Rekord statisztikák Készítette: Komjáti Bálint IV. évf. fizikus hallgató (ELTE-2006) Györgyi Géza: Extrém érték statisztikák előadásán tartott szemináriumára S. Render és M. R. Petersen: On the Role of Global Warming on the Statistics of Record-Breaking Temperatures cikke alapján Definíció:

Éves átlagok és extrémek (Philadelphia) Napi hőmérséklet adatok (Philadelphia) Napi maximum, átlag és minimum hőmérsékletek éves átlaga valamint azok tíz napra vett átlaga az egyes években Mért napi abszolút maximum, maximumok átlaga, átlagok átlaga, minimumok átlaga és abszolút minimum hőmér- sékletek az elmúlt 126 év adatai alapján.

Napi átlaghomérsékletek valószínűségi eloszlása 126 év adatai alapján 9 napra átlagolt napi átlag- hőmérséklettől való eltérés valószínűségi eloszlása O: 126 év adatai alapján 9 napra átlagolt napi átlag- hőmérséklettől való eltérés valószínűségi eloszlása Gaussillesztés ---: Gauss illesztés - 0 körül meglepően jó egyezés - Szeleken eltérés; extrémek vizsgálatánál fontos!

Elmélet Őseloszlás (parent distribution): Napi maximum hőmérsékletének éves átlagának (iid) valószínűség sűrűség- függvénye = p(T) } „Tipikus” értékek

P k (T)=P(T k = T)   Az előző rekord (T’) kisebb mint T   A következő n-1 mérési adat kisebb mint T’   Az n-ik egyenlő T-vel   A jelenlegi rekord = T k   T k –t az n-ik mért adat töri meg q n (T k )=p (T k ) → Az egyes rekordok közti idő várható értéke adott T k esetén: → A valószínűsége, hogy a k-ik rekord n db, új megfigyelés után dől meg:

Őseloszlástól független mennyiségek A valószínűsége, hogy az első (0-ik) rekordot az n-ik mérési adat töri meg: A valószínűsége, hogy t idő alatt m db rekord születik: (Poisson eloszlás) A valószínűsége, hogy az n-ik mérési adat egy új rekord: A 0-ik rekord megtöréséig mért adatok számának várható értéke: t idő alatt született rekordok számának várható értéke:

Exponenciális őseloszlás → ↓ nagy n-ekre 1/ τ paraméterű (k+1)-ed rendű gamma eloszlás

→ A k-ik rekordig eltelt idő várható értéke: → →

Gauss-i őseloszlás   Realisztikusabb   Csak numerikus vagy aszimptotikus közelítések deriválttal közelítve, majd integrálva nagy k-ra:

  Rekurzióval kapott   Csak nagy k-ra   Prefaktor a normáltságból   Csak nagy k-ra   Tipikus T k értékek felh.   σ-tól független Korelációk problémája: A napi homérsékletek adatok nem függetlenek, az időjárás tipikusan 4-5 naponta változik meg!

A napi szórással normált átlagos napi k-ik rekord maximum ill. minimum értékek éves átlaga a Philadelphiai adatsor alapján (szaggatottal gyökös illesztés). A valószínűsége, hogy a t-edik évben rekord maximum születik, a Philadelphiai adatok, valamint a v [c°/év] sebességű globális felmelegedést hordozó Gauss-őseloszlású szimulációs adatok alapján.