Rendszerek sajátfüggvényei és azok tulajdonságai Folytonos (FT) rendszerekkel foglalkozunk,de az eredmények átvihetők diszkrét rendszerekre is. kt)kt) Rendszer k  k (t) CT LTI rendszer Sajátfüggvény Input: sajátfüggvény, output: az input konstanssorosa k = sajátérték,  k (t)= sajátfüggvény Lineáris invariáns rendszerek szuperpozíciós tulajdonságaiból következik : Meg kell keresni a sajátfüggvényeket és a k együtthatókat

Rendszerek sajátfüggvényei és azok tulajdonságai Komplex exponenciális függvény a lineáris invariáns rendszerek sajátfüggvénye h(t) CT Sajátérték Sajátfüggvény

Rendszerek sajátfüggvényei és azok tulajdonságai Komplex exponenciális függvény a lineáris invariáns rendszerek sajátfüggvénye h[n] Sajátérték Sajátfüggvény DT

Rendszerek sajátfüggvényei és azok tulajdonságai

Milyen függvények ábrázolhatók a komplex exponenciálissal Korlátozzuk a lehetséges függvényeket: Korlátozzuk a lehetséges függvényeket: –CT s=j  azaz tisztán képzetes. a jel alakja: e j  t – DT z= e j  azaz z n = e j  n Ekkor folytonos CT és diszkrét DT Fourier sorokhoz jutunk. Ekkor folytonos CT és diszkrét DT Fourier sorokhoz jutunk. amplitudó Periodikus jelek

Folytonos periodikus jelek Fourier reprezentációja Periodikus folytonos jel: T az alapperiódus, a legrövidebb periódus idő az alapfrekvencia

Folytonos periodikus jelek Fourier reprezentációja T periódusidő T periódusidő {a k } a Fourier együtthatók {a k } a Fourier együtthatók k=0 Egyenáramú komponens k=0 Egyenáramú komponens k=±1 alap harmonikus k=±1 alap harmonikus k= ±2 első felharmonikus k= ±2 első felharmonikus

Hogyan határozhatjuk meg a Fourier együtthatókat Egy példa: Euler összefüggés

Valós függvények Fourier sora

Fourier sorfejtés Másik alakban

Fourier sorfejtés Előjel, térnegyed

Fourier sorfejtés Speciális tulajdonságok Speciális tulajdonságok –A 0..T intervallum helyett bármely t 0 …t 0 +T választható –Páros függvény esetén csak az A k nem nulla f(t)=f(-t) f(t)=f(-t) –Páratlan függvény esetén csak a B k nem nulla f(t)=-f(-t) f(t)=-f(-t) –Ha f(t)=-f(t+T/2) csak páratlan rendszámú (k=1,3,5..) együtthatók

Fourier sor létezésének feltételei Periodikus függvény Fourier-sorba fejthető, ha: –A függvény korlátos –A függvény abszolútértéke integrálható egy teljes periódusra

Fourier sor létezésének feltételei –A periódusnyi intervallumban, csak véges számú elsőfajú diszkontinuitása van A diszkontinuitás helyén a jobb és baloldali határértékek végesek A diszkontinuitás helyén a jobb és baloldali határértékek végesek –A periódusnyi intervallumban, csak véges számú helyi maximuma, vagy minimuma van Pl. nem teljesül

Fourier sor konvergenciája A Fourier sor összege A folytonos helyeken A belső diszkontinuitási helyeken Az l periódusú [–l/2, l/2] intervallum szélein Konvergál, ha

Fourier sor komplex alakja Megszorozzuk mindkét oldalt Integráljuk egy teljes alapperiódusra

Fourier sor komplex együtthatóinak meghatározása Szintetizáló egyenlet Analizáló egyenlet

Négyszögjel Fourier sora F/T