A kvantifikáció igazságfeltételei “  xA(x)” akkor és csak akkor igaz, ha van olyan objektum, amely kielégíti az A(x) nyitott mondatot. “  xA(x)” akkor és csak akkor igaz, ha minden objektum kielégíti az A(x) nyitott mondatot. Mi az, hogy objektum? Honnan vegyük? Ez nyilvánvalóan világfüggő. ‘Mindenki ott volt, aki számít’ – a kontextusból világos, hogy ki az a mindenki. vagy nem ‘  x(Páros(x 2 )  Páros(x))’ igaz, ha x lehetséges értékei a természetes számok, de hamis, ha a valós számok. eleme a tárgyalási univerzumnak, eleme a tárgyalási univerzumnak

A változók lehetséges értékeinek összessége: tárgyalási univerzum. Formális kikötések a tárgyalási univerzumra: Individuumok összessége, amely nem túl kicsi azaz nem üres, és nem túl nagy, azaz halmaz. A kvantifikált állítások igazsága mindig univerzumfüggő.

A kvantifikáció törvényei Nem mindenki kékszemű.Azaz van, aki nem kékszemű.  xA(x)   x  A(x) A kvantifikáció igazságszabályaiból nyilvánvalóan következik. (Ekvivalencia: bármi is legyen az A(x) mondat, egyszerre igazak.) Nincs, aki érti.Azaz mindenkire igaz, hogy nem érti.  xA(x)   x  A(x) Ezek a kvantifikáció De Morgan-szabályai. Helyettesítsünk mindkét szabályban  A(x)-et A(x) helyére és töröljük a kettős negációkat:  x  A(x)   xA(x)   x  A(x)  xA(x) Azaz a két kvantor kölcsönösen kifejezhető egymással (a negáció segítségével). Az egzisztenciális kvantor a diszjunkcióra, az univerzális a konjunkcióra „hasonlít”.

A logikai négyzet Arisztotelészi kategorikus kijelentések Egyetemes állító Minden, ami A, az B  x(A(x)  B(x))  x(A(x)   B(x)) Részleges állító Van olyan A, amely B  x(A(x)  B(x))  x(A(x)   B(x)) Egyetemes tagadó Egy A sem B  x(A(x)   B(x))  x(A(x)  B(x)) Részleges tagadó Van olyan A, ami nem B  x(A(x)   B(x))  x(A(x)  B(x)) kontra- diktórius kontrárius szubkontrárius szubaltern a o i e

Kontradiktórius párok: az egyik igaz, a másik hamis. Kontrárius párok: lehetnek egyszerre hamisak, de nem lehetnek egyszerre igazak. Szubkontrárius párok: lehetnek egyszerre igazak, de nem lehetnek egyszerre hamisak. Szubaltern kijelentés következik a fölötte levőből. Az i és e típusú kijelentések megfordíthatók, azaz ekvivalensek az A és B felcserélésével keletkező kijelentéssel. Az a típusú kijelentés gyengén megfordítható, azaz következik belőle megcserélt alannyal és állítmánnyal az i típusú kijelentés. Kivéve, ha …

Arisztotelész és követői szerint az a típusú kijelentések egzisztenciális súllyal (avagy nyomatékkal; existential import) rendelkeznek, azaz maguk után vonják, hogy az alanyterminus (A) terjedelme nem üres. Ez vagy azt jelenti, hogy “ Minden, ami A, az B”-t így kell értenünk:  x(A(x)  B(x))   xA(x), vagy azt, hogy a kategorikus kijelentésekben nem is szabad üres terjedelmű terminusokat haszálni. Az első esetben baj lesz a kontradiktórius viszonyokkal. A másodikban az elmélet érvényességi köre nagyon leszűkül, s főképp sok esetben nem tudjuk előre, teljesül-e a feltétel.

Házi feladatokról általában: Mindig a SaveAs funkciót használják! A fájlnévből derüljön ki a szerző neve és a gyakorlat száma! Ezt tegyék hozzá a program által felajánlott fájlnévhez, a vezetéknevet _-lal elválasztva. Pl. Sentences9.3_Mate Ha nem a programokból származó, hanem szövegfájlt küldenek: Szám_vezeteknev.(doc, docx, odt, rtf, txt) HF.: 9.5 Cél: egy Sentence-fájl, amely a Peirce’s Sentences.sen módositásával fog kijönni : Sentences 9.5_vezeteknev.sen.

Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) Alapfelállás: -Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). - A játék tárgya egy zárt mondat: P. - Választanom kell egy elkötelezettséget: P igaz, avagy hamis. - Az ellenfél automatikusan a másikat választja. - Azt, hogy ki jön a következő lépésben, mindig P alakja és az elkötelezettségem együtt dönti el. - Ha pl. azt állítom, hogy “Q  R” igaz, akkor a Természet választhat Q és R között, hogy szerinte melyik hamis. A továbbiakban ennek az igazságát kell megvédenem. - Ha azt állítom, hogy hamis, akkor neki kell azt állítania, hogy igaz, tehát én választok (hogy szerintem melyik hamis). - Ha “Q  R” igazságát állítom, akkor én választhatok, hogy melyiknek az igazságát akarom negvédeni, ha pedig a hamisságát, akkor a Természet választja ki, hogy szerinte melyik hamis. -Tehát mindegyik lépés eredménye egy új (egyszerűbb) mondat és egy új elkötelezettség.

- Az igazság természetesen mindig egy adott világban értendő. - Végül eljutunk egy atomi mondatig és van vele kapcsolatban egy elkötelezettségem. Ha ez teljesül a világban, én nyertem, ha nem, a Természet. - Ha igazam van, akkor mindig van nyerő stratégiám (de veszíthetek is, ha rosszul játszom). -Ha nincs igazam, akkor a Természet fog nyerni (mert van nyerő stratégiája, és nem fog hibázni).

Játékszabályok kvantoros formulákra Ha azt állítom, hogy “  xP(x)” igaz, akkor kell tudnom mutatni egy olyan objektumot a világban, amelyre P(x) igaz. Nem biztos, hogy van neve, de adunk neki (egy új nevet akkor is, ha már van neki); legyen ez b. Tehát az eredmény: P(b) igazságát kell állítanom. Ha azt állítom, hogy “  xP(x)” hamis, akkor a Természet választ tetszése szerint egy b-t és nekem meg kell védenem P(b) hamisságát. Hasonlóképpen: ha “  xP(x)” igazságát állítom, akkor a természet választ b-t és nekem P(b) igazságát kell állítanom; ha pedig a hamisságát, akkor én választom meg az ellenpéldát, azaz azt a b-t, amelyre szerintem P(b) hamis. Példa: 9.5 feladat