Csernoch Mária http://www.inf.unideb.hu/~csernochmaria/bev_info/ Számrendszerek Csernoch Mária http://www.inf.unideb.hu/~csernochmaria/bev_info/

Számrendszerek közötti átváltás Átszámolás p-alapú számrendszerből 10-es számrendszerbe k db m db             j db      

Feladat függvények ábrázolása Excelben, Calcban egészrész függvény törtrész függvény kerekítés függvények

Számrendszerek közötti átváltás Tétel: Legyen 𝑟≥2 természetes szám. Ekkor tetszőleges 𝑣≥0 valós szám felírható az 𝑟 alapú számrendszerben 𝑣= 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 . 𝑎 −1 𝑎 −2 … 𝑟 alakban, ahol 0≤ 𝑎 𝑖 ≤𝑟−1 természetes számok minden 𝑛, 𝑛−1, … esetén és 𝑎 𝑛 ≠0, ha 𝑛≥1. 𝑣 egészrésze: 𝑣 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 . 0 𝑟 𝑣 törtrésze: 𝑣 = 0. 𝑎 −1 𝑎 −2 … 𝑟

Számrendszerek közötti átváltás Legyen 𝑣≥0 az R-alapú számrendszerben adott szám. Határozzuk meg 𝑣 számjegyeit az 𝑟 alapú számrendszerben. 𝑣 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑟 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 ∙ 𝑟 𝑛−1 ++ 𝑎 1 ∙ 𝑟 1 + 𝑎 0 ∙ 𝑟 0 𝑣 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑟 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 ∙ 𝑟 𝑛−1 ++ 𝑎 1 ∙𝑟+ 𝑎 0 𝑣 = 𝑎 −1 ∙ 𝑟 −1 + 𝑎 −2 ∙ 𝑟 −2 +

Számrendszerek közötti átváltás egészrész   A maradékok rendre − növekvő helyiérték szerint − adják az r-alapú számrendszerbeli számjegyek alaki értékeit.              

Számrendszerek közötti átváltás törtrész         A szorzatok egészrészei rendre − csökkenő helyiérték szerint − adják az r alapú számrendszerbeli számjegyek alaki értékeit.

Helyiértékes számábrázolás Átszámolás 10-es számrendszerből p-alapú számrendszerbe 113 2 56 1 28 14 7 3 .45 2 .90 1 .8 .6 .2 .4 113.45(10 1100001.0111001100(2

Helyiértékes számábrázolás Átszámolás q-alapú számrendszerből p-alapú számrendszerbe Adott egy q-alapú (q=10) számrendszerbeli szám keressük azokat a bi együtthatókat, amelyekkel

p-vel való osztás eredménye Helyiértékes számábrázolás, egész Átszámolás q-alapú számrendszerből p-alapú számrendszerbe p-vel való osztás eredménye p-vel való osztás maradéka: b0 lehetséges értékei: 0, 1,, p−1 a hányadost tovább osztjuk p-vel,  a maradék b1, b2,, bN a maradékokat fordított sorrendben olvassuk ki 𝑏 𝑁 ∙ 𝑝 𝑁−1 + 𝑏 𝑁−1 ∙ 𝑝 𝑁−2 ++ 𝑏 2 ∙𝑝+ 𝑏 1

Helyiértékes számábrázolás, törtrész Átszámolás q-alapú számrendszerből p-alapú számrendszerbe 1-nél kisebb, véges „p-ados” tört p-vel való szorzás eredménye egész: b1 lehetséges értékei: 0, 1,, p−1 törtrész: a törtrészt tovább szorozzuk p-vel az eljárást addig folytatjuk, amíg a törtrész nulla nem lesz b−i együtthatók szakaszos ismétlődést nem mutatnak elfogy a tárhely

Feladat 179 3 59 2 19 6 1 .45 3 1 .35 .05 .15 .85 3 2 .55 1 .65 .95 179.45(10 179.85(10 20122.110011001100(3 20122.’1100’1100’1100’(3 20122.211221122112(3 20122.’2112’2112’2112’(3

20122.’1100’1100’1100’(3

Feladat 113 2 56 1 28 14 7 3 .45 2 .90 1 .8 .6 .2 .4 113.45(10 1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

Végtelen, szakaszos tizedes tört Minden racionális szám felírható véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört formában. Minden véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört átalakítható racionális szám formára.

Végtelen, szakaszos p-ados tört k db n db 0. bk ‘ cn ‘ cn ‘ 𝑎 1 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 𝑞= 1 𝑝 𝑛 𝑆= 𝑎 1 1−𝑞 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 1− 1 𝑝 𝑛 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 𝑝 𝑛 −1 𝑝 𝑛 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 ∙ 𝑝 𝑛 𝑝 𝑛 −1 = = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 −1

Feladatok 14,7(10= (7 14,55(10= (4

Végtelen, szakaszos, p-ados tört ahol a−(u+1)=a−(u+K+1) általában: a−i=a−j, ha (i−u)-nak és (j −u)-nak K-val osztás maradéka megegyezik 0.01’1100’1100’(2 b−1=0, b−2=1, u=2, K=4 a−(u+1)=1, a−(u+2)=1, a−(u+3)=0, a−(u+K)=0

K-val való osztás maradéka: 2 0.01’1100’1100’(2 K-val való osztás maradéka: 2 𝑗=1 𝑢 𝑏 −𝑗 𝑝 −𝑗 + 1 1− 𝑝 −𝐾 ∙ 𝑖=1 𝐾 𝑎 − 𝑢+𝑖 𝑝 − 𝑢+𝑖

0.01’1100’1100’(2

0.01’1100’1100’(2

Bináris és hexadecimális számok közötti kapcsolat 0000 1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 0011 3 1011 B 0100 4 1100 C 0101 5 1101 D 0110 6 1110 E 0111 7 1111 F

Feladat 1100001.0111001100(2

Feladat 1100001.01110011001(2 110│0001.0111│0011│001(2 1│100│001.011│100│110│01(2

Feladatok Írja át 10-es számrendszerbe a következő számokat! Az eredményt közönséges tört alakban adja meg! 1.333(5 7B.73’5’5…(16 102.2’32’32’…(4 1320.20’131’131’…(8 101110110.101’0101’0101’…(2

Feladatok A bináris–hexadecimális átírás érvényes-e más átírásokra? Hogyan? Írjuk fel oktális és hexadecimális számrendszerben a következő bináris számokat! 10111001101010.011010(2 100011000101111.1110101(2 Írjuk fel bináris számrendszerben a következő oktális és hexadecimális számokat! 123AD.4FB(16 534674.23(8 534674.23(16