Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala Hraskó András Végtelen a geometriában a projektív geometria születése és diadala 1. Feladat: Az alábbi a) ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? támadó a) ábra támadó b) ábra http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Lesen van-e a támadó? (a) 1. Feladat Az alábbi ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? Nincs lesen a támadó. támadó http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Lesen van-e a támadó? (b) 1. Feladat b) Az alábbi ábra a legelső támadó ( ) és a legutolsó védő ( ) helyzetét mutatja a labda elrúgásának pillanatában. Lesen van-e a támadó? A támadó láthatóan közelebb van az ellenfél alapvonalához, mint a védő. Túl van-e a felezővonalon? Nincs lesen a támadó. támadó http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Reneszánsz Ujjászületés XIV-XVI. század Firenze http://smarthistory.org/Florence.html Ujjászületés XIV-XVI. század Firenze http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Olvasnivaló http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

A megtestesülés Gábriel arkangyal Mária Ambrogio Lorenzetti (1344) Laura Mocci: La rappresentazione dello spazio secondo Panofsky http://www.treccani.it/scuola/dossier/2007/prospettiva/11.html Panofsky Gábriel arkangyal Mária

(Cattedrale di Santa Maria del Fiore ) A hű ábrázolás Brunelleschi (1377 – 1446) Firenzei dóm (kupolája) wikipedia http://maitaly.wordpress.com/tag/brunelleschi/ Firenzei dóm (Cattedrale di Santa Maria del Fiore ) wikipedia http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Alberti: Della Pittura (A festészetről) Leon Baptista Alberti (1404-1472) http://enciklopedia.fazekas.hu/tarsmuv/reneszansz.htm Az egyetemes képzettségű reneszánsz embertípus egyik legkiválóbb képviselője. A tudomány és a művészet szinte valamennyi területén otthonos volt. Ismerte a klasszikus nyelveket, az ókor irodalmát, foglalkozott joggal, teológiával, csillagászattal, matematikával, fontos elméleti munkákat írt a szobrászatról, a festészetről és az építészet kérdéseiről. http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Pavimenti I. http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Pavimenti II. Állítás: OP= a vászon és a festő távolsága H T G F Állítás: OP= a vászon és a festő távolsága Bizonyítás: Forgassuk el derékszögben OF körül GP-t! FG=FT OFG képe OFT, HFG képe HFT, HT a szembe fut http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Vermeer and the Camera Obscura ? Vermeer: Katona és nevető lány (1658), http://www.abcgallery.com/V/vermeer/ Jack & Beverly Wilgus: The Magic Mirror of Life http://brightbytes.com/cosite/improved.html London Magazine 1819 Jonathan Janson: Vermeer and the Camera Obscura http://girl-with-a-pearl-earring.20m.com/

Feladatok feladat Adott egy konvex négyszög, egy négyzetalakú parkettákból álló padló egyetlen négyzetének képe egy festményen vagy fényképen (lásd pl Vermeer ,,Koncert'' című festményének az alábbi ábrán látható részletét). Szerkesszük tovább a képet, rajzoljuk meg a szomszédos parkettalapokat! Megoldás: negyszogbolparketta.ggb 2. feladat Meghatározható-e a fenti képen, hogy a festményhez képest hol állt a szerző (hol volt a camera obscura „lyuka”? Megoldás: holallafesto.ggb Kutatómunka: 3D-s ábrázolás; 3D-s rajzolás (http://leonar3do.com/) http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

A projektív geometria Az alakzatok olyan tulajdonságait vizsgálja, amelyek vetítésnél nem változnak ? ? ? Projekció = vetítés (centrális vagy párhuzamos) egyik síkról egy másikra http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Görög színház Vitruvius: Agatharkhosz perspektívikus díszleteket festett Aiszkhülosz tragédiáinak előadásához Vitruvius (De Architectura): … ha egy meghatározott helyet veszünk középpontnak, a vonalak – éppúgy mint a termé- szetben – szükségképpen megfelelnek a szem nézőpontjának és a tekintet irányának, úgyhogy a színpadképeken a határozatlan tárgyak határozott ábrázolásai épületek a- lakját mutatják, és bár valamennyit függőleges sík felületen ábrázolják, egyesek a hát- térbe húzódnak, mások előreugróknak látszanak. Forrás: van der Waerden: Egy tudomány ébredése http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/megtest/vegtelen.ppt

Euklidesz: Poriszmata i.e. 365?-300? Euklidesz: Poriszmata Forrás: van der Waerden: Egy tudomány ébredése i.sz. IV. sz. Elveszett, kommentárokból ismerjük Papposz Chasles rekonstrukciója i.sz. XIX. sz. Papposz és Desargues feladata: i.sz. XVII. sz. Adott egy egyenes és rajta öt pont, amelyben a sík négy pontját összekötő hat egyenes közül öt az adott egyenest metszi. Hol metszi a hatodik? Lásd egyenes_es_teljesnegyszog.ggb Lásd teljesnegyszog_es_desargues.ggb Két háromszög egyenesre nézve perspektív pontra nézve perspektív A hatodik pont meghatározott. Desargues I. tétele

Pergéi Apollóniosz: Kónika i.e. 260?-190? Pergéi Apollóniosz: Kónika k’ kör: P-n át k-val párhuzamos metszet A ferde kúp síkmetszete k’ kör: Thalesz tétel és magasság-tétel független P-től A kör affin képe: ellipszis

XVII. sz. Gérard Desargues ? ?

XVII. sz. Blaise Pascal Lásd pappos.ggb Lásd pascal.ggb

Carnot

XIX. sz. J. V. Poncelet

Algebrai görbék Kör: x2+y2=1; (x-u)2+(y-v)2=r2; x2+y2+bx+cy+d = 0; Kétvátozós polinom zérushelyeinek halmaza – algebrai görbe Ez a polinom másodfokú – másodrendű görbe Parabola: x2 – y = 0; p(x-u)2 - (y-v) = 0; x2 + bx + cy +d = 0; Egyenes két pontban metszi – másodrendű görbe 5. Feladat: Mutassuk meg, hogy ha két merőleges tengelyű parabola négy pontban metszi egymást, akkor ez a négy pont egy körön van. x2 + bx + cy +d = 0; + y2 + ex + fy +g = 0; x2+y2+(b+e)x+(c+f)y+(d+g) = 0;

Algebrai görbék - számolunk Bezout tétele: egy n-edrendű és egy m-edrendű görbe m·n pontban metszi egymást. Hogyan? Komplex koordinátákkal számolva Multiplicitással számolva Végtelen távoli pontokkal számolva (projektív geometria) Ha a két görbének nincs közös része (komponense) Affin egyenlet: Projektív egyenlet: x2+y2+bx+cy+d = 0; x2+y2+bxz+cyz+dz2 = 0; Homogén egyenlet: (x,y) (x,y,1) Ha (x,y,z) jó, akkor (x, y, z) is jó. (x/z,y/z) (x,y,z) z0 – szokásos pontok (1,2,-5)  (2,4,-10)  (-0.2,-0.4, 1) Körökre Bezout??!! z=0 – ideális pontok (0,0,0) – nem pont Kör ideális pontjai: x2+y2 = 0; x=1, y=i Köri pontok: (1,i,0), (1,-i, 0) Hány pont határoz meg egy kört? Három, fent b, c, d „szabad”.

Másodrendű görbék Pierre Fermat Parabola Hiperbola Ellipszis Két egyenes metsző párhuzamos dupla Bezout: Két másodrendű görbe 4 pontban metszi egymást. Együtthatók leszámolása: a1x2+ a2y2+ a3xy+ a4x+ a5y+ a6 = 0 6 együttható, de egy konstans szorzó nem változtatja meg a megoldáshalmazt

A harmadrendű görbe 6. Feladat: Adott három pont, A, B és P. Vizsgáljuk az A, B pontokon átmenő körökhöz P-ből húzott érintők érintési pontjainak mértani helyét! GeoGebra. B+C S C (A+B)+C A+B S” A+(B+C) A O S’ B

A Cramer paradoxon Bezout: Két harmadrendű görbe 9 pontban metszi egymást. Együtthatók leszámolása: 9 pont meghatározza a harmadrendű görbét. a1x3+ a2y3+ a3x2y+ a4x2+ a5xy2+ a6y2+ a7xy+ a8x+a9y+ a10 = 0 10 együttható, de egy konstans szorzó nem változtatja meg a megoldáshalmazt S S” O (A+B)+C B A A+B C B+C S’ A+(B+C) Nincs pont 9 dim harmadrendű görbe H1: a piros; 1 pont 8 dim harmadrendű görbe H2: a zöld egyeneshármas; 2 pont 7 dim harmadrendű görbe H3: a szaggatott zöld e-hármas; 7 pont 2 dim harmadrendű görbe 8 pont 1 dim harmadrendű görbe H1= 0, H2= 0 H1+H2 = 0. Chasles tétele: Ha a H3 harmadrendű görbe átmegy a H1, H2 görbék metszéspontjai közül 8-on, akkor a 9-en is átmegy.

Irodalomjegyzék