Rendszerek stabilitása Egy rendszer akkor gerjesztés-válasz (GV) stabilis, ha bármely korlátos x(t) gerjesztéshez korlátos y válasz tartozik Ha a rendszer nem stabilis és nincs stabilitási határhelyzetben, akkor labilis rendszerről beszélünk Fizikai objektum mindig GV stabilis mert egy fizikai mennyiség nem nőhet korlátlanul. Nem stabilis lehet egy objektum modellje abban az értelemben, hogy amíg a rendszer egyes változói nem haladnak meg egy rájuk jellemző kritikus értéket, addig a modell elfogadható. Ha valamelyik változó meghaladja a kritikus értéket, egy másik, esetleg nemlineáris modell kell az objektum leírásához

Lineáris és nem lineáris rendszerek A rendszerek jelentős része nemlineáris, elektronikai alkatrészek (Pl. dióda, tranzisztor), gazdasági modellek, a repülőgép dinamikus viselkedése, stb. A jelen előadás keretében azonban csak lineáris modellekkel foglakozunk. A lineáris modell pontos leírása sok rendszernek. Pl. lineáris ellenállás, kondenzátor, önindukció. Nemlineáris modellek is jól közelíthetők lineáris modellel kis jelek esetén. A lineáris rendszerek viselkedése analitikusan nyomon követhető, amely jelentős betekintést ad a rendszerek viselkedésébe.

Lineáris rendszerek Egy rendszer akkor lineáris, ha érvényes rá a szuperpozíció elve, azaz: Ha és Akkor Nemlineáris, Idő-invariáns, kauzális rendszer Lineáris, nem idő-ivnariáns, nem kauzális

Lineáris rendszerek tulajdonságai Szuperpozíció Lineáris rendszer nulla bemenőjelre, nulla kimenőjel a válasz

Lineáris rendszerek tulajdonságai Lineáris rendszer csak akkor és akkor kauzális ha teljesül: Bizonyítás Tegyük fel, hogy a rendszer kauzális  (1) Tegyük fel, hogy (1)  kauzalitás (1)

Lineáris, invariáns rendszerek (LTI) A továbbiakban főleg ezekkel foglalkozunk Mert gyakorlati szempontból a legfontosabbak Ilyenek a korábbi példákból az RLC kör, a mechanikai rezgőrendszer, a hővezetés Ezen rendszerek vizsgálatára hatékony eszközöket dolgoztak ki Fontos alapvető tény az LTI rendszerekre: ha ismerjük a rendszer válaszát egy bemenő jelre, akkor sok különböző jelre is meg tudjuk határozni a választ

DT LTI rendszer Ismert válasz jel Ismert bemenő jel Előállítható az x1-el Új bemenőjel

Lineáris és invariáns rendszerek Léteznek-e olyan alapjelek, amelyek teljesítik az alábbi követelményeket: Jellemezni lehet a velük jelek nagy csoportját és felhasználva a kiválasztott jelet, mint építőelemet a többi jel belőle előállítható. Ezt az biztosítja, hogy lineáris rendszerek esetében az alapjel lineáris kombinációjaként előállított jel válasza is ismert. A lineáris invariáns rendszer (LTI) válasza ezekre az alapjelekre egyszerű legyen és bepillantást adjon a rendszer működésébe A természetes választás LTI rendszerek esetén DT diszkrét egység impulzus k CT Dirac (t) függvény

Diszkrét jel előállítása egységimpulzusok segítségével

Diszkrét jel előállítása egységimpulzusok segítségével Alapjelek Kofficiensek

Lineáris rendszer válasza x[n] DT rendszer y[n] Tegyük fel , hogy a rendszer lineáris és jelöljük a rendszer n-k] jelre adott válaszát hk[n]-el A szuperpozíció miatt

Lineáris invariáns rendszer DT rendszer y[n] x[n] Tegyük fel , hogy a rendszer lineáris és invariáns; jelöljük a rendszer n] jelre adott válaszát h[n]-el Az invariancia miatt A lineáris invariáns rendszerből Konvolúciós összeg

Lineáris invariáns rendszer válasza konvolúciós összeg formájában A konvolúció jele A konvolúció értelmezése Összegezni kell minden állapotra

Lineáris invariáns rendszer válasza konvolúciós összeg formájában A számítás vizuális értelmezése Válasszunk egy n értéket és rögzítsük y[0] Azon állapotokra kell összegezni ahol n=0 y[1] Azon állapotokra kell összegezni ahol n=1

Az egymás után következő értékek számítása: eltolás, szorzás, összegzés

A konvolúció és a diszkrét lineáris invariáns rendszerek tulajdonságai A diszkrét lineáris invariáns rendszert teljesen jellemzi az egység impulzus függvényre adott válasza Sok olyan rendszer amelynek ez a válasza [n] -re Azonban csak egy lineáris invariáns rendszer van, amelynek ez a válasza [n] -re

A konvolúció és a diszkrét lineáris invariáns rendszerek tulajdonságai Akkumulátor Egységimpulzusra a válasz: Egységugrás függvény

Kommutatív tulajdonság i=n-k Válasz ugrásfüffvényre Egységinpulzus válasza az akkumulátornak Ugrásffv. input Input

Disztributív tulajdonság Értelmezése

Asszociatív tulajdonság A kommutativitás miatt 2006.09.26 eddig

Asszociatív tulajdonság Következmény