Ekvivalenciák nyitott mondatok között Két nyitott mondatot ekvivalensnek mondunk, hha tetszőleges világban ugyanazok az objektumok teszik őket igazzá. Másképp ugyanaz: két nyitott mondat ekvivalens, hha a szabad változókat nevekkel helyettesítve ekvivalens mondatokat kapunk. Például: (1)S(x)  P(x)   P(x )   S(x) Általában, ha egy kijelentéslogikai (tautologikus)ekvivalenciában a mondatok (mondatbetűk) helyére nyitott mondatokat helyettesítünk, ekvivalens nyitott mondatokat kapunk. Helyettesítés elve: Ha egy A(B) mondaton belül a B részmondatot a vele ekvivalens C mondattal helyettesítünk, az új, A(C) mondat ekvivalens lesz A(B)-vel.

A helyettesítés elvével kapjuk (1)-ből a következő FO elvivalenciát:  x(S(x)  P(x))   x(  P(x )   S(x)) Ez a kvantifikált kontrapozíció szabálya. Hasonlóan kaphatjuk meg a kategorikus állítások különböző formalizálásainak ekvivalenciáját (felhasználva a kvantifikációs De Morgan-szabályokat is, l. a szeptember 20.-i diákat). Pl. egyetemes állító (a):  x(S(x)  P(x))  x(  S(x)  P(x))  x  (S(x)   P(x))  x(S(x)   P(x))

 x(P(x)  Q(x))   xP(x)   xQ(x) De  x(P(x)  Q(x)) nem ekvivalens azzal, hogy  xP(x)   xQ(x) !!!  x(P(x)  Q(x))  xP(x)   xQ(x) De  x(P(x)  Q(x)) nem ekvivalens azzal, hogy  xP(x)   xQ(x) !!! És ha P(x) helyett egy P zárt mondatot veszünk? Akkor minden esetben lehetséges a szétosztás:  x(P  Q(x))  P   xQ(x)  x(P  Q(x))  P   xQ(x) Kondicionális és kvantifikáció kapcsolata? Legyen P megint zárt mondat. P  xQ(x)   x(P  Q(x))P  xQ(x)  x(P  Q(x))  xQ(x)  P  x(Q(x)  P)  xQ(x)  P   x(Q(x)  P) HF: Végén ismételni! Szétoszthatók-e a kvantorok egy konjunkció vagy diszjunkció tagjaira? Vagy akár olyan nyitott mondat, amelyben x nem fordul elő szabadon

Jelentésposztulátumok A blokknyelvben vannak olyan logikai igazságok, amelyek nem FO igazságok. Ezeket hívtuk úgy, hogy a blokknyelv analitikus igazságai. Pl. (BackOf(a, b)  BackOf(b, c))  BackOf(a,c) Hasonlóan a köznyelvben: Ha a nagyobb, mint b és b nagyobb, mint c, akkor a nagyobb, mint c. Vannak olyan érvényes következtetések a blokknyelvben, amelyek nem FO érvényesek. BackOf(a, b) SameRow(b, c) BackOf(a, c) Az ilyen következtetések általában átalakíthatók FO érvényes következtetéssé úgy, hogy a premisszákhoz hozzávaszünk egy vagy több, a szereplő predikátumok jelentésén alapuló logikai (analitikus) igazságot. Az ilyen pótpremisszákat hívjuk – Carnap nyomán – jelentésposztulátumoknak. A blokknyelvben mindig!

Többszörös kvantifikáció  x  y(x+y = y+x) Minden gyerek minden játékot kipróbál.  x (x gyerek  x minden játékot kipróbál)  x( x gyerek  y ( y játék  x kipróbálja y-t))  x( G(x)  y ( J(y)  K(x, y))  x  y ( G(x)  ( J(y)  K(x, y))  x  y ( (G(x)  J(y))  K(x, y))  y  x ( (G(x)  J(y))  K(x, y)) Van, aki szeret valakit.  x(x szeret valakit)  x  yS(x, y) Van, akit szeret valaki.  y(y-t szereti valaki)  y  xS(x, y)

Mindenki kezet fogott mindenkivel.  x  y(x kezet fogott y-nal) Biztos? Ugyanez a probléma egy másik példán: Cantor’s World, Cantor’s Sentences. Az érdekesebb kérdés: különböző kvantorok. (1*)Minden ember elolvas egy könyvet. FOL-ra fordításnál mindig kívülről befelé haladunk, és leggyakraban az arisztotelészi típusokat tudjuk használni.. Első lépés: ez egy a típusú kijelentés.  x(x ember  x elolvas egy könyvet) Második lépés: az utótag tekinthető i típusú kijelentésnek. (1)  x(E(x)   y(K(y)  O(x,y))) Az egzisztenciális kvantor „kihozható” (a múlt órán szerepelt egyik ekvivalencia miatt) (1’)  x  y (E(x)  (K(y)  O(x,y)))

Most lényeges a kvantorok sorrendje! Egyszerűsítsünk: Mindenki olvas valamit.  x  yO(x,y) (2) És mit jelent ‘  y  xO(x,y)’?(3)  y(y-t mindenki olvassa) Van, amit mindenki olvas. Mi a logikai viszony a kettő között? (3)-ból következik (2), de fordítva nem. Mi a szerkezete a ‘Van, aki mindent elolvas’ mondatnak?  x  yO(x,y) És mit jelent ‘  y  xO(x,y)’?