processes... == = a k. beérkezés és a k. távozás közti időtartam egy igény bent töltött ideje

46 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 46 Little tétele 2.

47 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 47 Little tétele 3. Minden várakozási rendszerre érvényes!!

48 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 48 Little tétele 4. Példák: Várakozási helyekre: Kiszolgáló eszközökre:

49 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 49 Pollaczek-Hincsin képlet (M|G|1) 1. W is the mean waiting time for all customers, s is the mean service time, A is the offered traffic, and ε is the form factor of the holding time distribution. Kisebb formatényező, azaz egyenletesebb kiszolgálási idő mellett az átlagos várakozási idő kisebb. Telefon forgalom esetén ε = 4-6, adatforgalomra ε = 10 -100. Formatényező (s = m)

50 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 50 Forma tényező (Palm féle) A measure of irregularity is Palm’s form factor ", which is defined as follows:

51 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 51 Pollaczek-Hincsin képlet (M|G|1) 2. A képlet levezetéséndek lépései: Egy tetszőleges igény W átlagos várakozási ideje: 1. A kiszolgálás alatt lévő igény hátralévő átlagos 1. A kiszolgálás alatt lévő igény hátralévő átlagos kiszolgálási ideje (residual mean service time) kiszolgálási ideje (residual mean service time) feltéve, hogy van egyáltalán ilyen, aminek a feltéve, hogy van egyáltalán ilyen, aminek a vsz.-e: A. vsz.-e: A. 2. A sorban várakozó igények várakozási ideje. Az 2. A sorban várakozó igények várakozási ideje. Az L az átlagos sorhosszúság Little tétel alapján L az átlagos sorhosszúság Little tétel alapján meghatározható. Minden sorban álló miatt meghatározható. Minden sorban álló miatt átlagosan s időt kell várni. átlagosan s időt kell várni.

52 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 52 Foglaltsági periódus – M|G|1 Az ábra M/D/1rendszerreérvényes A várakoztatott igények várakozási idejének momentumai meghatározhatók FCFS és LCFS stratégia esetében (Jegyzet: p.260-261) A képlet általánosanérvényes

53 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 53 Korlátozott várakozási sor – M|G|1|k –1 Az M|G|1 rendszerre érvényes és az M|G|1|k–re érvényes p(i)-k között az alábbi összefüggések érvényesek. ahol: A < 1 és k jelentése: 1 kiszolgáló + (k-1) várakozási hely. p(i) kiszámítására vannak algoritmusok tetszőleges tartásidő eloszlásra. – Véges rendszer A>1 esetére statisztikai egyensúlyban van.

54 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 54 Korlátozott várakozási sor – M|G|1|k –2 Tail Drop, or Drop Tail, is a simple queue management algorithm used by Internet routers to decide when to drop packets. In contrast to the more complex algorithms like RED and WRED, in Tail Drop all the traffic is notREDWRED differentiated. Each packet is treated identically. With tail drop, when the queue is filled to its maximum capacity, the newly arriving packets are dropped until the queue has enough room to accept incoming traffic. The name arises from the effect of the policy on incoming datagrams. Once a queue has been filled, the router begins discarding all additional datagrams, thus dropping the tail of the sequence of datagrams. The loss of datagrams causes the TCP sender to enter slow-start, which reducesslow-start throughput in that TCP session until the sender begins to receive ACKs again and increases its congestion window. A more severe problem occurs when datagrams from multiple TCP connections are dropped, causing global synchronizationglobal synchronization, i.e., all of the involved TCP senders enter slow-start. This happens because, instead of discarding many segments from one connection, the router would tend to discard one segment from each connection. Wikipedia – 2009.04. Példa

55 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 55 Korlátozott várakozási sor – M|G|1|k –3 Wikipedia – 2009.04. Random early detection (RED), also known as random early discard or random early drop is an active queue management active queue managementactive queue management algorithmalgorithm. It is also a congestion congestion algorithmcongestion avoidanceavoidance algorithm. avoidance RED makes Quality of Service Quality of ServiceQuality of Service (QoS) differentiation impossible. Weighted REDWeighted RED (WRED) and Weighted RED RED In/Out (RIO) provide early detection with some QoS considerations. Példa

56 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 56 M|G|1 több forgalom folyammal Forgalom folyamok együttese Feltételek: N Poisson forgalom folyam i bemeneti intenzitás, s i átlagos tartásidő, m 2i második momentum, A i = i s i felajánlott forgalom. A teljes bementi folyamatra: Intenzitás: Átlagos tartásidő: Második momentum: Felajánlott forgalom: Súlyozottátlagok Hátralévő kiszolg. idő egy véletlen időpontban: Minden tényező megvan a Polllaczek-Hincsin képlethez !

57 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 57 Kleinrock megmaradási tétel Kleinrock tétel: Kleinrock conservation law: The average waiting time for all classes weighted by the traffic (load) of the mentioned class, is independent of the queue discipline. A tétel csak non-preemptive queuing discipline esetén érvényes mindkettőkonstans

58 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 58 Prioritásos M|G|1 rendszerek – 1. Non-preemptive priority N prioritási osztály van, a p osztály nagyobb prioritású mint p+1, p intenzitás, s p átlagos tartásidő. A teljes átlagos várakozási idő W p számítása: a várakozási idő alatt beérkező igények száma

59 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 59 Prioritásos M|G|1 rendszerek – 2. Levezetés: Jegyzet p. 266 a) + b) + c) A végeredmény függ a folyamatban lévő igény hátralévő kiszolgálási idejétől, az azonos prioritású már ott lévő igényektől és az időközben beérkező magasabb prioritású igényektől.

60 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 60 SJF queuing discipline (ez is non-preemptive priority) A t kiszolgálási idejű igény átlagos várakozási ideje W t : A t a t-nél kisebb vagy azzal megegyező kiszolgálási idejű igények által felajánlott forgalom. If these different priority classes have different costs per time unit when they wait, so that class j customers have the mean service time s j and pay c j per time unit when they wait, then the optimal strategy (minimum cost) is to assign priorities 1, 2,... according to increasing ratio s j /c j. Prioritásos M|G|1 rendszerek – 3. Az SJF eredményezi a lehetséges legkisebb teljes várakozási időt. (A levezetéshez végtelen számú prioritási osztályt kell feltételezni)

61 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 61 Prioritásos M|G|1 rendszerek – 4. M|M|1 rendszer FCFS és SJF kiszolgálással Ha a kiszolgálási idő < 2.747 átlagos tartásidő, akkor az SJF kiszolgálás kisebb átlagos várakozási időt ad, mint az FCFS. Ez érinti a hívások 93.6 %-át. W FCFS = FCFS ellenőrzés: 13.4.2 példa időegység= s (átl. tartásidő)

62 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 62 Nem megszakításos prioritású M/M/n M|M|n, non-preemptive priority (Erlang eredményének általánosítása) i intenzitás, minden osztályban s=1/ μ átlagos tartásidő. i intenzitás, minden osztályban s=1/ μ átlagos tartásidő. A teljes átlagos várakozási idő W p számítása: Erlang C képlete. Erlang C képlete. A az összes prioritási osztály által felajánlott forgalom. Az igények s/n átlagos távozás-közti idővel hagyják el a rendszert, ha minden kiszolgáló szerv foglalt. Levezetés: Jegyzet p.2 70

63 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 63 M|G |1 with preemptive resume... - 1 A p prioritási osztályú igény W p átlagos várakozási ideje:

64 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 64 M|G|1 withpreemptive resume... - 2 M|G|1 with preemptive resume... - 2 SJF preemptive resume esetében a teljes válaszidő: Jegyzet: 270-272 W p átlagos várakozási idő:

65 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 65 3.5 Néhány kiegészítés Állandó tartásidő GI/G/1 Round Robin és processor megosztás Részletes levezetések: GG Honlap, Távközlő rendszerek forgalmi elemzése, Tantárgyi teljes (2009 tavasz), Gyakorlatok, Tankönyv

66 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 66 Állandó tartásidő, M|D|1 – 2. ………. Ha üres a rendszer és i érkezik, akkor h idő múlva még egy sem távozott. Ha van kiszolgálás, és i érkezik, akkor h idő múlva egy igény már távozott. M/D/1 állapotegyenletek

67 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 67 Állandó tartásidő, M|D|1 – 3. M/D/1, átlagos várakozási idő PASTA miatt a várakozás D valószínűsége: W az átlagos várakozási idő az összes igényre, w a várakozókra. A Pollaczek- Hincsin formulát alkalmazva (s = h !!) w az M/G/1-re érvényes foglatsági periódus fele 2w = A formatényező = 1 Várakozási idő eloszlása, M/D/1 és FCFS Pontos számítás lehetséges, közelítés van,részletek: Jegyzet p. 277.

68 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 68 Állandó tartásidő, M|D|1 – 5. Példa M|M|1 M|D|1 FCFS-tfeltételezve

69 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 69 Állandó tartásidő, M|D|n – 1. M/D/n, FCFS – várakozási idő eloszlása Van pontos képlet, de … (Crommelin) Zárt formájú, kis várakozási idők számítására alkalmas képlet: M|D|n állapotegyenletek: Van lehetőség az állapot valószínűségek pontos és közvetlen kiszámítására generátor függvényeket alkalmazva.

70 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 70 Állandó tartásidő, M|D|n – 2. Átlagos várakozási idő W az összes igényre: Közelítő képlet: (Molina) Minden korlátlan számú várakozási hellyel rendelkező várakozásos rendszerre érvényes persze, hogy a ténylegvárakozó igények átlagos várakozási ideje: ahol:

71 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 71 Véges rendszer – M|D|1|k – 1 A várakozási helyek száma mindig véges a gyakorlatban. Állapotvalószínűségek: (Volt már M/G/1/k kapcsán !) aholés A > 1 esetében is alkalmazható eljárás: Jegyzet 280-281 old.

72 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 72 Véges rendszer – M|D|1|k – 2 http://en.wikipedia.org/wiki/Leaky_buckethttp://en.wikipedia.org/wiki/Traffic_shaping Traffic shaping Example 13.5.2: Leaky Bucket Leaky Bucket is a mechanism for control of cell (packet) arrival processes from a user (source) in an ATM–system. The mechanism corresponds to a queueing system with constant service time (cell size) and a finite buffer. If the arrival process is a Poisson process, then we have an M/D/1/k system. The size of the leak corresponds to the long-term average acceptable arrival intensity, whereas the size of the bucket describes the excess (burst) allowed. The mechanism operates as a virtual queueing system, where the cells either are accepted immediately or are rejected according to the value of a counter which is the integral value of the load function (Fig. 13.2). In a contract between the user and the network an agreement is made on the size of the leak and the size of the bucket. On this basis the network is able to guarantee a certain grade-of-service.

73 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 73 GI|G|1 – 1. Átlagos várakozási idő M/G/1 esetében (emlékeztetésként)Pollaczek-Hincsin: M/M/1: M/M/1: M/D/1: M/D/1: A várakozási idő csökken, ha a tartásidő „szabályosabb”.

74 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 74 GI|G|1 – 2. Átlagos várakozási idő GI/G/n esetében Nincs pontos képlet Átlagos várakozási idő GI/G/1 esetében Szerepet kapnak további momentumok Felső határ: ahol v = szórásnégyzet (б 2 ) v a = beérkezések közötti időre v a = beérkezések közötti időre v d = tartásidőre v d = tartásidőre Használható becslés: ahol a a beérkezések közötti átlagos idő (A=s/a, s=1 /μ, a=1/ λ ) Kingmanegyenlőtlenség Marchal közelítés

75 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 75 GI|G|1 – 3. Jellemző mennyiségek: Várakozók átlagos száma közvetlenül egy igény érkezése előtt: A rendszerben lévők száma közvetlenül egy igény érkezése előtt: Egy igényt éppen kiszolgál a rendszer várhatóértékek

76 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 76 GI|G|1 – 4. Jellemző mennyiségek (folytatás ): Átlagos várakozási idő az összes igény számára: Átlagos sorhosszúság a teljes időtengelyre vetítve (Little tétel !): Átlagos várakozási idő a tényleg várakozókra:

77 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 77 Round Robin and Processor Sharing – 1. Ha Δs  0, akkor PS (Processor Sharing – fair queuing) Sharing – fair queuing) Ha Δs  ∞, akkor M/G/1, FCFS Matematikailag jól kezelhető (Kleinrock 1967, 1976) M/G/1 Végtelen sor. M beérkezési folyamat intenzitással. G kiszolgálási folyamat s átlagértékkel

78 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 78 Round Robin and Processor Sharing – 2. Értelmezés: Ha a rendszerben i igény van, akkor mindegyik a kapacitás 1/i részét veszi igénybe. A sor kiszolgálási stratégia elveszíti jelentését. Ha <1, akkor kimutatható, hogy: geometriai eloszlás A/(1-A) várható értékkel. A t idejű igények (jobok) átlagos tartásideje (átlagos válaszideje): Ha A  0, akkor R t  t Mivel nincs hagyományos értelemben vett sor: Egy véletlenszerű job-ra: Ugyanaz mint M|M|1-re (E 2,1 (A)=A !)

79 Távközlési hálózattervezés - forgalmi nézőpont – 2009. 09. 17. 79 Processor Sharing – 3. W Pollaczek-Hincsin: GI|G|1 Round- Robin ill. M|M|1