Számítógéppel támogatott problémamegoldás Mire használhatjuk gépünket a tanítás folyamán (és mire nem)?

Alkalmazások: Internet – böngészés (Speciálisan e-mail – kapcsolattartás) Multimédia (prof. felhasználói szoftverek) Amatőr programok (célfeladatok)

A repertoár átalakulása (?) Hagyományos eljárások, eszközök megszűnése (gyökvonás, logaritmus, szögfüggvények) Új lehetőségek a PC-k megjelenésével: magasabbfokú vagy transzcendens egyenletek függvények vizsgálata (numerikus) analízis valószínűségszámítás, statisztika általában szimulációk stb.

Amatőr programok Amatőr és profi programok összehasonlítása Iskolában: PC felhasználói ismeretek A programozás középiskolai tanítása ? Érvek: algoritmikus gondolkodásmód fejlesztése kevés (?) előismeret egyszerű célfeladatok megoldása (pl. matematika) műveltségi keret tágítása

Tárgyalt problémák - aritmetika Születésnap-paradoxon Prímek száma (Euklidesz IX.20.) Hézagtétel Prímalgoritmus keresése Prímszám-polinom Diofantikus egyenlet számjegyekre

Sejtés és bizonyítás 8. Független vezér- és bástyaelhelyezések 9. Sierpinski-feladat Kitűzött feladatok: 10. Számjegyek négyzetösszegének ciklusa 11. Bolgár szoliter

1. Születésnap-paradoxon Feladat: Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy 35 ember születésnapja az év 35 különböző napjára esik (366 nappal számoljunk)!

Születésnap-paradoxon (2) Megoldás: Annak valószínűsége, hogy N ember mindegyike N különböző napon született, közelítőleg: OGYKMB.EXE

Születésnap-paradoxon (3) A számítógép szerepe: nagyszámú, algoritmizált műveletsor gyors elvégzése Alulcsordulás (és túlcsordulás) jelensége A gépi számábrázolás problémái A problémák elvi jellege

2. Prímek száma Már Euklidesz megmutatta, hogy a prímek száma végtelen (Elemek, IX. könyv 20. tétel). Gyakori helytelen gondolatmenet a következő: „Indirekt tegyük fel, hogy véges sok prím van: p1, p2, p3, … , pn. Az Sn = p1p2p3 … pn + 1 szám a korábbi p1, p2, p3, … , pn tényezők egyikével sem osztható, tehát Sn újabb prím. Ellentmondást kaptunk, ebből következik, hogy végtelen sok prímszám van.”

Prímek száma (2) Megoldás: A hibát ott követik el a tanulók, hogy bár Sn nem osztható a p1, p2, p3, … , pn prímekkel, de ebből még nem következik, hogy prím lenne. Elképzelhető az is, hogy Sn két (vagy több) olyan prímszám szorzata, amelyek pn-nél nagyobbak. A feladat ilyen tulajdonságú Sn keresése.

Prímek száma (3) OGYSZELM.EXE Mire használtuk a gépet? Mire nem használhattuk a gépet?

3. Hézagtétel Feladat: Adjunk meg olyan természetes számot, amely után 8, illetve 15 szomszédos összetett szám következik! (KöMaL F.243.) Módosítás: Keressük meg a fenti tulajdonságú legkisebb természetes számokat!

Hézagtétel – észrevételek (1) A feladat állítása szerint vannak olyan „szomszédos” prímek, amelyek távolsága 9, illetve 16. Ha találunk 8 szomszédos összetett számot, akkor találunk 9-et is (bővítés); elég a páros prímtávolságokat vizsgálni.

Hézagtétel – megoldások (2) A 9! + 1 szám megfelelő: a 23456789 + 2, 23456789 + 3, … , 23456789 + 9 számok egyike sem lehet prím. Ügyesebb megoldás: 2357 + 2, 2357 + 3, … , 2357 + 9. (212-től 219-ig; sőt még jó a 220 is.) Kérdés: vajon ez a legkisebb sorozat? OGYSZELM.EXE

4. Prímalgoritmus keresése Írjuk fel a táblára: 43, 45, 47, 49, 51, 53, … karikázzuk be a 43-at, töröljük le a következő számot, 45-öt; karikázzuk be a következő számot, a 47-et, s töröljük le a következő két számot (49, 51); karikázzuk be a következő 53-at, s töröljük le a következő három számot (55, 57, 59); folytassuk az eljárást (mindig eggyel több számot törlünk le).

Prímalgoritmus keresése (2) Melyik az így kapott első 30 szám? Fogalmazzunk meg egy sejtést!

Prímalgoritmus elemzése (3) Megoldás: A kapott számok a következők: 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, … , 971. Sejtés: ezek mind prímek (sőt a továbbiak is: 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, …)

Prímalgoritmus – zárt alak (4) Az n. bekarikázott szám zárt alakban: an = 43 + 2·2 + 3·2 + 4·2 + … + n·2 = 43 + 2·(2 + 3 + 4 + … + n) = n2 + n + 41. A képlet már n = 0-tól prímeket ad. P(n) = n2 + n + 41 ún. prímszám-polinom.

Prímalgoritmus – kérdések (5) Igaz-e, hogy az n2 + n + 41 képlet n = 0, 1, 2, … értékekre mindig prímet ad? Ha nem, adjunk meg ellenpéldát adó n értéket! Adjunk meg n  0-tól vagy n  40-től különböző n ellenpéldákat! Melyik a legkisebb n ellenpélda? Hányszor kapunk prímszámot a 0  n  99 esetekben?

Prímalgoritmus – válaszok (6) OGYSZELM.EXE Válaszok: 4. A 0  n  99 intervallumban P(n) = n2 + n + 41 86 esetben prímszám.

5. Diofantikus egyenlet Feladat: Határozzuk meg azokat a természetes számokat, amelyek eggyel nagyobbak a számjegyeik kétszeres szorzatánál!

Egyenlet megoldása (1) Megoldási lépések: Kétjegyű ab természetes számokra: 10a + b = 2ab + 1, innen (2a – 1)(b – 5) = 4. 2a – 1 páratlan, tehát egyetlen megoldás van: ab = 19 Háromjegyű abc számokra bonyolultabb az egyenlet: 100a + 10b + c = 2abc + 1.

Egyenlet megoldása (2) Érdemes programot írni, amely a feltételt n jegyű számokra vizsgálja meg. OGYSZJ.EXE Problémák: A program megírása n jegyű számokra; szükséges tudni, legfeljebb mekkora lehet n értéke. (!) (Egyáltalán van-e felső korlát n-re?)

Egyenlet megoldása (3) Becslés: an10n + an-110n-1 + … + a1101 + a0 = 2anan-1…a1a0 + 1. Bal oldalon az első tag kivételével a többit elhagyjuk; a jobb oldalon an kivételével a többi számjegy helyére 9-est írunk. an10n  2an9n + 1, innen közelítőleg:

Egyenlet megoldása (4) Ez csak n  6 esetén teljesül (vagyis n legfeljebb hétjegyű lehet). Mire használtuk a gépet? egzisztencia és konstrukció előtérben a matematikai gondolkodásmód Mire nem tudtuk használni a gépet?

6. Független figuraelhelyezések Független bástyaelhelyezések Független vezérelhelyezések Független bástyaelhelyezések főátló-korlátozással (n = 5 eset) OGYKMB.EXE Sejtés a 3. feladatra?

Figuraelhelyezések (2) Futási eredmények a 3. feladatra: n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 E(n) = 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854 Sejtés: E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)) Bizonyítás: A, B, C, D, E és a, b, c, d, e párosítással:

Figuraelhelyezések (3) 1. a – B és b – A: E(n – 2) A B C D E a X b c … ... d e

Figuraelhelyezések (4) 2. a–B és b – nem A: E(n – 1) A B C D E a X b … ... c d e

Figuraelhelyezések (5) Tehát: ha a – B, akkor E(n – 1) + E(n – 2) számú elhelyezés van. Az a – C, a – D , … szimmetria miatt összesen: E(n) = (n – 1)(E(n – 1) + E(n – 2)). A rekurzió megoldása:

9. Sierpinski-feladat Feladat: Milyen n pozitív egész számokra osztható n-nel a K = 2n + 1 kifejezés? OGYSZELM.EXE Eredmény: ha n < 100, n = 1, 3, 9, 27. Sejtés: n = 3k.

Sierpinski-feladat (1) Bizonyítás: k-ra vonatkozó teljes indukcióval. A sejtés tehát igaz: ha n = 3k, akkor az oszthatóság teljesül. De: mi a helyzet egyéb n-ekre?

Sierpinski-feladat (2) Észrevétel: az 1, 3, 9 számokra teljesül az n  2n + 1 indukciós lépés is. Újabb sejtés: ha n-nel osztható a 2n + 1 kifejezés (2n + 1 = kn), akkor 2n + 1-gyel is osztható 2kn + 1. A sejtés teljes indukcióval bizonyítható; így a 9 osztja 29 + 1 összefüggésből 513 osztja 2513 + 1 is teljesül.

Sierpinski-feladat (3) Mi a helyzet egyéb n-ekre? OGYSZELM.EXE