A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI/1 MECHANIKA BALÁZS ZOLTÁN BMF, KVK, MTI 2009.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika tárgya: - physis görög szó, jelentése: természet - magyar neve: természettan - a 18. század végéig: a természetre vonatkozó ismeretek összessége. - később: az élettelen világ azon jelenségei, amelyekben a testek vegyi összetétele nem változik - ma: nem lehet ilyen éles határvonalat húzni, új tudományok alakultak ki a tudományok határterületein.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika feladata: - a körébe tartozó anyagi világ objektív tulajdonságait képező jelenségek összességének minél jobb megismerése - nemcsak egyes jelenségek egyszerű leírása, hanem az ezek közötti kapcsolatok, törvényszerűségek meghatározása

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika módszerei: - első lépés: megfigyelés - 17.századtól: kísérlet - kvalitatív összefüggések megállapítása - kvantitatív összefüggések megállapítása - a kvantitatív összefüggések alapján a matematika módszereinek felhaszná- lásával fizikai törvények meghatározása.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - A kvantitatív összefüggések kiala- kításához szükséges, hogy a fizikai mennyiségek mérhető mennyiségek legyenek. - A fizikai mennyiségek definíciójához mérési utasítás tartozik. - Mértékegység rendszerek kialakítása.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - a tapasztalati úton talált törvények önmagukban csak egy áttekinthetetlen ismerethalmazt jelentenének, ezek rendezése szükséges - a sok speciális törvény leszármaztatható (általában matematikai úton) kis számú általános érvényű alaptörvényből.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - Alaptörvények elvek főtételek axiómák alapegyenletek - A nagyobb jelenségcsoportok alaptörvé- nyeiből levonható következtetések fizikai elméletet alkothatnak.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: - A fizikai elmélet kialakítása során közbülső állomásként gyakran hipotézis (feltevés) felállításával kísérlik meg a jelenség csoport megmagyarázását, ha a kísérletek igazolják, akkor fizikai elmélet lesz belőle, ha nem elvetik.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: A fizikai jelenségek vizsgálata során gyakran vezetnek be a valóságos testek tulajdonságainak egy részét tudatosan elhanyagoló, egyszerűsítő fogalmakat, amelyek segítségével a jelenségek egyszerűbben vizsgálhatók. Ezeket idealizált testeknek, vagy modelleknek nevezzük

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Fizikai törvények: A modellek segítségével alkotott törvények a valóságos testekre alkalmazva nem jelentenek abszolút pontos leírást. A mérési módszerek szintén korlátozott pontosságúak, ezért a fizikai törvények közelítő jellegűek és érvényességi területűk korlátozott. A fejlődés során mindig pontosabb törvényeket ismerünk fel.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika felosztása: - Kísérleti fizika: feladata tervszerű kísérletek megvalósítása, megfelelő mennyiségek mérése. A mérési eredmények alapján a vizsgált jelenségekre tapasztalati törvények felállítása. Módszere az indukció, legfontosabb eszköze a fizikai mérőműszer.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika felosztása: Elméleti fizika: feladata az egyes jelenségekre vonat- kozó törvények közötti összefüggések, általános összefüggések felderítése, fizikai elmélet kialakítása, egyes jelenségekre vonatkozó törvények meghatározása. Módszere a dedukció, eszköze a matematika.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika történeti felosztása: Klasszikus fizika Időrendben kb. 19. század végéig, 20. század elejéig. Tudományágai: -mechanika - hőtan - hangtan - fénytan - elektromosság és mág- nesseségtan - atomfizika

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fizika történeti felosztása: Modern fizika Időrendben kb. 19. század végétől, 20. század elejétől. Tudományágai: - relativisztikus fizika - kvantumfizika

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: - A kvantitatív összefüggések kiala- kításához szükséges, hogy a fizikai mennyiségek mérhető mennyiségek legyenek. - A fizikai mennyiségek definíciójához mérési utasítás tartozik. - Mértékegység rendszerek kialakítása.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mérés: A mérés azt jelenti, hogy meghatározzuk hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, vele egynemű önkényesen egységnyinek megválasztott mennyiség. A mérés eredménye két adat a mértékszám és a mértékegység. Xméréseredménye={Xmsz}{Xme}

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: - helyi, lokális rendszerek - egységesített, országos rendszerek - nemzetkőzi mértékegység rendszerek angolszász rendszerek: Nagy Britania USA európai és nemzetközi rendszerek: MKSA CGS SI

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - alapmennyiségek: néhány - a lehető legkevesebb - fizikai mennyiség, amelyek és a fizikai összefüggé- sek felhasználásával az összes fizikai mennyiség fogalma és mértékegysége meghatározható (pld. idő, hosszúság, tömeg, stb.). Mértékegységük önkényesen választott.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - származtatott mennyiségek: az alapmennyiségek és a fizikai összefüggések segítségével meghatározott fizikai mennyiségek és mértékegységük. Például a sebesség, a hosszúság és az idő hányadosa.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: Felépítésük: - kiegészítő mennyiségek: egyéb szempontok alapján választott mennyiségek és mértékegységük. Például síkszög és mértékegysége.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Mértékegység rendszerek: SI – nemzetközi mértékegység rendszer (System International) Használata ma Magyarországon kötelező! Elfogadva: 1960 Magyarországon elfogadva: 1976

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Hosszúság jele : ℓ mértékegysége: m (méter) 1m, az az úthossz, amelyet a fény vákuumban 1/299 792 458 másodperc alatt megtesz.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Idő jele : t mértékegysége : s (másodperc – secundum) 1s, az az idő, amely a cézium 133-as izotópja által, két meghatározott energia szintje közötti átmenet során kibocsátott sugárzása során 9 192 631 770 periódusa alatt eltelik

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Tömeg jele : m mértékegysége: kg (kilogramm) 1kg az a tömeg, amely éppen egyenlő a nemzetközi prototípusának töme- gével

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Áramerősség jele : I mértékegysége : A (amper) 1A, annak az állandó áramnak az erős- sége, amely két párhuzamos, egyenes, végtelen hosszú, elhanyagolható keresztmetszetű és vákuumban egy- mástól egy méterre elhelyezett vezető- ben áramolva méterenként 2 x 10-7 N erőt hoz létre.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI alapmennyiségei: - Fényerősség jele : Iv mértékegysége: cd (kandela) 1cd, egy olyan fényforrás adott irányú fényerőssége, amely 540x1012 Hz-es frekvenciájú monokromatikus sugárzást bocsát ki, és az adott irányban 1/683 watt per szteradián nagyságú a sugárzás erőssége.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI kiegészitő mennyiségei: - Síkszög jele : φ mértékegysége: rad (radián) 1 radián annak a szögnek (φ) a nagysága, amely egy olyan körcikk középpontjában van, amelynek kerülete azonos hosszúságú a kör sugarával

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az SI kiegészitő mennyiségei: - Térszög jele : W, Ώ mértékegysége : sr (szteradián) 1sr az a térszög, amely az 1m sugarú gömb, 1m2 gömbfelületéhez tartozó középponti térszög.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli jobb sodrású derékszö- gű koordináta rendszer: három, egy ponton átmenő, egymásra merőleges, irányított egyenes (az x, az y, a z koordináta tengely három egymásra merő- leges koordináta síkot határoz meg. A tér egy tetszőleges P pontját az x, y, z koordi- náták a koordináta síkoktól mért, előjeles távolságok, egyértelműen meghatározzák.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Ábrázolják a koordináta rendszerben a következő pontokat: A(1; 2; 2); B(-3; 1; -2); C(3/2;-1; 9/2); D(3; 1; -3); E(-2; -1; 2).

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta rendszerek - Descartes- féle derékszögű koordináta rendszer: Descartes-i koordináta

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI - Descartes- féle térbeli derékszögű koordináta rendszer: Két pont távolsága: Ha P1(x1;y1;z1) és P2(x2;y2;z2) A két pont távolsága: d

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Két pont távolsága: Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) A két pont távolsága: d Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) Számítsuk ki két pont távolságát ha P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0) Számítsa ki (3;6;2) valamint (5;-3;-4) pontok távolságát d=11P1(-2;3;5) és P2(-3;4;0)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P1(x1;y1;z1) és P2(x2;y2;z2), az osztási arány k=(P1P)/(P P2)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Távolságot adott arányban osztó pont koordinátái: ha P1(5;2;-1) és P2(-3;4;2), az osztási arány k=(P1P)/(P P2)=1/2=0,5

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: Az egyenes egyenletének iránytényezős alakja Az egyenes az y tengelyt a y=b; x=0 pontban metszi és iránytényezője, vagy meredeksége: tgα=m=(y-b)/x, amelyből az y-t kifejezve Az egyenes egyenlete: y=mx+b

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: határozzuk meg az egyenes egyenletét, ha B(0;3) ,[B(0;b)] és P (-3;4), [P(x;y)] tgα=m=(y-b)/x, m=(4-3)/(-3)=-1/3 Az egyenes egyenlete: y=(-1/3)x+3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Síkbeli egyenes egyenletei: Egy adott ponton átmenő adott irányú egyenes egyenlete: Az egyenes átmegy a P1(x1;y1) ponton és m ismert, akkor az egyenes egyenlete az y-y1=m(x-x1) egyenletből számolható

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes átmegy a P1(5;-3) ponton és az m ismert, α =35o, akkor az egyenes egyenlete az m=tg35o=0,7002 y-(-3)=0,7002(x-(+5)) egyenletből számolható. y+3=0,7002x-3,5 y=0,7002x-6,5

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes átmegy a P1(-5;-1) és a P2(6;-2) ponton, akkor az egyenes egyenlete az y-(-1)=[(-2-(-1))/(6-(-5))](x-(-5)) egyenletből számolható y+1=[(-2+1)/(6+5)](x+5) y+1=[(-1)/(11)](x+5)=(-1/11)x -5/11 y=(-1/11)x -16/11

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: a.) Valamely számot vagy algebrai egész kifejezést az egyenlet mindkét oldalához hozzáadva vagy mindkét oldalból kivonva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x-a=c l(+a) x-a+a=c+a x=c+a Példa: x-12=27 l(+12) x-12+12=27+12 x=39

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: b.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozva vagy osztva az eredetivel egyenértékű kifejezést kapunk. x/a=c l( *a) (x/a)(*a)=c(*a) x=ca Példa: x/12=27 l(*12) (x/12)*12=27*12 x=324 12x=36 l(:12) 12x/12=36/12 x=3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenletek rendezésének szabályai: c.) Az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal az algebrai kifejezéssel szorozva eredményül az eredeti egyenlet következményét kapjuk, nem esik ki gyök. x-1=0 l( *(x+1)) (x-1)(x+1)=0 egyenletnek gyöke az x1=1 , de gyöke az x2=-1 is. Nem esett ki gyök, de van egy másik gyök is, a két egyenlet nem egyenértékű. Új gyök nem lép fel mindig! Példa: 3x/(x+2)=2 l(*(x+2) 3x=2*(x+2) 3x=2x+4 Ekkor az x=4 gyököt kapjuk , ami az eredeti egyenletnek is gyöke.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI MECHANIKA A mechanika feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó törvények felállítása. Valamennyi természettudo-mány közül a mechanika fejlődött elsőként egységes átfogó tudományos rendszerré. E rendszer megalapozása Galilei (1564-1642) és Newton (1642-1727) munkássá-gához köthető.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája Itt alkalmazunk először egyszerűsítő feltételeket, modellt alkotunk. Ez a modell a pontszerű, térbeli kiterjedés nélküli test, amely tömeggel rendelkezik. A modell alkalmas a kiterjedéssel rendelkező, de tiszta haladó mozgást végző testek, nem forgó, mozgásának a leírására. Ezen testeket anyagi pontnak, vagy tömeg-pontnak is nevezik.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája A pontszerű testek mozgásának leírása során a jellemző fizikai mennyiségeket vektormennyiségekként kezeljük (természetesen nem mindegyiket, pld. az időt nem), ez azt jelenti, hogy a mennyi-ségekhez abszolút értéket (nagyságot) és irányt rendelünk

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok jellemzői: A vektor jele: A vagy A vektor összetevői, komponensei: Ax, Ay, Az A vektor megadása: A=(Ax, Ay, Az), vagy A=iAx+jAy+kAz A vektor abszolút értéke:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok jellemzői: Vektorösszetevők

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: A vektorok kivonása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok kivonása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok összeadása: vektorösszeadás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A erővektorok összeadása: Erővektorösszeadás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok skaláris szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A vektorok vektoriális szorzása: Vektoriális szorzás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája Minden test helyzete és ennek kapcsán mozgá-sa is csak más testekhez viszonyítva jellemez-hető, minden mozgás relatív, viszonylagos. Ha egy test mozgását le akarjuk írni elsőként vá-lasztanunk kell egy másik testet, amelyhez a mozgást viszonyítjuk, ezt a testet vonatkozta-tási rendszernek nevezzük. Hozzá egy koor-dináta rendszert rögzítünk és ebben határoz-zuk meg a mozgó test helyzetét

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Koordináta rendszerek - A test helyzetének megadása polárkoor- dinátákkal: Polárkoordináta

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mechanikája Egy pontszerű test mindenkori helyzetét akkor ismerjük a térben, ha megadott a derékszögű koordináta rendszerben a test mindhárom koorditájának időfüggvénye. Vagyis adott: x=fx(t), y=fy(t), z=fz(t),

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mozgó pontszerű test jellemzői: - pályagörbe: a pont által időben egymás után érintett pontok halmaza. - megtett út : a pályagörbe hossza. Jele: s, mértékegysége: m. - sebesség : a megtett út és a megtételé- hez szükséges idő hányado- sa (átlagos sebesség!!) Jele: v, mértékegysége: m/s

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mozgó pontszerű test jellemzői: - gyorsulás: a sebesség változás és a változáshoz szükséges idő hányadosa (átlagos gyorsu- lás!!). Jele: a, mértékegysége: m\s2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgás. A pályagörbe egyenes vonal. A koordináta rendszert úgy választjuk meg, hogy egyik tengelye az egyenes vonalon feküdjön, így a három koordináta közül csak az egyik változik, és csak azt kell vizsgálni. Például, csak az x tengelyt.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések: - a gyorsulás állandó, vagy nulla, a=áll. Lehet negatív is (lassulás) - a sebesség: v=at+v0 - A megtett út: s=at2/2+v0t+s0 ahol a v0 a kezdeti sebesség, s0 pedig a kezdeti helyzet.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések, : 1. példa - a gyorsulás nulla, a=0m/s2 - A sebesség, ha v0=10m/s v=at+v0=0*t+10=10m/s állandó - A megtett út, ha kezdeti helyzet s0=0: s=at2/2+v0t+s0=0t2/2+10t+0=(10t)m Vagyis a megtett út az idővel arányosan nő. A fentiekben a v0 a kezdeti sebesség, s0 pedig a kezdeti helyzet.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az egyenes vonalú mozgásra vonatkozó összefüggések, : 2. példa - a gyorsulás nem nulla, a=10m/s2 - A sebesség, ha v0=10m/s v=at+v0=(10*t+10)m/s Vagyis a sebesség az idővel arányosan nő. - A megtett út, ha kezdeti helyzet s0=0: s=at2/2+v0t+s0=(10*t2/2+10*t+0)m Vagyis a megtett út az idővel négyzetesen nő. A fentiekben a v0 a kezdeti sebesség, s0 pedig a kezdeti helyzet.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: -általános alakja: ax+b=0 , ahol a≠0 Az egyenlet akkor megoldott, ha az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig csak ismert mennyiség van. Ezt rendezés-sel érhetjük el. ax+b=0 l(-b) ax=-b l:a x=-b/a az egyenlet megoldása

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: A gyök akkor helyes, ha azt az egyenlet eredeti alakjában behelyettesítve egyenlő-séget kapunk. x=-b/a az egyenlet megoldása. Behelyettesítve: a(-b/a)+b=0 -ab/a+b=0 -b+b=0 0=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 1. példa: 2x-22+x+11=2x-5-x összevonás 3x-11=x-5 l(-x+11) 2x= 6 l:2 x=3 Ellenőrzés: 2*3-22+3+11=2*3-5-3 6-22+3+11=6-5-3 -2=-2 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 2. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójel felbontás 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l (-3x+33) -2x=+28 l :(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14) -28-(19)=-28-5-14 -47=-47 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 3. példa: 2x-(22+x+11)=2x-(5-x) l zárójelek felbontása 2x-22-x-11=2x-5+x l összevonás x-33=3x-5 l(-3x+33) -2x=+28 l:(-2) x=-14 Ellenőrzés: 2*(-14)-(22-14+11)=2*19-(5-(-14) -28-(19)=-28-5-14 -47=-47 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 4. példa: (9x+7)/2+(x-2)/7=36+x l A nevezők legkisebb közös többszörösével szorzunk, most 2*7=14 (9x+7)*7+(x-2)*2=(36+x)14 l zárójelek felbontása 63x+49+2x-4=504+14x l-49+4-14x és összevonás 51x=459 l:(51) x=459/51=9 Ellenőrzés: (9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9 88/2+7/7=45 45=45 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: 5. példa: 16/(5x-3)=8/x l A nevezők szorzatával szorzunk, most (5x-3)*x , feltéve, hogy x≠0 és x≠3/5 16x=8(5x-3) l zárójelek felbontása 16x=40x-24 l-40x és összevonás -24x=-24 l:(-24) x=1 Ellenőrzés: 16/(5*1-3)=8/1 16/2=1 8=8 egyenlőség!

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az elsőfokú (lineáris) egyismeretlenes egyenlet: Az egyenlet megoldásának lehetséges lépései: - eltávolítjuk a törteket, - elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójeleket, - rendezzük az egyenletet, - összevonunk, - elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét oldalt, - elvégezzük az ellenőrzést.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton I. törvénye: minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egye nes vonalú egyenletes mozgását, ha annak megváltoztatására más test köl- csönhatása nem kényszeríti. Ezt a hatást erőhatásnak, vagy erőnek nevezzük. A törvény a tehetetlenség törvénye.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: Az erő és az általa okozott gyor- sulás egyenesen arányos egy- mással, az arányossági tényező a test tömege. F=ma ahol m a test tömege.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: F erő, vektor mennyiség, iránya és nagysága van. Származtatott mennyi- ség. Mértékegysége: kgm/s2=N (Newton)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton II. törvénye: Newton II. törvénye

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - Newton III. törvénye: hatás- ellenhatás törvénye. Ha egy test erővel hat egy másikra, akkor a másik ugyanakkora abszolút értékű, azonos hatásvonalú, de ellentétes irányú erővel hat rá. F1,2=-F2,1

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A mechanika (dinamika) alaptörvényei: - „Newton IV. törvénye”: erőhatások függetlenségének az elve. Ha egy testre egyszerre több erő hat, mindegyik erő a többitől függetlenül fejti ki hatását, így az eredő gyorsulás az eredő erők által meghatározott lesz.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az impulzus (mozgásmennyiség): definíciója: a tömeg és a sebesség szorzata, jele : I vektor mennyiség I=mv mértékegysége: kgm/s=Ns

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az impulzus megmaradás törvénye: ha egy testre nem hat erő, vagy az erők eredője nulla, akkor a test impulzusa nem változhat meg F=0N I1=I2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: -általános alakja: ax2+bx+c=0 , ahol a#0 A fenti alakot vegyes másodfokú egyenlet-nek nevezzük. Ha b=0 akkor kapjuk a tiszta másodfokú egyenletet: ax2+c=0 Ha c=0 akkor kapjuk a hiányos másodfo-kú egyenletet: ax2+bx=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: ax2+c=0 x2=-c/a rendezés után A két gyököt különválasztva: Az „a” mindig pozitív, így c<0 esetén két valós gyök van, c>0 esetén nincs valós gyök.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A tiszta másodfokú egyenlet megoldása: Példa: 5x2-12=0 x2=12/5=2,4 rendezés után A két gyököt különválasztva:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A hiányos másodfokú egyenletet: ax2+bx=0 az egyenletből x-et kiemelve x(ax+b)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x1=0 az egyik gyök, vagy ax+b=0 x2=-b/a a másik gyök.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A hiányos másodfokú egyenletet: 3x2+5x=0 az egyenletből x-et kiemelve x(3x+5)=0 kapunk, szorzat csak akkor lehet nulla, ha vagy az egyik vagy a másik tényezője nulla: x1=0 az egyik gyök, vagy 3x+5=0 x2=-3/5 a másik gyök.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet: ax2+bx+c=0 , ahol a#0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet: 8x2+2x-1=0 Az egyenlet megoldó képlete: A két gyök:

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyismeretlenes egyenlet: A vegyes másodfokú egyenlet gyökeinek jellegét a diszkrimináns a b2-4ac kifejezés határozza meg: a.) ha b2-4ac>0 két egymástól különböző valós gyök van b.) ha b2-4ac=0 a gyökök egymással egyenlők c.) ha b2-4ac<0 nincsenek valós gyökök

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - Gravitációs (súly) erő: G néha W G=mg ahol g= 9,81m/s2 a gravitációs gyorsulás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - a felület síkjára merőleges nyomóerő N=G cos ß

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - súrlódási erők tapadási súrlódási erő Ftap=μtapN csúszási súrlódási erő Fs=μsN

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Erőhatás fajták: - rugalmas erő A rugó megnyújtásához szüksé- ges erő egyenesen arányos a megnyújtással: Frug=Dx ahol a D a rugóállandó, egységnyi megnyúj- táshoz szükséges erő mértéke, mértékegy- sége: N/m. A rúgóerő tehát: Frugó=-Dx

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgását a lejtőn két erő egyenlet határozza meg: Az x tengely irányában: Fx=F-μN , ahol F=G sinß és a Fs= μN Az y tengely irányában: Fy=0=N-G cosß A test gyorsul, ha Fx > 0N

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka: fizikai munkavégzés akkor van, ha a test az erő hatására elmozdul. A munka jele: W A munka kiszámítása: W=Fs két vektor skalárszorzata Mértékegysége: Nm=J (joule)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az energia: ha egy testen munkát végzünk, akkor azt olyan állapotba hozhatjuk, hogy az maga is munkát képes végezni. Ezt a munkavégző képességet energiának nevezzük. Az energia jele: E, vagy W Mértékegysége: J

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka fajtái: - Az emelési munka: Wem=mgh, ahol h az emelési magasság - A gyorsítási munka: Wgy=mv2/2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka fajtái: - A feszítési munka: Wfesz=Dx2/2 - A súrlódási munka: Ws=-μFnys cos ß

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A munka és energia fajták kapcsolata: Emelési munka, helyzeti energia Wem=mgh Wh=Eh=mgh Gyorsítási munka, mozgási energia Wgy=mv2/2 Wm=Em=mv2/2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Az energia megmaradás tétele: Konzervatív terekben a helyzeti energia és a mozgási energia összege állandó Wh1+Wm1=áll.=Wh2+Wm2 mgh1+mv12/2=mgh2+mv22/2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között: ha az ax2+bx+c=0 egyenlet diszkriminánsa pozitív, akkor az egyenletnek két gyöke van: Adjuk össze a két gyököt: x1+x2=-b/a szorozzuk össze őket: x1*x2=c/a ha az egyenletet a-val osztjuk, akkor: x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlethez jutunk

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x1=4, x2=-2 4+(-2)=-b/a; 2=-b/a 4*(-2)= c/a -8=c/a Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x2+(b/a)x+c/a=0 , azaz x2+(-2)x+(-8)=0 x2 -2x -8=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja: az x2+(b/a)x+c/a=0 egyenlet szorzattá alakítható a fenti összefüggések alapján: x2+(-(x1+x2))x+x1*x2=0 megfelelő átalakítások után: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) a-val osztva: x2+(b/a)x+c/a=(x-x1)(x-x2) a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI A fentiek alapján, ha ismerjük egy másodfokú egyenlet gyökeit, magát az egyenletet egyszerűen felírhatjuk: legyen x1=4, x2=-2 Tehát a másodfokú egyenlet a következőképpen írható fel: x2+(b/a)x+c/a=(x-x1)(x-x2)=0 , azaz x2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x-(-2))=0 x2+(b/a)x+c/a=(x-4)(x+2)=0 x2+(b/a)x+c/a=x2-4x+2x-8=0 x2+(b/a)x+c/a=x2 -2x-8=0 tehát a másodfokú egyenlet: x2 -2x-8=0

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása lejtőn: Mozgás lejtőn

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek gyorsuló mozgása: Gyorsuló mozgás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: a test sebességvektorának hatásvonala mindig a kör adott pontjához húzott érintő. Egyenletes körmozgás esetén a sebesség nagysága állandó iránya változik. A centripetális gyorsulás iránya az érintőre merőleges és állandó.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: a kör síkbeli vonal, ezért az x-y síkban megha-tározható, a következő egyenletekkel: x=r cos φ y=r sin φ ahol φ=θ, a szögelfordulás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: körmozgás esetén meghatározható a - szögelfordulás: mértékegysége: rad Δφ=φ2-φ1 - szögsebesség: ω= Δφ/ Δt mértékegysége: rad/s

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: körmozgás esetén meghatározható a - szöggyorsulás: mértékegysége: rad/s2 β=Δω/ Δt

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: Kapcsolatok a fizikai mennyiségek között: -A körvonalon megtett út hossza: s=rφ csak akkor, ha [φ]=rad!! - A kerületi sebesség: v=rω - A centripetális gyorsulás acp=v2/r= rω2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: Kapcsolatok a fizikai mennyiségek között: - érintő irányú (tangenciális) gyorsulás: ha a szöggyorsulás nem nulla, akkor a kerületi sebesség változó, ekkor van érintő irányú gyorsulás aé=at=rβ

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán: Körmozgás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása körpályán, körhinta modell: Körhinta

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Pontszerű testek mozgása, ferde hajítás: Ferde hajítás

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Pontszerű testek, vagy homogén golyók ütközése csak centrális lehet, de lehet egyenes, vagy ferde. Ha a súlypontokból felmért sebességvektorok egy egyenesbe esnek, akkor egyenes, ha nem akkor ferde ütközésről beszélünk.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Általában bármilyen ütközésnél fennáll az impulzus megmaradásának tétele, mivel a külső erők rendszerint elhanya- golhatók. m1v1+m2v2=m1u1+m2u2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: A tökéletesen rugalmas testek ütközé- sénél fennáll, hogy az ütközés előtti és az ütközés utáni kinetikai (mozgási) energiák összege egyenlő. m1v12/2+m2v22/2=m1u12/2+m2u22/2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: a fenti két egyenlet felhasználásával egyenes ütközés esetén kiszámítható a két új sebesség u1=2(m1v1+m2v2)/(m1+m2)-v1 u2=2(m1v1+m2v2)/(m1+m2)-v2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Trt ütközése

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas testek ütközése: Trt ütközése

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tökéletesen rugalmas és rugalmatlan testek ütközése: Ütközések

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Tömegközéppont: s Tömegközéppont

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek általános alakja: a1x+b1y=d1 a2x+b2y=d2 Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha két egyenlet egymástól független és nincs ellentmondásban egymással.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása: - Helyettesítő módszer: valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent és azt behelyettesítjük a másikba, majd az így kapott egyismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott eredményt bármelyik egyenletbe behelyettesítve, kiszámítjuk a másik ismeretlent. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyettesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása: (I) x-2y=-4 (II) 2x+y=-3 ------ -------------- Az első egyenletből kifejezzük az x-et x=2y-4 és behelyettesítjük a (II)-be 2(2y-4)+y=-3 4y-8+y=-3

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása (folytatás): 4y-8+y=-3 l: összevonás 5y-8=-3 l +8 5y=5 l :5 y=1 --------------- behelyettesítés az (I) egyenletbe: x-2(1)=-4 x-2=-4 l +4 x=-2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása (próba): (I) (-2)-2(1)=-4 l zárójel felbontás -2-2=-4 -4=-4 (II) 2(-2)+1=3 l zárójel felbontás -4+1=-3 -3=-3 tehát az egyenlet gyökei: x=-2 ; y=1

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása: - Az egyenlő együtthatók módszer: Az egyenleteket egy-egy alkalmasan megválasz-tott számmal úgy szorozzuk meg, hogy a kikü-szöbölendő ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen. Ezután a két egyenlet megfelelő oldalait összevonjuk, így egyismeretlenes egyenletet kapunk, megoldjuk az egyenletet, amely megoldását a másikba behelyettesítjük és azt is megoldjuk. Utolsó lépésként mindkét egyenletbe behelyet-tesítjük az eredményeket, így elvégezzük a próbát.

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása: (I) 5x+3y=19 (II) 6x-2y= 6 ------ -------------- minkét egyenletet megszorozzuk egy alkalmas számmal, az (I)-et 6-tal a (II)-öt 5-tel: (I) 5x+3y=19 l*6 (II) 6x-2y= 6 l*5 ------ --------------

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (folytatás): (I) 30x+18y=114 (II) 30x-10y= 30 l*5 ------ -------------- (I)-ből vonjuk ki a (II)-öt 28y=84 l :28 y=3 behelyettesítés az eredeti (I)-be 5x+3*(3)=19 5x+9=19 l -9 5x=10 l :5 x=2

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendsze-rek megoldása (próba): (I) 5(2)+3(3)=19 l zárójel felbontás 10+9=19 19=19 (II) 6(2)-2(3)=6 l zárójel felbontás 12-6=6 6=6 tehát az egyenlet gyökei: x=2 ; y=3