Henkin-Hintikka-játék szabályai, kvantoros formulákra, még egyszer: Aki ‘  xA(x)’ igazságára fogad, annak kell mutatnia egy objektumot, amire az ‘A(x)’ mondat igaz. Aki ‘  xA(x)’ hamisságára fogad, annak kell mutatnia egy objektumot, amire az ‘A(x)’ mondat hamis. Ha a ‘  xA(x)’ mondat hamisságára fogadunk, akkor a fentiek szerint az ellenfél mutathat egy objektumot, amire az ‘A(x)’ mondat igaz. Ha a ‘  xA(x)’ mondat igazságára fogadunk, akkor a fentiek szerint az ellenfél mutathat egy objektumot, amire az ‘A(x)’ mondat hamis. HF: 9.10 Cél: egy szövegfájl (9.10_vezeteknev.doc,.docx vagy.rtf) tizenkét mondattal (angol vagy magyar, tetszés szerint).

Logikai igazságok, helyes következtetések – újak és régiek  x Él(x)  x Virul(x)  x(Él(x)  Virul(x))  x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x)  x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x)  x Él(x)  x Virul(x)  x (Él(x)  Virul(x)) Kijelentéslogikai következmények (TautCon) Elsőrendű következmény (FOCon)

Hasonlóképpen logikai igazságokkal:  xTet(x)  xTet(x) logikai igazság (tautológia)  xTet(x)  x  Tet(x) nem logikai igazság  x(Tet(x)  Tet(x)) (FO) logikai igazság, de nem tautológia.  xTet(x)   x  Tet(x) ugyancsak FO logikai igazság, de nem tautológia.  xTet(x)   xTet(x) tautológia. Definíció: Az elsőrendű nyelv egy mondata tautológia, ill. egy következtetése tautologikusan helyes (másképp: a konklúzió tautologikusan következik a premisszákból), ha a kijelentéslogikai formája tautológia, illetve helyes kijelentéslogikai következtetési séma. Emlékeztető: a kijelentéslogikai forma úgy áll elő, ha a kijelentéslogikában tovább nem bontható részmondatokat mondatbetűkkel helyettesítjük. A tárgyalási univerzum nem lehet üres!

Algoritmus a kijelentéslogikai (truth-functional) forma előállítására az elsőrendű nyelv egy zárt mondatából: Balról jobbra elkezdjük olvasni a mondatot. Ha kvantorhoz érünk, elkezdünk egy aláhúzást, amely a kvantifikáció hatókörének végéig tart. Ha predikátumhoz érünk, aláhúzzuk azt az atomi mondatot, amelyben ő a predikátum. Ha az, amit aláhúztunk, még nem szerepelt korábban, akkor megcímkézzük egy új mondatbetűvel. Ha szerepelt, akkor azzal a betűvel címkézzük meg, amivel az azonos mondatot korábban. Ezután tovább folytatjuk az olvasást az aláhúzás végétől jobbra. Ha a formula végére értünk, kész vagyunk az annotálással. Ezután minden részmondatot a címkéjével helyettesítünk. KÉSZ.

Példa: (  x(Cube(x)  y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y)))  (  zDodec(z)  Cube(a)))  (  xCube(x)   Cube(a)) (  x(Cube(x)  y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y))) A  (  zDodec(z)  Cube(a)))  (  xCube(x)   Cube(a)) (  x(Cube(x)  y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y))) A  (  zDodec(z) B  Cube(a)))  (  xCube(x)   Cube(a)) (  x(Cube(x)  y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y))) A  (  zDodec(z) B  Cube(a) C ))  (  xCube(x) D   Cube(a)) (  x(Cube(x)  y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y))) A  (  zDodec(z) B  Cube(a) C ))  (  xCube(x) D   Cube(a) C ) (A  (B  C))  (  D   C) HF: 10.3, 10.4

Centrális logikai fogalmak - újra Logikai igazság: minden lehetséges világban igaz Logikai következmény [helyes/érvényes következtetés]: minden világban, ahol a premisszák igazak, a konklúzió is igaz. Logikailag ekvivalensek: ugyanazokban a világokban igazak. Lehetséges világok: nyelvhez (nyelv- családhoz képest!!! Kijelentéslogikai igazság (tautológia): a kijelentéslogikai formája logikai igazság. Azaz bármilyen igazságértéket rendelünk a mondatbetűkhöz, az egész mondat igaz. Kijelentéslogikai (tautologikus) következmény: Ha úgy rendelünk igazságértéket a mondatbetűkhöz, hogy a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz lesz. Kijelentéslogikailag (tautologikusan) ekvivalensek: bárhogy rendelünk a mondatbetűkhöz igazságértéket, egyszerre igazak.

Centrális logikai fogalmak az elsőrendű logikában Elsőrendű logikai igazság, avagy érvényes mondat (FO validity) Elsőrendű (logikai) következmény, avagy elsőrendben érvényes következtetés Elsőrendű (logikai) ekvivalencia Mindegyik a megfelelő általános fogalom specifikációja azzal a megszorítással, hogy „az elsőrendű logika konstansainak (konnektívumok kvantorok, azonosságjel) jelentéséből adódóan”. Mindegyik tágabb, mint a megfelelő kijelentéslogikai fogalom (tautológia, tautologikus következmény, tautologikus ekvivalencia) és szűkebb, mint az általános logikai (analitikus) igazság, stb. Pontosabb definíciót keresünk, elsősorban az érvényes következtetésre.

Elsőrendű logikai (FO) igazság (validity): logikai igazság, és ez nem függ a szereplő predikátumoktól és in-nevektől. Azaz bármilyen univerzumban, bárhogy rendelünk a szereplő predikátumokhoz terjedelmet és az in-nevekhez jelöletet, igaz lesz. Elsőrendű logikai következmény: ha úgy rendelünk a szereplő predikátumokhoz terjedelmet és a z in-nevekhez jelöletet, hogy a premisszák igazak legyenek, akkor a konklúzó is igaz lesz. Elsőrendű logikai ekvivalencia: kölcsönös következmény. Ez ugyanaz, mint két héttel ezelőtt, a kvantifikációs De Morgan-szabályoknál? Igen!

 x(x > 0  x =0)   x(x >0  x=0) Tautológia.  x  y((Páros(x)  x=y)  Páros(y)) FO igazság, de nem tautológia.  x(x > 0  x =0) Logikai (analitikus) igazság a természetes számok aritmetikájának nyelvében, de nem FO igazság.  x  y  z((x>y  y>z)  x>z) Logikai igazság minden olyan nyelvben, ahol ‘>’ azt jelenti, hogy nagyobb, de nem FO igazság.  x(Larger(x, a))  x(Larger(b, x)) Következik-e ezekből logikailag/elsőrendben, hogy Larger(a, b)? És azzal a pótpremisszával, hogy Larger(c,d)? Így már logikailag (analitikusan) következik. De elsőrendben nem: jelentse most ‘Larger(x, y)’ azt, hogy x szereti y-t.