Bevezetés – modell fogalma 1. Példa – Newton bolygómozgási modellje egyik első modern modell – úttörő eredményegyik első modern modell – úttörő eredmény két test problémakét test probléma kiterjedés nélküli testekkiterjedés nélküli testek Nap + 1 bolygóNap + 1 bolygó Kepler törvényeinek „elegáns” leírásaKepler törvényeinek „elegáns” leírása több-test probléma – jóval bonyolultabb feladattöbb-test probléma – jóval bonyolultabb feladat m1m1 m2m2 F F r

2. Példa – kémai reakció kevert reaktorban Hűtővíz Reagáló anyagok Termék és melléktermékek Törvények, hipotézisek 1.anyag- és energiamegmaradás trv 2.Fourier hővezetési trv. 3.irreverzibilis reakció 4.rendszerparaméterek állandóak 5.tökéletes keverés – homogén részrendszerek … n.a köpeny reagálása azonnali Bevezetés – modell fogalma Több modell is készíthető egyszerűsítésekegyszerűsítések kezelhetőségkezelhetőség

Bevezetés – modell fogalma Modell – nehéz általánosan definiálni „Egy matematikai modell matematikai egyenletek (struktúrák) tetszőleges teljes és konzisztens halmaza, amelyet arra terveztek, hogy más tulajdonságok összességét, azok prototípusát írja le. A prototípus lehet fizikai, biológiai, társadalmi, pszichológiai vagy konceptuális (vázlatos) tulajdonság, vagy esetleg éppen egy másik matematikai modell.” [Aris, 1978]

Bevezetés – modell fogalma Modell – nehéz általánosan definiálni „A modellek a modern tudomány alapvető eszközei közé tartoznak.” [Frigg, Hartmann 2006] örök igazság kifejeződése időleges, célszerű, kényelmes megközelítés túl egyszerű / túl bonyolult hasznos / haszontalan igaz / hamis x x

Bevezetés – modell fogalma Modellalkotás szabadságfoka gyakran igen nagyszabadságfoka gyakran igen nagy lehetőségek, gátló tényezők figyelembe vételelehetőségek, gátló tényezők figyelembe vétele megfelelő stratégia megválasztásamegfelelő stratégia megválasztása Modellek alkalmazásával célunk fizikai (biológiai,…) folyamatok előrejelzése, állapotváltozók jövőbeli alakulásának meghatározásafizikai (biológiai,…) folyamatok előrejelzése, állapotváltozók jövőbeli alakulásának meghatározása további kísérletek, megfigyelések módosításatovábbi kísérletek, megfigyelések módosítása fogalmaink fejlesztése, megértésfogalmaink fejlesztése, megértés tervezési céloktervezési célok

…innentől matematikai modellek…

Modellek elemei Légkör 1 - Reaeráció 2 - Alga-légzés 3 - Fotoszintetikus oxigén- termelés 4 - Szerves biodegradáció oxigén-igénye 5 - Üledék oxigén-felvétele 6 - Nitrifikáció oxigén-felvétele 7 - Nitrifikáció 1. és 2. lépése 8 - Ülepedés 9 - Bentikus forrás 10 - Lebomlás 11 - Tápanyag-felvétel 12 - Alga-pusztulás állapotváltozókállapotváltozók függvénykapcsolatokfüggvénykapcsolatok paraméterekparaméterek

Modellek besorolása …származtatás alapján: 1.Determinisztikus fizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapulfizika (más tudományág) alaptörvényeire, igazolt összefüggésere alapul ált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható leált. differenciál- és integrálegyenletek rendszereként írható le 2.Sztochasztikus Valószínűség-elméleti törvényszerűségekre alapulValószínűség-elméleti törvényszerűségekre alapul 3.Empirikus megfigyelések alapján felállított, de nem általános érvényű (~empirikus) összefüggésekre alapulmegfigyelések alapján felállított, de nem általános érvényű (~empirikus) összefüggésekre alapul független megfigyelések segítségévelfüggetlen megfigyelések segítségével 4.Hibrid determinisztikus + sztochasztikus + empirikus elemekdeterminisztikus + sztochasztikus + empirikus elemek biológiai, meteorológiai, … folyamatok leírása során hasznosbiológiai, meteorológiai, … folyamatok leírása során hasznos

Modellek besorolása …időbeliség alapján: Statikus Input Output time x out,1 time time x in,1 time x in,2 time x in,3 Dinamikus Input Output time x out,1 time time x in,1 time x in,2 time x in,3

Modellek besorolása … paraméterek alapján: 1.Időben állandó paraméterűállandó paraméterű változó paraméterűváltozó paraméterű 2.Térben „halmozott” (lumped), állandó paraméterű„halmozott” (lumped), állandó paraméterű osztott paraméterűosztott paraméterű

Modellalkotás folyamata 1.Identifikáció alaptörvények, feltevések számbavételealaptörvények, feltevések számbavétele elégséges részrendszer kiválasztásaelégséges részrendszer kiválasztása matematikai realizáció (papír-ceruza / szoftver)matematikai realizáció (papír-ceruza / szoftver) 2.Kalibráció modellállandók beállításamodellállandók beállítása számítások és megfigyelések összevetésén alapulszámítások és megfigyelések összevetésén alapul 3.Validáció kalibrált modell igazolásakalibrált modell igazolása független megfigyelések segítségévelfüggetlen megfigyelések segítségével

Identifikáció – determinisztikus Szennyzőanyag szivárgási probléma Kérdés: x(0)=h x(t)=? Feltételezések R=áll.R=áll.  folyadék =áll.  folyadék =áll. talaj homogén, befogadóképessége állandó talaj homogén, befogadóképessége állandó Rések rendszere állandó Rések rendszere állandó talaj rés d=2R h t=0 t x(t) Felírható modell:kifolyási sebesség ~ folyadék szint Térfogat t időpontban Szivárgási modell

Identifikáció – sztochasztikus Galton deszka Milyen lesz a golyók eloszlása a gyűjtőcellákban? n n+1 p=1/2 p=1/2 azonos golyókazonos golyók n sorn sor n-1 ütközésn-1 ütközés n+1 gyűjtőcellan+1 gyűjtőcella A Moivre-Laplace tétel szerint: (a normális eloszlással közelíthető) x =0,1,2,…,n – tartály indexe

Dekompozíció és aggregáció AGGREGÁLT MODELL PROBLÉMA & RENDSZER MEGOLDÁS AGGREGÁCIÓ DEKOMPOZÍCIÓ MEGOLDÁS ? DEKOMPONÁLT RENDSZER Identifikáció – Módszertan

Streeter & Phelps 1925 BO I TERHELÉS O 2 BEVITEL ÜLEPEDÉS O2O2O2O2 Oxigénháztartás leírása Cél:Folyóban a hosszmenti DO-profil alakulása egy pontszerű terhelés függvényében

Vízgyűjtők hidrológiai leírása Részfolyamatok párolgás (evaporáció)párolgás (evaporáció) növényi vízfelvétel, transpirációnövényi vízfelvétel, transpiráció hó akkumuláció és -olvadáshó akkumuláció és -olvadás beszivárgás (infiltráció)beszivárgás (infiltráció) felszín alatti lefolyásfelszín alatti lefolyás tározástározás felszíni lefolyásfelszíni lefolyásHatótényezők csapadékcsapadék hőmérséklethőmérséklet páratartalompáratartalom domborzatdomborzat talajtípustalajtípus növényborítottságnövényborítottság Cél:Vízgyűjtő terület hatása a folyón levonuló árhullámokra

Kalibráció – szivárgási probléma talaj rés d=2R h t=0 t x(t) Levezetett szivárgási modell input (ftlen) tinput (ftlen) t output (függő) x(t)output (függő) x(t) paraméterek k, h, Rparaméterek k, h, R Modellparaméter matematikai modell közvetlenül nem mérhető paraméterematematikai modell közvetlenül nem mérhető paramétere fizikai tartalommal, gyakran dimenzióval rendelkezikfizikai tartalommal, gyakran dimenzióval rendelkezik meghatározása közvetett módon zajlikmeghatározása közvetett módon zajlik kalibráció

Kalibrációs feladat 1.x(t) n -szeri megfigyelése a {0;T} idő-intervallumban x=(x mért,1,x mért,2,…….,x mért,n ) – mért idősor 2.x(t) számítása a {0;T} idő-intervallumban, különböző k értékekre x(k)=(x számított,1,x számított,2,…….,x számított,n ) – számított idősor 3. célfüggvény k -tól függő minimuma? Kalibráció – szivárgási probléma k=100 k=0.01 k=k opt T h x [m] 0 t [s] Mért értékek Kiértékelés:  (k 1 ) >  (k 2 ) > … >  (k n ) k opt =k n Modellparaméterek beállítása úgy, hogy a számított eredmények a legjobban közelítsék a valóságban megfigyelt értékeketModellparaméterek beállítása úgy, hogy a számított eredmények a legjobban közelítsék a valóságban megfigyelt értékeket manuálismanuális algoritmikusalgoritmikus

Távolság - hiba absztrakt matematikai fogalomabsztrakt matematikai fogalom jelentősége – célfüggvény felírásajelentősége – célfüggvény felírása általános összefüggések:általános összefüggések: módosított alakú összefüggések:módosított alakú összefüggések: Kalibráció – szivárgási probléma folytonos függvényre diszkrét függvényre folytonos függvényre diszkretizált súlyozott hibafüggvény

Validációs feladat igazolni a modell és a kalibrált paraméter-vektor megfelelő voltátigazolni a modell és a kalibrált paraméter-vektor megfelelő voltát a kalibrált modell optimalizációs időszakon kívüli egyeztetése a valósággala kalibrált modell optimalizációs időszakon kívüli egyeztetése a valósággal Validáció – szivárgási probléma k=k opt T h x [m] 0 t [s] Mért értékek