Tudás és tévedés, tudás és nem-tudás megkülönböztethetősége a matematikában a matematikában Dr. Tanács János BME Filozófia és Tudománytörténet Tsz. BME-MTA-TKI Tudománytörténet és Tudományfilozófia Kutatócsoport MTA Filozófiai Kutatóintézet

1.A geométer előállít egy közvetlen bizonyítást, és boldogan hal meg abban a tudatban, hogy megmutatta: az ÖP levezethető a maradék axiómarendszerből. 2.Jön egy másik matematikus, aki megmutatja, hogy az előző a bizonyítás során hallgatólagosan feltételezett egy olyan axiómát, ami maga is bizonyításra szorul, azaz ekvivalens az ÖP-vel. 3.Majd előállít egy közvetlen bizonyítást… A hiba: a körben forgó okoskodás, azaz a petitio principii hibája. A bizonyítás során hallgatólagosan felhasznált állítás „feltételezi” a bizonyítandót (vagy egy vele ekvivalens állítást). Ennélfogva a bizonyítás nem bizonyítja a bizonyítandót. Az euklideszi Ötödik, azaz párhuzamossági posztulátum ún. direkt bizonyítási kísérleteinek tipikus történeti sémája

A 5P ún. indirekt bizonyítási kísérleteinek tipikus történeti sémája Az indirekt bizonyítások tipikus történeti sémája (a változatosság kedvéért): 1. A geométer előállít egy indirekt bizonyítást, és boldogan hal meg abban a tudatban, hogy megmutatta: az ÖP tagadása cáfolható az ún. maradék axiómarendszer segítségével (pld. Saccheri 1733: 2. Jön egy másik matematikus, aki úgy látja, hogy a cáfolat nem kényszerítő erejű. 3. Majd előállít egy másik indirekt bizonyítást… Cél: Az 5P-nél egyszerűbb, a szemlélet számára könnyebben felfogható, evidensebb axiómát találni és azzal kell helyettesíteni. Például olyannal, amely nem hivatkozik (nem támaszkodik) a végtelenre, a végtelen meghosszabbítás során létrejövő jelenségekre. Clavius (1574), Wallis (1663), Gauss (1799), Bolyai Farkas (1820, 1851) Az 5P ún. helyettesítési-egyszerűsítési kísérleteinek tipikus történeti sémája

 A Külvárosi Tankör középiskolábanfolytatott matematikaoktatás során megfigyelt jelenség filozófiai általánosítása.  Az osztálytermi megismerő ismeretelméletileg hasonló helyzetben van, mint az 5P különböző megoldási módszereivel kísérletezők, ezért problémáját nem célszerű bagatellizálni, illetve szembeállítani a tudós, matematikus prb.-jével.  Problémája az, hogy hogyan tud különbséget tenni a helyes és helytelen eredmények között, azaz azok között, amelyek hibátlanok, és azok között, amelyek nem.  Az igazán komoly problémát a nyílt végű feladatok pld. átalakítások jelentik, ahol a végeredmény nem ellenőrizhető oly módon, hogy visszahelyettesítjük a kiinduló egyenletbe, szemben a zárt végű feladatokkal. Az osztálytermi megismerő episztemológiai problémája

Miért baj az, ha nem tudunk? Mi a garanciánk arra, hogy a térképszínezési négyszín-probléma Appel- Haken-Koch-féle számítógépes bizonyítása valóban helyes eredményt adott-e, azaz a tétel valóban, objektíve igaz; vagy esetleg igaz, de nem a számítógépes bizonyítás miatt, mert abban hiba van; vagy nem is igaz a tétel? Általánosítva: honnan tudjuk, honnan tudhatjuk hogy matematikai eredményeink helyesek, tételeink objektíve igazak? Tudunk-e kritériumot adni tudás és nem-tudás, tudás és tévedés megkülönböztethetőségére? Ha nem, akkor az Örök Matematikai (Objektív) Igazságok megkülönböztethetetlenek maradnak a tévedésektől, hamisságoktól, azaz nem lesz garanciánk arra, hogy utóbbiak nem konzerválódnak éppúgy az örökkévalóság számára, mint az előbbiek?

A következőkben csak az ún. háromkomponensű „igazolt igaz hit” (I 2 H) tudásfelfogással foglalkozom. Eszerint: S szubjektum akkor és csak akkor tudja, hogy p, ha: (1) S szubjektum hiszi, hogy p, (2) S igazoltan hiszi, hogy p, (3) és p igaz. E tudásfelfogás számunkra fontos jellemezői: Individualista Individualista a 17. századi ismeretelméleti hagyománynak megfelelően („a megismerő minden tapasztalatot maga szerez meg, minden következtetést maga végez el, minden információra ő emlékezik”) Objektivista Objektivista Megkülönbözteti és szétválasztja a megismerő és az ismeretelmélész nézőpontját: az S szubjektum a megismerő, míg az őt vizsgáló ismeretelmélész nézőpontja egyes szám harmadik személyű. Megkülönbözteti és szétválasztja a megismerő és az ismeretelmélész nézőpontját: az S szubjektum a megismerő, míg az őt vizsgáló ismeretelmélész nézőpontja egyes szám harmadik személyű. Nézzük a problémát a filozófiai tudáskoncepciók felől

Az individualizmus következetes végigvitele 1.Egyszemélyes, egyetlen megismerőt feltételező univerzumban nincs külön megismerő és külön ismeretelmélész, nincs két különböző perspektíva („Szereti a tik meggyet, ketten vagyunk mi egyek…”) 2.Az objektíve, E/3-ban megfogalmazott, filozófiai elemzéssel előállított tudáskritériumnak működnie kell E/1-ben is, pontosabban: azt kell vizsgálnunk, hogy működik-e? 3.A kérdés az, hogy az E/3 → E/1 átmenetben megőrződik-e a tudáskoncepció diszkriminativitása, azaz a tudás és nem-tudás megkülönböztethető marad-e? Lehet-e az individualizmust és objektivizmust koherensen egyesíteni?

Összefoglalva: az előbbiek valamely tudásdefinícióval kapcsolatban általánosan annak követelményeként fogalmazhatók meg, hogy: a tudás és nem-tudás, tudás és tévedés eseteinek egyes szám első személyű nézőpontból is megkülönbözethetőnek kell lennie, azaz a tudás és nem-tudás, tudás és tévedés eseteinek egyes szám első személyű nézőpontból is megkülönbözethetőnek kell lennie, azaz saját hiteink halmazán is diszkriminatívan működik. saját hiteink halmazán is diszkriminatívan működik. Az I 2 H tudáskoncepcióra specifikusan: (1) hiszem, hogy p, (2) igazoltan hiszem, hogy p, (3)és p igaz. (Megj.: 1. Ez nem puszta szubjektivizmus (ám ha az lenne, akkor is I 2 H individualizmusának és objektivizmusának problémáját, összeegyeztethetetlenségét mutatná. 2. Polányi Mihály-féle személyes tudás fogalmával rokon: a megismerő olyan követelményeknek rendelődik alá, amelyeket önmagától függetlennek ismer el, ezért tudása nem szubjektív (ennyiben tehát objektív); de mivel a megismerő saját, szubjektív perspektívájából hozzáférhető tudásáról van szó, nem is objektív. Lehet-e az individualizmust és objektivizmust koherensen egyesíteni?

Nem triviálisan üres – tudás és nem-tudás bizonyos esetei megkülönböztethetők: a Fermat-tételről hihetem, hogy igaz, de mivel nincs róla igazolásom, ezért e felfogás fényében tudhatom, hogy nem rendelkezem róla/vele kapcsolatban tudással. De mi a helyzet a (2) és (3) feltétellel? De mi a helyzet a (2) és (3) feltétellel? Hogyan tudhatok különbséget tenni aközött, hogy Hogyan tudhatok különbséget tenni aközött, hogy  igazolás révén hiszem, hogy p igaz, és valóban igaz,  vagy p valójában hamis? Hogyan tudhatom megkülönböztetni az igazolás végeredményét az objektív igazságtól vagy hamisságtól, Hogyan tudhatom megkülönböztetni az igazolás végeredményét az objektív igazságtól vagy hamisságtól, azaz a kettő egybeesését vagy különbözését megkülönböztetni, hiszen az igazolás célja az, hogy igazságot szolgáltasson p-t illetően, hozzáférjen p-hez, beleértve igazságértékét is. azaz a kettő egybeesését vagy különbözését megkülönböztetni, hiszen az igazolás célja az, hogy igazságot szolgáltasson p-t illetően, hozzáférjen p-hez, beleértve igazságértékét is. (V. ö. gyakorló tudós/matematikus, 5P megoldásával kísérletezők, osztálytermi megismerő helyzeteinek azonosságával.) A személyes tudás és nem-tudás

A baj az, hogy az igazolási eljárásba szövődő hiba következtében éppen azt nem tudom, hogy A baj az, hogy az igazolási eljárásba szövődő hiba következtében éppen azt nem tudom, hogy az igazolási eljárás elérte-e az objektív, tőlem, első személyű perspektívámtól függetlennek tekintett igazságot, vagy a hiba látens jellege miatt nem. Mivel p igazságát mind az osztálytermi megismerő (diák), mind az alkotó matematikus számára az igazolási eljárás szolgáltatja, ezért az episztemológiai és metodológiai individualizmuson belül, azaz Mivel p igazságát mind az osztálytermi megismerő (diák), mind az alkotó matematikus számára az igazolási eljárás szolgáltatja, ezért az episztemológiai és metodológiai individualizmuson belül, azaz egyetlen megismerőt és egyetlen módszert feltételezve nincs lehetőség a tudás és a tévedésből fakadó nem-tudás megkülönböztetésére. egyetlen megismerőt és egyetlen módszert feltételezve nincs lehetőség a tudás és a tévedésből fakadó nem-tudás megkülönböztetésére. A személyes tudás és nem-tudás

Konzekvenciák, kiutak és pragmatikus javaslatok 1. A módszertani individualizmus feladása Redundáns, alternatív, független igazolási eljárásokon keresztül történő ellenőrzés:  bizonyságot nem, csak lehetőséget, valószínűséget „garantál”,  az egyes igazolási eljárások végeredményei egymásra vonatkoztatva lehetnek diszkriminatívak,  a különbség biztosan informatív: tájékoztat arról, hogy valamelyik igazolási eljárás és végeredménye (igazságértéke) objektíve téves.

Konzekvenciák, kiutak és pragmatikus javaslatok 2. 2.Az episztemológiai individualizmus feladása Nyitás a lényegileg kollektív megismerés felé:  a tudás ellenőrzése egyenrangú megismerői státuszban lévő individuumok által alkotott közösség tevékenysége,  az egyes különböző megismerők igazolási eljárásainak végeredményei lehetnek egymásra vonatkoztatva diszkriminatívak,  a különbség biztosan informatív: tájékoztat arról, hogy valamelyik megismerő által kivitelezett, végrehajtott igazolási eljárás és végeredménye (igazságértéke) objektíve téves,  az ily módon szavatolt diszkriminativitás azonban a megismerők episztemológiai felcserélhetetlenségét feltételezi!  az ily módon szavatolt diszkriminativitás azonban a megismerők episztemológiai felcserélhetetlenségét feltételezi! hiszen a felcserélhető, episztemológiailag uniform, behelyettesíthető megismerők által kivitelezett igazolási eljárások végeredményei elvileg sem lehetnek egymásra vonatkoztatva diszkriminatívak,  az objektivitás értelme így a tudás és tévedés interszubjektive létrejövő megkülönböztethetősége: ez az interszubj. azonban redukálhatatlan az episzt. felcserélhetetlen megismerők közötti interszubjek.-ra, és így az episzt. individualizmusra is.

Konzekvenciák, kiutak és pragmatikus javaslatok Konzekvenciák a matematikatanítás számára: Ad 1.: Törekvés az individuális és kollektív tudásellenőrzési szituációk kiegyensúlyozására, vagy egyáltalán szerephez juttatására.Ad 1.: Törekvés az individuális és kollektív tudásellenőrzési szituációk kiegyensúlyozására, vagy egyáltalán szerephez juttatására. Ad 2.: Az individuális megismerő (diák) számára: az ellenőrzés/áttekintés ne ugyanazon lépések ismétlése legyen (legalább vizuálisan ne kövesse a kérdéses feladatmegoldást.)Ad 2.: Az individuális megismerő (diák) számára: az ellenőrzés/áttekintés ne ugyanazon lépések ismétlése legyen (legalább vizuálisan ne kövesse a kérdéses feladatmegoldást.)