Sims-1 A Simson-egyenes
Sims-2 Ebben a részben megismerkedünk a Simson-egyenessel. A talpponti háromszögek kapcsán vetődik fel a kérdés, vajon melyek azok a pontok, amelyekből egy háromszög oldal-egyeneseire állított merőlegesek talppontjai egy egyenesbe esnek. Valószínűleg így jutott el Robert Simson is felfedezéséhez, melyet tanulmányozni fogunk. Ezt követően meg-vizsgáljuk az egyenes egy igen érdekes tulaj-donságát.
RPBT húrnégyszög ARTQ húrnégyszög Sims-3 Rajzoljuk meg az ABC háromszög köré írható körét. Állítsunk merőlegeseket a kör valamely R pontjából az oldal-egyenesekre E merőlegesek talppontjai egy egyenesbe esnek. Ezt nevezzük a háromszög R ponthoz tartozó Simson-egyenesének. Azt kell megmutatnunk, hogy RPBT húrnégyszög ARTQ húrnégyszög
Tehát a Q, T és P pontok egy egyenesre illeszkednek Sims-4 ARBC és QRPC húrnégyszögek Tehát a Q, T és P pontok egy egyenesre illeszkednek
Sims-5 Most vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogyan változik a Simson-egyenes, ha a P pont mozog a köríven. Mint látni fogjuk: ha a P pont a kör középpontja körül elfordul valamekkora szöggel, akkor a Simson-egyenes éppen e szög felével fog elfordulni.
Tehát a P ponthoz tartozó Simson-egyenes Hosszabbítsuk meg a PA1 szakaszt a köré írható körig, és a Q metszéspontot kössük össze a háromszög A csúcsával. Thalesz tétele miatt PCA1B1 húrnégyszög Tehát a P ponthoz tartozó Simson-egyenes párhuzamos AQ-val
Sims-7 Ha a P pont elfordul szöggel a kör középpontja körül, Ekkor AP’ a P-hez, AQ’ a Q-hoz tartozó Simson-egyenessel párhu-zamos A kör egy átmérőjének két végpontjához tartozó Simson-egyenesek merőlegesek egymásra.