Tananyag: Barwise-Etchemendy: Language, Proof and Logic II. Quantifiers Weblap: Fogadóóra: H 15:30-17:00, i/226 (házi feladatok és tetszőleges kérdés):

Elsőrendű logika Kvantifikáció Kvantifikáció a természetes nyelv(ek)ben Determináns/kvantor: egyargumentumú predikátum  NP Például: ‘egy’, ‘sok’, ‘néhány’, ‘minden’, ‘három’, ‘huszonöt’, ‘a legtöbb’, ‘egy … sem’ Minden medve szereti a mézet Micimackó medve Micimackó szereti a mézet Három A legtöbbEgy medve sem Kvantifikáció- elmélet Predikátum- logika NP (noun phrase, nominális csoport): Olyan kifejezés, amely egy egyargumentumú predikátummal (VP) mondatot alkot.

Logikai kvantorok:‘minden’, ‘van (olyan)’ Sokszor rejtve vagy álcázva fordulnak elő: Amikor este van, lámpát gyújtok. Láttam a Vezúvot, amikor kitört. minden van olyan Természetes nyelvben: kvantor + egyargumentumú predikátum  NP Avagy: kvantor + egyarg. predikátum + egyarg. predikátum  mondat. (Lásd hagyományos (arisztotelészi) logika: kvantor + szubjektumterminus + predikátumterminus  ítélet. ) A FOL-ban technikai és történeti okokból nem így megy.

Kvantorok kezelése FOL-ban Segédeszköz: individuumváltozók Szintaktikailag: predikátumok argumentumhelyein fordulhatnak elő, éppúgy, mint az individuumnevek. Matematikai használat: x+y = y+x Látszólag az általánosság kifejezésére szolgál. De az általánosságot valójában a(z elhallgatott) kvantor(ok) fejezi(k) ki: Minden x-re, y-ra igaz, hogy A változó funkciója az, hogy visszautal a kvantifikáló kifejezésben való előfordulásra. Ilyen funkciója (anaforikus szerep) a természetes nyelv névmásainak szokott lenni: Jancsi integetett Juliskának, de ő/az nem vette észre. Ennyiben a változók mesterséges névmások. De a tulajdonnevekre is hasonlítanak : nincs jelentésük.

A FOL kvantifikált mondatainak szerkezete eltér a természetes nyelvtől, csak az igazságfeltételek egyeznek meg (nagyjából). A köznyelvben nincs az egyszerű kvantor-alany-állítmány alakú mondatokban igazságkonnektívum (csak kopula – ahol van). FOL-ban ez a természetes nyelvben hiányzó konnektívum „van olyan” után ‘és’, de „minden” után ‘ha-akkor’. FONTOS!! NEM ELFELEJTENI!!! Konvenció: változónak az x, y, z, t, u, v betűket, illetve ezek indexezett változatit (x 1, stb.) használjuk. FOL-ban végtelen sok individuumváltozó van. Ez csak annyit jelent, hogy mindig elő tudunk venni egy újat.

(új fogalom) Terminusok: az individuumnevek és a változók együtt --- Terminológiai eltérés, fontos: A nyitott mondatokra ugyanúgy alkalmazhatjuk az igazságkonnektívumokat, mint a zártakra. A könyvben wff-ekről és sentence-ekről van szó; én mondatokról (nyitott és zárt mondatokról) beszélek. Ami nálam mondat, az Barwise-Etchemendynél wff. Ami nálam zárt mondat, az BE-nél sentence. Ami nálam nyitott mondat, az BE-nél olyan wff, ami nem sentence.

Részletesebben: (azaz a FOL szintaxisa): 0. Ha egy n-argumentumú predikátum mindegyik argumentumhelyére egy egy terminust írunk, a FOL egy (atomi) mondatát kapjuk (beleértve a “τ 1 =τ 2 ” alakú, azonossági mondatokat). 1. Ha A mondat, akkor “  A” is mondat 2-3. Ha A 1, A 2, … A n mondatok, akkor “( A 1  A 2  …  A n ) ”, továbbá “( A 1  A 2  …  A n )” is mondat Ha A és B mondatok, akkor “(A  B)” és “(A  B)” is mondatok Ha A mondat,  pedig változó. akkor “  A” és “  A” is mondatok. Két új szimbólum, magyarázatuk mindjárt következik.

Vannak bicikliző medvék.[köznyelvi mondat] Van olyan medve, amelyik biciklizik.[arisztotelészi elemzés] Van valami, ami bicikliző medve.[modern elemzés] Van olyan x, hogy (x bicikliző medve.)[vátozókkal bővítjük a nyelvet.] Van olyan x, hogy (x medve  x biciklizik).[az ‘x bicikliző medve’- elemezzük] ‘Van olyan x, hogy’: kvantifikáló (avagy kvantor-)kifejezés FOL-ban:  x  : egzisztenciális kvantor Itt jött be a konjunkció, ami a köznyelvi mondatban nem volt!!

Mi ennek a mondatnak a szerkezete? Nincsen rózsa tövis nélkül. Nem igaz, hogy (van rózsa tövis nélkül)  (  x(x rózsa  x tövis nélküli))[az előzőek szerint]  (  x(x rózsa   (x tövises))  x  (x rózsa  (x tövises))[kijelentéslogikai ekvivalencia alapján] Nincs olyan x, amelyre hamis, hogy (x rózsa  (x tövises)) [kiolvasva az elejét] De ‘Nincs olyan x, amelyre hamis, hogy ‘ ugyanazt jelenti, mint az, hogy ‘Minden x-re igaz, hogy’ !! Azaz: Minden x-re igaz, hogy (x rózsa  (x tövises)). (*) Minden x-re igaz, hogy ha x rózsa, akkor x tövises. ‘Minden x-re igaz, hogy’ FOL-ban:  x  : univerzális kvantor De az eredeti mondat, kicsit prózaibban ezt jelenti: (**) Minden rózsa tövises. Tehát (*) és (**) ugyanaz. Figyelem! (*)-ban ‘ha-akkor’ van, nem pedig ‘és’! Itt jött be a kondicionális!

Változók szabad és kötött előfordulásai Az ‘x egy kocka’ avagy ‘Cube(x)’ mondatban az x változó különböző értékeket vehet fel, és a mondat igazságértéke az x értékétől függ. „mondatfüggvény” (Russell) A ‘  xCube(x)’ mondat igazságértéke értelemszerűen nem függ x értékétől. Akkor lesz igaz, ha van a világban olyan dolog, amit x értékének véve a ‘Cube(x)’ mondat igaz. Rövidebben: Van olyan dolog, amelyre ‘Cube(x)’ igaz. Másképp ugyanez: az illető dolog satisfies (kielégíti ) a Cube(x) wff-t (nyitott mondatot). A könyv ezt a terminológiát használja.

Hasonlóképpen a ‘Larger(x, y)’ mondat igazságértéke x és y értékétől is függ. A ‘  xLarger(x, y)’ mondat már nem függ az x-től. y egy értékére akkor lesz igaz, ha van olyan dolog, ami nagyobb nála. Tehát ennyit jelent: Van, ami nagyobb y-nál. A ‘  yLarger(x, y)’ értéke meg y-tól nem függ. Jelentése: Van, aminél x nagyobb. Tehát a kvantifikáció megszünteti a változó szabad értékelését. Az olyan változó(előfordulás)t, amir e egy kvantor vonatkozik, kötött változó(előfordulás)nak nevezzük. Ha egy változónak egy előfordulása nem kötött, akkor szabad. Szabályokban, pontos definícióval: 0. Atomi mondatokban minden változóelőfordulás szabad Igazságkonnektívumok alkalmazása esetén a kimenetben ugyanazok a változóelőfordulások szabadok, mint az argumentumokban “  A”-ban és “  A”-ban  -nek nincs szabad előfordulása, a többi változónak ugyanazok az előfordulásai szabadok, mint A-ban. Ha egy mondatban van szabad változóelőfordulás, akkor a mondat nyitott. Ha minden változóelőfordulás kötött, akkor a mondat zárt (beleértve azokat a mondatokat, amelyekben nincsenek változók). És lehetővé teszi, hogy a változót „ki- fogalmazzuk” a mondatból.

Ha egy nyitott mondatban x, y, z fordul elő szabadon, akkor szokás ilyenféle rövidítést alkalmazni: P(x, y, z). Nem tévesztendő össze egy P predikátum alkalmazásával. P(x, b, z) azt a mondatot jelöli, amit P(x, y, z)-ből úgy kapunk, hogy y összes szabad előfordulását a b individuumnévvel helyettesítjük. Fontos példa: ‘  x(Cube(x)  Medium(x))’ zárt mondat. ‘  xCube(x)  Medium(x)’ nyitott mondat, x utolsó előfordulása szabad. Kvantifikáció hatóköre: -- ha a kvantorkifejezést nem követi zárójel, akkor a következő atomi vagy kvantifikált mondat, -- ha igen, akkor a hatókör a zárójel párjáig tart. A hatókörre vonatkozik az, hogy a kvantorváltozó nem fordul elő benne szabadon. Rövidebben: a hatókör a szintaktikai szabályban az A HF: 9.3