Makai Mihály egyetemi tanár BME NTI makai@reak.bme.hu 2017.04.05. Neutron transzport Makai Mihály egyetemi tanár BME NTI makai@reak.bme.hu

Statisztikus fizika alapok Vizsgáljunk egy N>>1 részecskéből álló rendszert! A részecske lehet: atom molekula domain (nagyobb, bonyolultabb rész). A részecskék közötti kölcsönhatás lehet: közelhatás (ütközések adott szabályok szerint) távolhatás (potenciáltér révén). A részecskét leírhatjuk klasszikusan (impuzus és hely, energia és idő, pálya stb.) kvantumosan (felcserélési relációk, kizárási elv, hullám fv. stb.) Makai M: Neutrontranszport

mozgásegyenletek száma=szabadsági fokok száma. Ezek Klasszikus leírás mozgásegyenletek száma=szabadsági fokok száma. Ezek megoldásával minden egyes részecske mozgása leírható. A megoldás így kizárólag a kezdeti állapot függvénye. Mi történik, ha a kezdeti állapot csak kicsit változik meg? Káosz kialakulása pl. bolygórendszerekben. A makroszkópikus test állapotát le lehet írni a statisztika törvé- nyeivel (pl. annak val.-ge, hogy az energia (E, E+dE) közé esik megadható. Megfigyelés: a rendszer leírásához sokkal kevesebb változó kell, mint alkotóelemeinek száma. Makai M: Neutrontranszport

minden részecskére megoldandó a Schrödinger-egyenlet Kvantumos leírás minden részecskére megoldandó a Schrödinger-egyenlet a rendszer energiája „elkent”, mindig van kölcsönhatás lényegében nincs stacionárius állapot, mert egy kis gerjesztés lecsengéséhez is igen hosszú idő kellene (Dth/DE) Schrödinger macskája (makroszkopikus fotonszám szuperpo- zíciója, C60 hullámviselkedése, rádiófrekvenciás szupravezető szuperpozíciós állapota) a rendszer hullámfüggvénye nem építhető fel, mert a rendelke- zésünkre álló információ a szükségesnek csak töredéke bevezethető viszont a sűrűségmátrix (ld. később). Makai M: Neutrontranszport

Makroszkopikus állapotok szuperpozíciója BEK-ban Makai M: Neutrontranszport

A makroszkopikus testek mozgását, viselkedését leíró törvények általános jellege nem függ lényegesen a részecske leírásának módjától. A statisztikus fizika tárgya: egy sok részecskéből álló rendszer, jele: S. Minden rendszert felbonthatunk részrendszerekre, a részrend- szerek között kölcsönhatás van. Ha a rendszer egésze nem áll kölcsönhatásban a külvilággal, akkor zárt rendszerről beszélünk. Az S1, S2, … részrendszerek közötti kölcsönhatások típusai: anyagáram (szigetelhető) energiaáram (a gravitáció kivételével szigetelhető) impulzusáram (szigetelhető) impulzusmomentum (szigetelhető). Makai M: Neutrontranszport

Klasszikus rendszer leírása Legyen a vizsgált S rendszer szabadsági fokainak száma s. Ekkor S leírható a q1,…,qs általános koordinátákkal és a p1,…,ps általános impulzusokkal. A rendszer leírására tehát a (p,q) koordinátákból álló, 2s dimenziós fázistér (m-tér) használható. Mivel a rendszer állapota a részecskék állapotainak direktszor- zata, a rendszer energiája gyakorlatilag folytonosnak tekinthető. Egy tetszés szerint kiválasztott részrendszer a rendszer többi ré- szével kcshatásban áll, ennek energiája sokkal nagyobb, mint az energianívók távolsága. Ezért feltehetjük, hogy elegendően hosszú idő után min- den állapotát elegendően sokszor veszi fel. Legyen Makai M: Neutrontranszport

Ahol Dt a DpDq infinitezimális fázistérfogatban eltöltött idő. Bevezetjük a r(p,q) statisztikus eloszlásfüggvényt: r definíciója miatt a statisztikus átlagolás egy időbeni átlagolás- sal egyenlő (ergodikus rendszer): Az állítások statisztikus jellegűek. Makai M: Neutrontranszport

Tekintsünk egy S1 alrendszert S-ben. Az alrendszer energianí- 2017.04.05. Kvantumos leírás Tekintsünk egy S1 alrendszert S-ben. Az alrendszer energianí- vóinak száma 10N1 szerint változik egy véges (energia) intervallumban. Itt N1 az S1-ben lévő részecskék száma. (Minden részecske külön energianívó-sorozattal rendelkezik, a rendszerben ezek „összefésülendőek”.) Bontsuk föl S-t S1 és S2 (makroszkopikus) alrendszerekre. A mak- roszkópikus alrendszerek lényegében függetlenek egymástól: Legyen az S1 alrendszer koordinátája (p1,q1), a maradéké pedig (p2,q2). S hullámfüggvénye Y(p,q)=Y(p1,p2,q1,q2) függ mindkét részrendszer koordinátáitól. Ekkor az S1-re vett átlagolás így írható: Makai M: Neutrontranszport

Legyen a r1 sűrűségmátrix: Amivel az átlagolás: r segítségével tehát egy fizikai mennyiség átlagértéke meghatá-rozható. Makai M: Neutrontranszport

1, (m-tér) fázistér: p1,…,ps, q1,…,qs s: szabadsági fokok száma Az S rendszer leírása: 1, (m-tér) fázistér: p1,…,ps, q1,…,qs s: szabadsági fokok száma 2, fázistér (G-tér): p1,…,pN, q1,…,qN N-részecskék száma 3, sűrűség függvény: f(r,v,t)drdv megadja az (r,r+dr) körüli tér- fogatban található (v,v+dv) sebességű részecskék számát. 4, Ekvivalens rendszerek (Gibbs-sokaságok): végtelen sok olyan S rendszer konstruálható, amelynek állapota a (redukált) fázistérben azonos. A rendszer leírására használható mennyiségek sokaságra vett átlagok. Makai M: Neutrontranszport

Példák statisztikus fizika eszközeivel leírható rendszerekre: ideális gáz: pontszerű részecskék, rugalmas bináris ütközések, visszaverődés a (merev) falról (szimmetriasík) neutrongáz: neutron--mag ütközések, az ütközés leírása: magreakciók (szórás, befogás, hasadás), molekuláris káosz (ld. később). Reális gázok: véges térfogatú részecskék, a részecskéknek erőtere van (van der Waals-erők). Kvantumfolyadékok: Bose-gáz, fermionok, kvantumstatisztikák. Makai M: Neutrontranszport

Legegyszerűbb statisztikus fizikai modell: klasszikus autonóm rendszerek S-t a (m-térben) fázistérben írjuk le, q1,…,qs koordinátákkal. S állapota a fázistér egy pontja, a pont változását írja le. Az egyenletben nem szerepelnek a koordináták deriváltjai. Tegyük fel, hogy qi(t1)=qi(t2), t1t2 fennáll minden i-re. Ekkor fennáll Makai M: Neutrontranszport

aminek alapján a megoldás folytatható tetszőleges argumentumra. Minden olyan c szám, amire az előző egyenlet fennáll, egy ciklusidő. Kapcsolódó kérdések: Adott egy diff. egyenlet. Mikor létezik periódikus megoldása? (A lehetséges c számok egymás többszörösei.) 2. Létezik-e zárt pályát leíró megoldás? (A lehetséges c számok halmaza korlátos.) Makai M: Neutrontranszport

Tekintsük az állandó együtthatós egyenletet. Ekkor a rendszer lehetséges trajektóriáit osztályozni lehet az alábbi módon: Legyen az egyenlet alakja Legyenek az A mátrix sajátértékei l1,…,ls. Az általános megoldás Ahol Ahi=lihi, i=1,…,s. Új jelölés: Makai M: Neutrontranszport

A pálya alakulását s=2 esetén jól lehet ábrázolni, amennyiben a h1 és h2 vektorok időfüggő amplitudóit rajzoljuk az x1 ill. x2 tengelyre. n<0 n>0 l=m+ni, m0 Makai M: Neutrontranszport

Visszatranszformálás után (általános kép) m=0 Makai M: Neutrontranszport

l1>0, l2>0 l1<0, l2<0 Makai M: Neutrontranszport