A MATEMATIKA FELÉPÍTÉSÉNEK ELEMEI 1) ALAPFOGALOM: OLYAN FOGALOM, AMELYET NEM DEFINIÁLUNK, HANEM DEFINÍCIÓ NÉLKÜL TEKINTÜNK ISMERTNEK. AZ ALAPFOGALMAK SEGÍTSÉGÉVEL FOGALMAZUNK MEG DEFINÍCIÓKAT, TÉTELEKET, AXIÓMÁKAT. AZ ALAPFOGALMAKAT TÖBBNYIRE A SZEMLÉLET ALAPJÁN FOGADJUK EL. PL.: GEOMETRIA: PONT, EGYENES, SÍK 2) DEFINÍCIÓ: EGY FOGALOM MEGADÁSA, LEÍRÁSA, MAGYARÁZATA MÁS, MÁR DEFINIÁLT FOGALMAKKAL, ILLETVE ALAPFOGALMAKKAL. PL.: GEOMETRIA: PÁRHUZAMOS EGYENESPÁR 3) TÉTEL: OLYAN ÁLLÍTÁS, AMELYNEK IGAZ VOLTÁT BIZONYÍTÁNI KELL 4) AXIÓMA: ALAPIGAZSÁG, OLYAN ÁLLÍTÁS, AMELYET BIZONYÍTÁS NÉLKÜL IGAZNAK FOGADUNK EL

I. HALMAZ, HALMAZ ELEME A HALMAZ, ILLETVE A HALMAZ ELEME A MATEMATIKÁBAN ALAPFOGALOM HALMAZ JELÖLÉSE: A := { … } , B := { … } HALMAZ MEGADÁSA TÖRTÉNHET: ELEMEINEK FELSOROLÁSÁVAL - EGY JELLEMZŐ KÖZÖS TULAJDONSÁG MEGADÁSÁVAL - ÁBRÁN SZEMLÉLTETVE  VENN-DIAGRAMM ELEME, NEM ELEME JELÖLÉSE: a  B , c  B MINDEN HALMAZT EGYÉRTELMŰEN MEGHATÁROZZÁK AZ ELEMEI EGY HALMAZ AKKOR VAN MEGHATÁROZVA, HA BÁRMIRŐL EL TUDJUK DÖNTENI, HOGY ELEME-E A HALMAZNAK, VAGY SEM

II. HALMAZOK EGYENLŐSÉGE I. HALMAZ, HALMAZ ELEME SZEMLÉLETES TARTALMAK 1) HALMAZ: OLYAN „DOLGOK” ÖSSZESSÉGE, AMELYEKET VALAMELY KÖZÖS TULAJDONSÁG JELLEMEZ Pl.: A:={A BUDAPESTI NÉMETH LÁSZLÓ GIMNÁZIUM 2011/2012 TANÉVÉNEK 9.B OSZTÁLYÁNAK TANULÓINAK HALMAZA} B:={HÓNAPOK HALMAZA} C:={AZ ANGOL ABC BETŰINEK HALMAZA} 2) HALMAZ ELEME: A HALMAZT ALKOTÓ „DOLGOK” II. HALMAZOK EGYENLŐSÉGE DEFINÍCIÓ: KÉT HALMAZT AKKOR MONDUNK EGYENLŐNEK, HA UGYANAZOK AZ ELEMEI Pl.: A:={ 2k alakú számok, ahol kZ }= (rövidebben) = { 2k| kZ } B:={ páros számok } halmazmegadások esetén A=B={…, -4, -2, 0, 2, 4, …}

III. SPECIÁLIS HALMAZOK ÜRESHALMAZ: EGY OLYAN HALMAZ, AMELYNEK NINCS EGYETLEN ELEME SEM EGYETLEN ÜRESHALMAZ VAN, JELÖLÉSE:  VAGY { } UNIÓHALMAZ: EGY OLYAN HALMAZ, AMELYNEK MINDEN HALMAZ RÉSZHALMAZA EGYETLEN UNIÓHALMAZ VAN, JELÖLÉSE: U MEGOLDÁSHALMAZ: AZT A HALMAZT, AMELYNEK ELEMEI EGY FELADAT MEGOLDÁSAI, AZ ADOTT FELADAT MEGOLDÁSHALMAZÁNAK NEVEZZÜK. JELÖLÉSE: M

TRIVIÁLIS ÉS VALÓDI RÉSZHALMAZOK IV. RÉSZHALMAZ DEFINÍCIÓ:AZT MONDJUK, HOGY A B HALMAZ AZ A HALMAZNAK RÉSZHALMAZA, HA B MINDEN ELEME AZ A HALMAZNAK IS ELEME Pl.: A:={ 2k| kZ } B:={ 4k| kZ } esetén B  A TRIVIÁLIS ÉS VALÓDI RÉSZHALMAZOK DEFINÍCIÓ: LEGYEN A TETSZŐLEGES HALMAZ, EKKOR AZ A HALMAZ- NAK BIZTOSAN RÉSZHALMAZA AZ ÜRESHALMAZ ÉS ÖNMAGA. EZT A KÉT HALMAZT AZ A HALMAZ TRIVIÁLIS RÉSZHALMAZAINAK MONDJUK. A  A ,   A DEFINÍCIÓ: A NEM TRIVIÁLIS RÉSZHALMAZOKAT VALÓDI RÉSZHALMAZOKNAK MONDJUK. B  A , ha B  A , de B≠A és B≠

V. HATVÁNYHALMAZ VI. HALMAZ SZÁMOSSÁGA DEFINÍCIÓ: LEGYEN A TETSZŐLEGES HALMAZ. AZT A HALMAZT, AMELYNEK ELEMEI AZ A HALMAZ RÉSZHAL- MAZAI, AZ A HALMAZ HATVÁNYHALMAZÁNAK MONDJUK. JELÖLÉS: P(A) Pl.: A:={1,2,3} ESETÉN: P(A):={ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} VI. HALMAZ SZÁMOSSÁGA DEFINÍCIÓ: EGY TETSZÖLEGES HALMAZ SZÁMOSSÁGA ALAT A HALMAZ ELEMINEK A SZÁMÁT ÉRTJÜK JELÖLÉS: |A| TÉTEL. EGY TETSZŐLEGES A HALMAZ HATVÁNYHALMAZÁNAK SZÁMOSSÁGA: |P(A)|=2|A| DEFINÍCIÓ: EGY HALMAZ VÉGES HALMAZ, HA SZÁMOSSÁGA TERMÉSZETES SZÁM EGY HALMAZ VÉGTELEN HALMAZ, HA NEM VÉGES

VII. GYAKOROLJUNK! MEGOLDÁSOK 1) ADOTT AZ A:={20-SZAL OSZTHATÓ KÉTJEGYŰ SZÁMOK} HALMAZ A) HOGYAN ADHATJUK MEG MÁSKÉPPEN AZ A HALMAZT? B) SOROLD FEL AZ A HALMAZ RÉSZHALMAZAIT! C) HÁNY ELEMŰ AZ A HALMAZ HATVÁNYHALMAZA? MEGOLDÁSOK A) A:={ 20k | k=1,2,3,4 } vagy A:={ 20, 40, 60, 80 } B) , {20}, {40}, {60}, {80}, {20,40}, {20,60}, {20,80}, {40,60}, {40,80}, {60,80}, {20,40,60}, {20,40,80}, {20,60,80}, {40,60,80}, {20,40,60,80} C) |P(A)| = 24 = 16

VII. GYAKOROLJUNK! 2) ADOTT: B:={1,2,3,4,5} HALMAZ A) HOGYAN ADHATJUK MEG MÁSKÉPPEN A B HALMAZT? B) SOROLD FEL A B HALMAZ RÉSZHALMAZAIT! C) HÁNY ELEMŰ A B HALMAZ HATVÁNYHALMAZA? MEGOLDÁSOK A) B:={5-NÉL NEM NAGYOBB POZITÍV EGÉSZ SZÁMOK} B) , {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5} {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5} {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {2,3,4,5} {1,2,3,4,5} C) |P(B)| = 25 = 32

VIII. HALMAZMŰVELETEK 1) ÚNIÓ DEFINÍCIÓ: KÉT TETSZŐLEGES, A ÉS B HALMAZ UNIÓJÁN AZT AZ AB SZIMBÓLUMMAL JELÖLT HALMAZT ÉRTJÜK, AMELYNEK ELEMEI VAGY AZ A, VAGY A B HALMAZNAK ELEMEI Pl.: ADOTT: A:={1,2,3,4,5,6} ÉS B:={5,6,7,8} EKKOR: AB:={1,2,3,4,5,6,7,8} MŰVELETI TULAJDONSÁGOK KOMMUTATIVITÁS (FELCSERÉLHETŐSÉG): AB=BA ASSZOCIATIVITÁS (CSOPORTOSÍTHATÓSÁG): (AB)C=A(BC) IDEMPOTENCIA: AA=A TOVÁBBÁ: HA BA, AKKOR AB=A, KÖVETKEZÉSKÉPP: A=A

VIII. HALMAZMŰVELETEK 2) METSZET DEFINÍCIÓ: KÉT TETSZŐLEGES, A ÉS B HALMAZ METSZETÉN AZT AZ AB SZIMBÓLUMMAL JELÖLT HALMAZT ÉRTJÜK, AMELYNEK ELEMEI AZ A ÉS A B HALMAZNAK IS ELEMEI Pl.: ADOTT: A:={1,2,3,4,5,6} ÉS B:={5,6,7,8} EKKOR: AB:={5,6} MŰVELETI TULAJDONSÁGOK KOMMUTATIVITÁS (FELCSERÉLHETŐSÉG): AB=BA ASSZOCIATIVITÁS (CSOPORTOSÍTHATÓSÁG): (AB)C=A(BC) IDEMPOTENCIA: AA=A TOVÁBBÁ: HA BA, AKKOR AB=B, KÖVETKEZÉSKÉPP: A=

VIII. HALMAZMŰVELETEK 3) KÜLÖNBSÉG DEFINÍCIÓ: KÉT, TETSZŐLEGES A ÉS B HALMAZ KÜLÖNBSÉGÉN AZ A\B SZIMBOLUMMAL JELÖLT HALMAZT ÉRTJÜK, MELYNEK ELEMEI AZ A HALMAZNAK ELEMEI, DE A B HALMAZNAK NEM. Pl.: ADOTT: A:={1,2,3,4,5,6} ÉS B:={5,6,7,8} EKKOR: A\B:={1,2,3,4} MŰVELETI TULAJDONSÁGOK NEM KOMMUTATIV: A\B≠B\A NEM ASSZOCIATIV: (A\B)\C≠A\(B\C) NEM IDEMPOTENS: A\A≠A, HANEM: A\A= TOVÁBBÁ: A\=A, \A=, (A\B)(B\A)=(AB)\(AB)

VIII. HALMAZMŰVELETEK 4) KOMPLEMENTER HALMAZ DEFINÍCIÓ: EGY TETSZŐLEGES A HALMAZ KOMPLEMENTER HALMAZÁN AZT AZ Ā SZIMBOLUMMAL JELÖLT HALMAZT ÉRTJÜK, MELYNEK ELEMEI AZOK AZ ELEMEK, MELYEK AZ A HALMAZNAK NEM ELEMEI.LÉNYEGÉBEN: Ā=U\A MEGJEGYZÉS: FONTOS MEGADNI, HOGY MELY AZ A HALMAZT TARTALMAZÓ HALMAZRA VONATKOZTATVA ÉRTJÜK A KOMPLEMENTER TULAJDONSÁGOT, HA NINCS MEGADVA MÁS, AKKOR AZ UNIÓ HALMAZRA ÉRTJÜK. Pl.: ADOTT: A:={1,2,3,4,5,6} ÉS B:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,} EKKOR: ĀB:={7,8,9} MŰVELETI TULAJDONSÁGOK