A Függvény teljes kivizsgálása

Értelmezési tartomány A függvény értelmezési tartománya alatt azon számértékek tartományát értjük, amelyekre létezik egyértelmű és valós függvényérték. Problémás esetek: Tört nullával nem lehet osztani Gyök a páros gyök alatti mennyiség nem lehet negatív Logaritmus mindig pozitív számra vonatkozik

aszimptoták Függőleges aszimptota Ferde aszimptota Az f függvény függőleges aszimptotája az egyenes, akkor és csakis akkor, ha vagy Ferde aszimptota Az f függvény ferde aszimptótája az egyenes, ha létezik a következő két határérték: és Vízszintes aszimptota Az f függvény vízszintes aszimptótája az egyenes, ha teljesül:

Párosság Az f függvény akkor páros, ha az értelmezési tartomány minden x értékére. Az f függvény akkor páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x értékére. Ha egyik feltétel sem teljesül, akkor a függvény se nem páros, se nem páratlan (se-se).

Nullahely és előjel Az értéket akkor nevezzük az f függvény nullájának, ha a függvény értéke ebben a pontban nulla. A függvény előjelét táblázat segítségével határozzuk meg.

monotonitás Az f függvény növekvő az A halmazon, ha bármely esetén fennáll: Az f függvény csökkenő az A halmazon, ha bármely esetén fennáll: A függvény növekvő az (a, b) intervallumon, ha , értékre. A függvény csökkenő az (a, b) intervallumon, ha , értékre.

Szélsőérték A f: A → B függvénynek akkor és csakis akkor van szélsőértéke az helyen, ha ott változik a monotonitása: növekedése átvált csökkenésre (maximum), vagy csökkenése növekedésre vált (minimum). Azokat a pontokat, amelyekben az első derivált nulla, vagy nem létezik, kritikus pontoknak nevezzük. Ha a kritikus pontban megváltozik az első derivált előjele, akkor ebben a pontban a függvénynek helyi szélsőértéke van.

Konvexitás Legyen az f(x) az (a, b) intervallumban differenciálható függvény. Az f függvényre akkor mondjuk, hogy lefelé konvex (felfelé konvex - konkáv) az (a ,b) intervallumon, ha a függvény grafikonjának ebbe az intervallumba eső része a grafikonnak bármely érintője felett (alatt) van. Ha az f függvénynek az (a, b) intervallumban a második deriváltja pozitív (negatív), akkor az, ebben az intervallumban lefelé konvex (konkáv).

Inflexiós pont Azokat a pontokat, amelyekben megváltozik a függvény konvexitása inflexiós pontoknak nevezzük. Az inflexiós pontok meghatározása ugyanúgy történik, mint a szélsőérték meghatározása. Megkeressük azokat a pontokat, amelyekben a második derivált nullával egyenlő, vagy nem létezik. Ezután ellenőrizzük, hogy ezektől a pontoktól balra és jobbra azonos-e vagy különböző a függvény konvexitása.

Grafikon A Descartes - féle koordináta rendszerben ábrázoljuk az aszimptotákat, a nullahelyeket, szélsőértékeket és inflexiós pontokat. Az értelmezési tartomány, párosság, előjel, monotonitás és konvexitás figyelembe vételével megrajzoljuk a függvény grafikonját. The end