előadások, konzultációk Gazdasági matematika előadások, konzultációk Sorozatok, Függvények határértéke, folytonossága, Differenciálszámítás

SOROZATOK

Alapfogalmak Definíció: A sorozat olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (N). A számsorozatnak az értékkészlete a valós számok részhalmaza. Jelölések: a: NR, nan. A sorozat n-edik tagja an, az egész sorozat (an). Sorozat megadása: képlettel, leírással, rekurzív módon (pl. Fibonacci).

Tulajdonságok Definíció: Az (an) sorozat monoton növekvő, ha  nN esetén anan+1. (Szigorúan). Definíció: Az (an) sorozat monoton csökkenő, ha  nN esetén anan+1. (Szigorúan). Definíció: Az (an) sorozat alulról korlátos, ha  mR, melyre  nN esetén anm. Ekkor m alsó korlát. Definíció: Az (an) sorozat felülről korlátos, ha  MR, melyre  nN esetén anM. Ekkor m felső korlát. Definíció: Az (an) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

Feladat Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából:

Konvergens sorozatok Definíció: Az (an) sorozatnak van határértéke, és az az AR szám, ha  R+ számhoz  n0()R küszöbszám, hogy  n>n0() és nN esetén |an-A|< . Jelölés: lim an=A, vagy anA. Definíció: Egy sorozat konvergens, ha van határértéke, és divergens, ha nincs. Feladat: Vizsgáljuk meg az előbbi sorozatokat határérték szempontjából.

Műveletek konvergens sorozatokkal: Tulajdonságok Tétel: Egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Tétel: Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is egyben. Tétel: Minden monoton és korlátos sorozat konvergens. Műveletek konvergens sorozatokkal: Számszoros, összeg, különbség, szorzat, hányados, hatvány.

Divergens sorozatok Definíció: Az an sorozat a végtelenbe tart, ha  KR számhoz  M0R küszöbszám, hogy  n> M0 és nN esetén an>K. Jelölés: lim an=, vagy an. Definíció: Az an sorozat a mínusz végtelenbe tart, ha  KR számhoz  m0R küszöbszám, hogy  n>m0 és nN esetén an<K. Jelölés: lim an=-, vagy an-. Ezt a két féle sorozatot valódi divergens sorozatnak is nevezik.

Nevezetes sorozatok határértékei Feladat: Vizsgálja meg a következő sorozatokat határérték szempontjából a nevezetes sorozatok és a tételek segítségével:

FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA

Végtelenben vett véges határérték Példák:

Végtelenben vett véges határérték Definíció: Az f függvénynek határértéke a -ben az A valós szám, ha  R+ számhoz  M0R küszöbszám, hogy  x>M0 és xDf esetén |f(x)-A|< . Jelölés: Hasonlóan definiálható a --ben vett határérték.

Végtelenben vett végtelen határérték Példák:

Végtelenben vett végtelen határérték Definíció: Az f függvénynek határértéke a -ben a , ha  KR számhoz  M0R küszöbszám, hogy  x>M0 és xDf esetén f(x)>K. Jelölés: Hasonlóan definiálható a -ben vett -, a --ben vett  és a - vett - határérték.

Műveletek végtelenben vett határértékkel rendelkező függvényekkel A konvergens sorozatoknál megismert műveletekre vonatkozó tételek (számszoros, összeg, különbség, szorzat, hányados, hatvány) függvények esetében is érvényesek maradnak. Nevezetes függvények határértékei Végtelenben vett határértékek:

Feladat Határozzuk meg a következő függvény határértékeket:

Véges helyen vett véges határérték Példa: 

Véges helyen vett véges határérték Definíció: Az a pont az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja, ha   R+ szám esetén van az értelmezési tartománynak a-nak  sugarú környezetében a-n kívül pontja. (Nem kell, hogy a feltétlenül eleme legyen az értelmezési tartománynak). Definíció: Az f függvény értelmezési tartományának a torlódási pontjában a határértéke az A valós szám, ha  R+ számhoz  R+ küszöbszám, hogy  |x-a|<, xDf és xa esetén |f(x)-A|<. Jelölés:

Véges helyen vett végtelen határérték Példa:

Véges helyen vett végtelen határérték Definíció: Az f függvény értelmezési tartományának a torlódási pontjában a határértéke , ha  M0R+ valós számhoz  R+ valós szám, hogy  |x-a|<, xDf és xa esetén f(x)>M0. Jelölés: Hasonlóan definiálható az a-ban vett - határérték. Bal és jobboldali határértékek

Függvények folytonossága Definíció: Az f függvény az értelmezési tartományának a pontjában folytonos, ha a-ban a függvénynek létezik véges határértéke és ez megegyezik a függvény a pontjában felvett függvényértékkel. Definíció: Az f függvény folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Tétel: Ha f és g folytonos az a pontban, akkor is folytonos a-ban. Tétel: Ha g folytonos a-ban és f folytonos g(a)-ban, akkor f(g(x)) is folytonos a-ban. Megjegyzés: Az elemi függvények folytonosak.

Feladat Határozzuk meg a következő véges helyen vett határértéket: Vizsgáljuk meg a következő függvényt folytonosság szempontjából:

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

A differenciahányados, és a differenciahányados függvény Definíció: Az f függvény aDf és xDf pontjaihoz tartozó differenciahányadosa az hányados. Definíció: Az f függvény aDf pontjához tartozó differenciahányados függvénye a függvény. Definíció: Az aDf pont az értelmezési tartomány belső pontja, ha  R+ valós szám, hogy a-nak a  sugarú környezete benne van az értelmezési tartományban.

A differenciálhányados és a deriváltfüggvény Definíció: Az f függvény az értelmezési tartomány a belső pontjában differenciálható, ha létezik a határérték és ez véges. Ez a határérték az f függvény a pontjához tartozó differenciálhányadosa, vagy deriváltja. Szemléletes jelentése az (a;f(a)) pontba húzott érintő meredeksége. Példa: f(x)=x2 az a=0,5, majd tetszőleges a helyen. Definíció: Az f függvény derivált függvénye az értelmezési tartomány azon pontjaihoz, ahol a függvény differenciálható, a deriváltak értéket rendeli hozzá. Jelölés: f’(x)

Elemi függvények derivált függvényei

Deriválási szabályok Tétel: Legyen f és g differenciálható az a pontban. Ekkor: a) cf is differenciálható a-ban tetszőleges c-re és (cf)’(a)=cf’(a) b) f±g is differenciálható a-ban és (f ±g)’(a)=f’(a)±g’(a) c) fg is differenciálható a-ban és (fg)’(a)=f’(a)g(a)+f(a)g’(a) d) g(a)0 esetén is differenciálható a-ban és

Feladat Határozzuk meg a következő függvények derivált függvényét:

Differenciálható függvények vizsgálata Legyen f(x) [a,b]-n folytonos és (a,b)-n differenciálható. Tétel: f(x) monoton növekvő [a,b]-n   x(a,b)-re f’(x)0. Tétel: f(x) monoton csökkenő [a,b]-n   x(a,b)-re f’(x)0 Legyen f(x) a egy környezetében differenciálható Tétel: f(x)-nak a-ban helyi szélsőértéke van  f’(a)=0 Tétel: f’(a)=0 és f’(x) előjelet vált a-ban  f(x)-nak a-ban helyi szélsőértéke van (+0- esetén helyi maximum, -0+ esetén helyi minimum)

Differenciálható függvények vizsgálata Legyen f(x) (a,b)-n kétszer differenciálható Tétel: f(x) konvex (a,b)-n   x(a,b)-re f’’(x)>0 [ f’(x) monoton növekvő [a,b]-n] Tétel: f(x) konkáv (a,b)-n   x(a,b)-re f’’(x)<0 [ f’(x) monoton csökkenő [a,b]-n] Legyen f(x) a egy környezetében kétszer differenciálható Tétel: f’’(a)=0 és f’’(x) előjelet vált a-ban  f(x)-nak a-ban inflexiós pontja van

Teljes függvényvizsgálat Vizsgálja meg az alábbi függvényeket:

Az f(x) függvény

A g(x) függvény