Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) Alapfelállás: -Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). - A játék tárgya egy zárt mondat: P. - Választanom kell egy elkötelezettséget: P igaz, avagy hamis. - Az ellenfél automatikusan a másikat választja. - Azt, hogy ki jön a következő lépésben, mindig P alakja és az elkötelezettségem együtt dönti el. - Ha pl. azt állítom, hogy “Q  R” igaz, akkor a Természet választhat Q és R között, hogy szerinte melyik hamis. A továbbiakban ennek az igazságát kell megvédenem. - Ha azt állítom, hogy hamis, akkor neki kell azt állítania, hogy igaz, tehát én választok (hogy szerintem melyik hamis). - Ha “Q  R” igazságát állítom, akkor én választhatok, hogy melyiknek az igazságát akarom negvédeni, ha pedig a hamisságát, akkor a Természet választja ki, hogy szerinte melyik hamis. -Tehát mindegyik lépés eredménye egy új (egyszerűbb) mondat és egy új elkötelezettség.

- Az igazság természetesen mindig egy adott világban értendő. - Végül eljutunk egy atomi mondatig és van vele kapcsolatban egy elkötelezettségem. Ha ez teljesül a világban, én nyertem, ha nem, a Természet. - Ha igazam van, akkor mindig van nyerő stratégiám (de veszíthetek is, ha rosszul játszom). -Ha nincs igazam, akkor a Természet fog nyerni (mert van nyerő stratégiája, és nem fog hibázni).

Játékszabályok kvantoros formulákra Ha azt állítom, hogy “  xP(x)” igaz, akkor kell tudnom mutatni egy olyan objektumot a világban, amelyre P(x) igaz. Nem biztos, hogy van neve, de adunk neki (egy új nevet akkor is, ha már van neki); legyen ez b. Tehát az eredmény: P(b) igazságát kell állítanom. Ha azt állítom, hogy “  xP(x)” hamis, akkor a Természet választ tetszése szerint egy b-t és nekem meg kell védenem P(b) hamisságát. Hasonlóképpen: ha “  xP(x)” igazságát állítom, akkor a természet választ b-t és nekem P(b) igazságát kell állítanom; ha pedig a hamisságát, akkor én választom meg az ellenpéldát, azaz azt a b-t, amelyre szerintem P(b) hamis. Példa: 9.5 feladat HF: 9.10 Cél: egy szövegfájl (9.10_vezeteknev.doc,.docx vagy.rtf) tizenkét mondattal (angol vagy magyar, tetszés szerint).

Logikai igazságok, helyes következtetések – újak és régiek  x Él(x)  x Virul(x)  x(Él(x)  Virul(x))  x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x)  x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x)  x Él(x)  x Virul(x)  x (Él(x)  Virul(x)) Kijelentéslogikai következmények (TautCon) Elsőrendű következmény (FOCon)

Hasonlóképpen logikai igazságokkal:  xTet(x)  xTet(x) logikai igazság (tautológia)  xTet(x)  x  Tet(x) nem logikai igazság  x(Tet(x)  Tet(x)) (FO) logikai igazság, de nem tautológia.  xTet(x)   x  Tet(x) ugyancsak FO logikai igazság, de nem tautológia.  xTet(x)   xTet(x) tautológia. Definíció: Az elsőrendű nyelv egy mondata tautológia, ill. egy következtetése tautologikusan helyes (másképp: a konklúzió tautologikusan következik a premisszákból), ha a kijelentéslogikai formája tautológia, illetve helyes kijelentéslogikai következtetési séma. Emlékeztető: a kijelentéslogikai forma úgy áll elő, ha a kijelentéslogikában tovább nem bontható részmondatokat mondatbetűkkel helyettesítjük. A tárgyalási univerzum nem lehet üres!

Algoritmus a kijelentéslogikai (truth-functional) forma előállítására az elsőrendű nyelv egy zárt mondatából: Balról jobbra elkezdjük olvasni a mondatot. Ha kvantorhoz érünk, elkezdünk egy aláhúzást, amely a kvantifikáció hatókörének végéig tart. Ha predikátumhoz érünk, aláhúzzuk azt az atomi mondatot, amelyben ő a predikátum. Ha az, amit aláhúztunk, még nem szerepelt korábban, akkor megcímkézzük egy új mondatbetűvel. Ha szerepelt, akkor azzal a betűvel címkézzük meg, amivel az azonos mondatot korábban. Ezután tovább folytatjuk az olvasást az aláhúzás végétől jobbra. Ha a formula végére értünk, kész vagyunk az annotálással. Ezután minden részmondatot a címkéjével helyettesítünk. KÉSZ. Példa: (  x(Cube(x)  y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y)))  (  zDodec(z)  Cube(a)))  (  xCube(x)   Cube(a))

HF: 10.3, 10.4 Centrális logikai fogalmak az elsőrendű logikában Elsőrendű logikai igazság, avagy érvényes mondat (FO validity) Elsőrendű (logikai) következmény, avagy elsőrendben érvényes következtetés Elsőrendű ekvivalencia Mindegyik a megfelelő általános fogalom specifikációja azzal a megszorítással, hogy „az elsőrendű logika konstansainak (konnektívumok kvantorok, azonosságjel) jelentéséből adódóan”. Mindegyik tágabb, mint a megfelelő kijelentéslogikai fogalom (tautológia, tautologikus következmény, tautologikus ekvivalencia). Pontosabb definíciót keresünk, elsősorban az érvényes következtetésre.