Exponenciális egyenletek Készítette: Horváth Zoltán

1. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy a 16-t felírhatjuk 2 hatványaként!

2. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként!

3. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként!

4. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy a 729-t felírhatjuk 3 hatványaként! Ezt onnan is megtudhatjuk, ha elvégezzük a 729 prímtényezős felbontását!

5. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy a 27-t felírhatjuk 3 hatványaként!

5. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy a 9-t felírhatjuk 3 hatványaként! Eközben az egyenlet bal oldalán alkalmazzuk a következő hatványok hatványára vonatkozó azonosságot: (ügyeljünk közben arra, hogy egytagú algebrai kifejezést szorzunk több tagú algebrai kifejezéssel!!!)

6. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy az 1/4-t felírhatjuk 4 hatványaként!

7. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy az 0,01-t felírhatjuk 10 hatványaként!

8. feladat Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Vegyük észre, hogy a 4-t és a 32-t felírhatjuk 2 hatványaként! Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára!

9. feladat Egy nem zérus alapú hatvány értéke soha sem lehet zérus. Nincs megoldása az egyenletnek.

10. feladat Különböző alapú hatványok értéke azonos kitevővel akkor és csak akkor egyeznek meg, ha a kitevő zérus.

10. Feladat – másik módszer, mellyel azonos alapú hatványokra hozzuk az egyenlet oldalait! Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik. Az előbbi megoldást félre téve osszuk el az egyenletet az egyenlet jobb oldalával! Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára! Írjuk fel 1-t az 5/3 hatványaként!

11. feladat- Oldja meg az alábbi egyenletet a (Q) racionális számok halmazán! Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik! Vegyük észre, hogy a 81 felírható 3 hatványaként! Alkalmazzuk az egyenlet jobb oldalán a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot! Rendezzük x-re az egyenletet!

12. Feladat Oldja meg az egyenletet a (Q) racionális számok halmazán! Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is egyenlő. Írjuk fel 1-t 2 hatványaként! Ez egy másodfokú egyenlet, aminek megoldása: A feladat megoldása:x=3 és x=4 .

13. Feladat Oldja meg az egyenletet a (Q) racionális számok halmazán! Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is egyenlő. Írjuk fel 1-t 5 hatványaként! Ez egy másodfokú egyenlet, aminek megoldása: A feladat megoldása:x=6 és x=2 .

14. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a racionális számok halmazán! Hozzuk hatványalakra az egyenlet jobb és baloldalán található törteket! Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára vonatkozó azonosságot! Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldala felírható a 3/2 hatványaként, mert 2/3 reciproka a 3/2! Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot! Ha a hatványok alapjai megegyezik, akkor az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha a kitevők is megegyeznek.

15. feladat Oldjuk meg az egyenletet a racionális számok halmazán!

16. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a következő azonosságot: Hozzuk az egyenletet egyszerűbb alakra, azaz 23=8. Végezzük el a kivonást az egyenlet bal oldalán! Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 7-tel! Írjuk fel a 16-t 2 hatványaként: 16=24. Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik!

17. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a következő azonosságot: Hozzuk egyszerűbb alakra az egyenlet bal oldalát! Vonjuk össze a 2x-es tagokat! Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 17/4-gyel! Írjuk fel a 8-t 2 hatványaként: 8=23 ! Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik!

18. Feladat Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a következő azonosságot: Szorozzuk be az egyenlet minden tagját 5-tel! Vonjuk össze az 5x-t tartalmazó tagokat! Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 646-tal! Írjuk fel az 5-t 5 hatványaként! 51=5 Az azonos alapú hatványok akkor egyenlők, ha kitevőjük is megegyezik!

19. Feladat Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! Az egyenlet jobb és bal oldalán különbözőek a hatványok alapjai, viszont a kitevőjük csak annyiban különböznek, hogy egymásnak -1-szerese. Ekkor átírható az egyenlet jobb oldala a hatványok hatványozására vonatkozó azonosság szerint: Ha felhasználjuk a negatív kitevőjű hatványokra vonatkozó összefüggést, miszerint:

Mivel ezért ez a megoldása a feladatnak. 19. Feladat (2) Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -vel! Használjuk fel az azonos kitevőjű, de különböző alapú hatványokra vonatkozó összefüggést! Írjuk fel az 1-t 10 hatványaként! Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik! amiből következik, hogy: Mivel ezért ez a megoldása a feladatnak.

20. Feladat Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! Az egyenlet jobb és bal oldalán különbözőek a hatványok alapjai, viszont a kitevőjük csak annyiban különböznek, hogy egymásnak -1-szerese. Ekkor átírható az egyenlet jobb oldala a hatványok hatványozására vonatkozó azonosság szerint: Ha felhasználjuk a negatív kitevőjű hatványokra vonatkozó összefüggést, miszerint:

Mivel ezért ez a megoldása a feladatnak. 20. Feladat (2) Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenleteket! Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -vel! Használjuk fel az azonos kitevőjű, de különböző alapú hatványokra vonatkozó összefüggést! Írjuk fel az 1-t 56 hatványaként! Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik! amiből következik, hogy: Mivel ezért ez a megoldása a feladatnak.

Mely valós x számok elégítik ki a következő egyenletet: (központi érettségi 1994 „A”/1.) 9 pont Feltételek: Azaz: Az azonos alapú hatványok akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük is megegyezik!

Zárójelbontás | - 4x2 | -10x; +18 | :4 Az x = 6, és ez a megoldása az egyenletnek, ami a feltételnek is eleget tesz

Exponenciális egyenlőtlenségek Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 8-at 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 256-t 4 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel az -t hatványaként! Az Exponenciális függvény szigorú monoton csökkenése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával megváltozik.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a -t hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton csökkenése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával megváltozik.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 32-t 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 32-t 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 64-t 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.

Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Írjuk fel a 64-t 2 hatványaként! A Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt: A relációs jel iránya a hatványalapok elhagyásával Nem változik.