A középiskolai ismeretanyag áttekintésétől a differenciálszámításig Dr. Tóth Zoltán BGF - PSZK, Módszertani Intézeti Tanszék

Bevezetés Egyre több felmérés készül a felsőoktatásba kerülők matematika tudásszintjéről, ami azt mutatja, hogy nincs minden rendben. Különösen a függvényfogalom áll gyenge lábakon. A heti óraszám az utóbbi 25 évben 33 óráról 22 órára csökkent, miközben a felsőoktatás kritizálja a középfokú oktatást. Módszertani kutatók is azt hangsúlyozzák, hogy nem kell a lexikális tudás, azt kell megtanulni, hogy mit hol kell keresni és elfeledkeznek arról, hogy az alapozó jellegű tárgyakat meg kell tanulni, hiszen ez az alap. Van, ahol a gólyatáborban már felkészítik a hallgatókat a helyes gondolkodásra. A hallgatók motiválatlanok, nagy részük nem jár előadásra, csak át akarnak menni a vizsgán. Több, gyakorlatban előforduló feladattal póbálni kell a tárgy tudásának hasznosságát erősíteni. Meg kell próbálni az adott keretek között olyan módszereket, amelyek követhetőbbé teszik a tananyag feldolgozását. Akik vállalják, hogy előadásra is kötelező jelleggel bejárnak, azoknak felajánlanék plusz 2 óra előadást, ezalatt az ismétlésre és feladat megoldásra is több idő jutna. Ha a hallgató pénzért hajlandó eljárni plusz órákra, hátha hajlandó az iskola elején egy ilyen üzletbe belemenni. Ha nem megoldható a plusz óra, akkor egy bevezető, esetleg e-learninges tananyag összeállítását javaslom. Mindkét esetben a középiskolai módszereken túllépve, már a felsőfokú tananyagra készülve kellene ismételni. Az alap előadáson is javaslom úgy leadni az anyagot, hogy legyen idő néhány középiskolai fogalom rendszerező áttekintésére. Egy új fogalom bevezetése egyszerű példán hatékonyabb, mint két új fogalom bevezetése egyszerre (pl. a szükséges-elégséges feltétel és a szélsőérték keresés). A továbbiakban az alap előadásra próbálok egy általam jónak tartott tematikát bemutatni.

Matematikai praktikum / Talán jobb, ha nem ismétlésnek nevezzük, mert akkor azt hiszik, hogy ezt tudják. / Algebrai műveletek, műveleti szabályok, hatványozás, logaritmus Egyenletek, azonosságok /mint az értelmezési tartományon igaz egyenletek/ Polinomok: zérushelyek, gyöktényezős alak, szorzattá alakítás, előjel vizsgálat, polinomok osztása Racionális törtek: parciális törtekre bontás Egyenlőtlenségek Abszolútérték, előjel, egészrész, törtrész Négyzetgyökös kifejezések Halmazok, hozzárendelések, számlálás Számhalmazok Függvényatni alapfogalmak,függvények tulajdonságai Elemi függvények és tulajdonságaik: a hiperbolánál szemléltetve a véges helyen vett végtelen és végtelenben vett véges határértéket Számtani és mértani sorozatok, százalékszámítás Pénzügyi számítások Kombinatorika

1. előadás Logikai alapfogalmak Az alapvetó fogalmakon és műveleteken túl fontos az implikáció és azon belül a szükséges és elégséges feltétel megértése, halmazokkal való kapcsolatának szemléltetése. Például tudjuk, hogy valakire a nyaralása alatt igaz az alábbi ítélet: Ha süt a nap, akkor strandra megy. strandi nap Itt könnyen érthető, hogy a mondat második fele szükséges feltétele az első felének, de nem elégséges. Ha a nyaralás napsütéses nap napjait ábrázoljuk, akkor nyilván a következő tartalmazási viszony látható . Ezekután a szükséges és elégséges feltétel fogalma könnyen és rövidebben tárgyalható a sorozatok és szélsőérték helyek besorolásánál. Halmazok közötti hozzárendelések, függvények A halmazok és műveleteik átismétlése talán elhagyható, de a függvény fogalmának bevezetése nem. A függvéntani alapfogalmakon belül fontos az f(x) jelentésének, illetve a grafikon mint számpárok illetve pontok halmazának hangsúlsúlyozása. Egy-két elemi függvény áttekintése: sorszámozás (sorozat), lineáris függvény.

A valós számok halmazának felépítése Természetes számok: Egyik művelet sem megfordítható, az elemek között van sorrend, van legkisebb, de nincs legnagyobb elem, van szomszédos elem. Teljes indukció. (hozzászoknak az n értékének a változásához) Egész számok: A szorzás továbbra sem megfordítható, az elemek között van sorrend, nincs legkisebb illetve legnagyobb elem, van szomszédos elem. Racionális számok: Mindkét művelet megfordítható, a racionális számok halmaza test /a tulajdonságok táblázatos elrendezését jónak gondolom/, rendezési axiómák, rendezett test. Szemléltetésük számegyenesen, tizedes tört alak, nincs szomszédos elem (két szám átlaga a kettő között van), a racionális számok sűrűn vannak. A minden határon túli közelítés fogalma, ahol még a határ is racionális (példa: [0, 1] szakaszt újra és újra megfelezve, a baloldali felezéspontok minden határon túl közelítenek a 0-hoz) Ez megerősíti, hogy a racionális számok sűrűn vannak. Ki lehet mondani, hogy a felezéspontok sorszámozott számok, amit sorozatnak fogunk nevezni, és már itt megérthető a minden határon túli közelítés fogalma.

2. előadás Irracionális számok: Valós számok: Van irracionális szám, a négyzetgyök 2, további példákat lehet mondani. Tizedestört alakból látszik, hogy csak valahány tizedes pontosságra lehet megadni, soha nem látjuk pontosan leírva, ezért misztikus. A közelítő tizedes törtekből látszik, hogy egy racionális sorozat határértéke, tehát ez a művelet vezet ki a halmazból. Halmazuk nem test, de rac.+irrac.=irrac., sűrűn vannak és többen mint a racionális számok (igazolás később). Valós számok: Racionális és irracionális számok uniója, rendezett test, amely zárt a felső határ képzés műveletére és a számegyenest folytonosan tölti ki (nincs szakadás a számegyenesen). Intervallum fogalma, határpont, nyílt és zárt halmazok. Arkhimédeszi axióma: Bármely valós számhoz található tőle nagyobb természetes szám. Ez alapján belátható, a felezéspontok valós határ esetén is minden határon tól közelítenek a 0-hoz. Itt meg is fogalmazható a nullához való tartás definíciója.

Függvények tulajdonságai Elemi függvények A középiskolából elvileg ismert dolgok átismétlése történhet itt meg, a hiperbolával külön is foglalkozva. Függvények tulajdonságai Pontbeli, intervallumra és egész értelmezési tartományra vonatkozó csoportosításban, a monotonitást külön kiemelve: A monotonitás szokásos definíciója után bevezethetjük az intervallumra vonatkozó meredekség fogalmát, ami a lineáris függvény esetén már ismert. Nem lineáris függvény esetén az intervallumra vonatkozó átlagos meredekségnek nevezzük és egy intervallumon monoton függvény estén növekvő esetben pozitív, míg csökkenő estben negatív szám lesz. Itt a hétköznapi életben is használt fogalmakkal dolgozunk és feltehetően mindenki számára érthető lesz, nyilván ilyen típusú feladatot is célszerű megoldani. Ekkor a deriválásnál nem kell annyit beszélni erről.

3. előadás Sorozatok, sorok A sorozat fogalma már előkerült a számhalmazoknál, mint sorszámozott számok, azaz olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egészek halmaza. A sorozatok határértékének a definíciójánál azt vizsgáljuk, hogy a függvényértékek (a sorozat elemei) közelítenek-e minden határon túl egy adott értékhez. Itt már ismerjük a minden határon túli közelítés fogalmát, emiatt ez a definíció sem lesz olyan váratlan. A monoton és korlátos valamint a konvergens sorozatok közötti kapcsolatra utaló tétel: Ha egy sorozat monoton és korlátos, konvergens akkor konvergens! Alapján szemléltethető a kapcsolat a két tulajdonság monoton és korlátos között, és leolvasható, hogy melyik a szükséges illetve elégséges feltétele a másiknak.

4. előadás Függvények határértéke, folytonossága Függvények végtelenben (+, - ) vett határértéke A sorozatok analógiájára tárgyalható le. Függvények folytonossága Egy a oldalú téglalapra igaznak gondoljuk, hogy ha az oldal x hosszúsága közel van a-hoz, akkor a téglalap x2 terület is közel lesz a2 területhez. Ezt úgy mondhatjuk, hogy a téglalap területe folytonos függvénye az oldal hosszának. Egy ilyen egyszerű példa után jöhet a definíció. Függvények véges helyen vett határértéke Két megjegyzés fontos: ahol a függvény folytonos, ott behelyettesítéssel határozzuk meg a határértéket az elemi függvények, polinomok és racionális törtfüggvények az értelmezési tartományukon folytonosak

5. előadás Differenciálszámítás Függvény pontbeli meredeksége A differenciálhányados bevezetésének többféle módszerével találkozhatunk a gyakorlatban és matematikailag ezek természetesen korrekt megfogalmazások. Kérdés van-e egy olyan tulajdonság, ami felvetheti ezt a definíciót a vizsgált intervallumon folytonos függvények esetén? Függvény pontbeli meredeksége A függvények tulajdonságainál beszéltünk az intervallumra vonatkozó átlagos meredekségről, ami egyébként az adott intervallumhoz tartozó szelő meredeksége is. /differencia hányados/ Ha a pontra húzódó bármely intervallum sorozat esetén van határértéke az intervallumokhoz tartozó meredekségnek, akkor ez a határérték lesz a pontbeli meredekség. Megmutatható, illetve ismert, hogy a definícióbeli határérték egy a pontban pontosan akkor létezik, ha a féloldali határértékek léteznek és egyenlők. Az a pontbeli meredekséget értelmezhetjük a [z, a] illetve [a, x] intervallumokhoz tartozó meredekségek határértékeként, ahol z és x tart a-hoz, ha ez a közös határérték létezik. Ez a közös határérték lesz a differenciál hányados.

Megjegyzés Összegezve Ha ez a két féloldali véges határérték létezik és megegyezik, akkor ez két dolgot jelent: A fenti határérték létezik és ezt fogadjuk el pontbeli meredekségnek. Az m meredekségű, az (a,f(a)) ponton átmenő egyenest pedig a grafikonhoz az adott pontban húzható érintőnek nevezzük. Másrészt azt, hogy a befutó és kiinduló szelők határértéke is az érintő, tehát a differenciahányados függvény a -ban folytonossá tehető, azaz a szelők meredeksége folytonosan változik az a pont környezetében. Megjegyzés Ez az érintőfogalom egy olyan egyenest nevez érintőnek, amely „simul” a függvény grafikonjához az adott pontban illetve amelyhez simul a grafikon. Egy ilyen pontban a függvény grafikonját is nevezhetjük simának. Olyan pontban, ahol a szelők meredekségének értéke ugrásszerűen megváltozik, nem lesz egyértelmű a meredekség és nem lesz érintő. Az ilyen pontok neve töréspont. Összegezve Az f függvény a abszcisszájú pontjához akkor és csak akkor húzható véges meredekségű érintő, ha a differenciahányados függvény folytonossá tehető az a pontban. Ez azt jelenti, hogy a szelők meredeksége folytonosan változik az adott pontban, azaz sima a függvény az adott pontban.

Definíció: Legyen A Df nyílt, nem üres halmaz Definíció: Legyen A Df nyílt, nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy az f deriválható az A halmazon, ha f deriválható az A minden pontjában. Ha A= Rf , akkor f-et röviden deriválható függvénynek nevezzük. Definíció: Legyen A {Df belső pontjai} azon pontok halmaza, ahol f differenciálható. Azt a függvényt, amely minden ponthoz az f függvény a ponthoz tartozó differenciálhánya-dosát (meredekségét) rendeli hozzá, az f deriváltfüggvényének vagy röviden deriváltjának nevezzük és f’-vel jelöljük. Tehát az f’ -vel jelölt deriváltfüggvény értéke az adott pontban megadja a függvény és egyben az adott ponthoz húzható érintő meredekségét, tehát értelemszerűen alkalmas a monotonitás vizsgálatára. /A meredekség a monotonitás mértéke./ Eszerint a definíció szerint a deriváltfüggvény előjelének monotonitásra vonatkozó jelentése azonnal adódik és a függvényvizsgálatnál való használata megalapozottabb lesz. Az előadások további beosztása és a tananyag feldolgozása egyértelmű.