A rezgő mozgás kvantummechanikai leírása 1. Miért kell foglalkoznunk ezzel a problémával? 2. Mi a legegyszerűbb modell? 3. Mi a várható eredménye a legegyszerűbb modell megoldásának? 4. Milyen következtetéseket vonhatunk le megoldás alapján? 5. Célszerű megvizsgálni az eredmények „finomítását”!
H2OH2OHI A legegyszerűbb modell a rezgő tömegpont!
és
Amit célszerűen átrendezve;
Legyen, ekkor; Egyszerű, közelítő megoldást / << 2 feltétel teljesülése mellett kapunk!
Keressük az egyenlet megoldását jelentő sajátfüggvényt a következő alakban! Ha 0<< 2
Keressük ezek után a már ismert alábbi egyenlet nem asszimptótikus megoldását! A megoldást keressükfüggvény alakjában! és Ekkor
Az egyenletet hatványai szerint rendezve;
Ez minden értékére fennáll, ha Az a i együtthatók kiszámíthatók, ha pl. a 1 =1. Másfelől az függvénynek zérushoz kell tartani, ha !
Sajátértékek: Sajátfüggvények: Ahol H n ( ) a Hermite-féle polinom!
A H n ( ), Hermite-féle polinomok: n=0H=1 n=1H=2 n=2H=4 2 -2 n=3H=8 n=4H=16 n=5H=32 n=6H=64 n=7H=128
A normálási feltételből: Sajátfüggvények: Sajátértékek:
Energia n=0 n=1 n=2 n=3 Harmonikus rezgés Anharmonikus rezgés Ha y=0
Következtetések 1. Harmonikus rezgés esetén mind az energia sajátértékekre, mind a sajátfüggvényekre analitikus formula adható meg. 2. A vibrációs kvantumszám 0, 1, 2, 3, …, n (egész számok) lehetnek. 3. E 0 =h /2! 4. A harmonikus közelítés esetén az egymást követő kvantumszámok által meghatározott energiaszintek közötti különbség állandó: E=h. 5. A valóságos rendszerek anharmonikus potenciálfüggvénnyel írhatók le. Ebben az esetben a kvantumszámok növekedésével két egymást követő állapot közötti energiakülönbség csökken.
Következő előadás Forgási állapotok kvantummechanikai leírása