Az iterációtól a diszkrét dinamikus rendszerig CSERESZNYEÉRÉSI KONFERENCIA Június Pécs Klincsik Mihály Sárvári Csaba Matematika Tanszék Pollack Mihály Műszaki Főiskola Pécsi Tudományegyetem Pécs

A dinamikus rendszerekkel foglalkozó kurzus tanítási feltételeinek megteremtése a műszaki felsőoktatási környezetben OKTATÁSI CÉLKITŰZÉS

Didaktikai alapelvek

Többszörös reprezentáció Szemiotikai - ismeretelméleti megközelítés Kant – féle ismeretelmélet dinamizációja C. S. Peirce triadikus reprezentáció elmélete Objektum Iterpretátum Jel

Modularizáció Modul alatt az általánosított tudás olyan többé-kevésbé komplex és összekapcsolt elemét értjük, amelyet mint egységes egészet meghívhatunk és alkalmazhatunk, anélkül, hogy explicit módon kifejtenénk, a belső szerkezetét ismerve kezelnénk. (Dörfler 1991) A modulok fő funkciói: a gondolkodás tehermentesítése és a komplexitás csökkentése. Didaktikai alapelvek

Konstruktív tanulásszemlélet Didaktikai alapelvek A konstruktív pedagógiai paradigma alapján a tanulás személyes konstrukció eredménye Konceptuális váltás Dubinsky: APOS tanuláselmélet

A diszkrét dinamikus rendszerek című kurzus fogalmi- és modell rendszere

Iteráció, X 0 adott

Szimbolikus és leíró tárgyalásmód alkalmazása Tehát lineáris iteráció esetén, ha |a|<1, akkor Mértani sorozat és összegképlete Korábbi ismeretek alkalmazása A határérték fixpont lesz (új ismeret elem) Mértani sorozat konvergenciája LINEÁRIS ITERÁCIÓK

Az iteráció nem konvergens! Nincs fixpont! Elegendő-e a konvergenciához a feltétel? A kontrakciós tétel deriváltja – 1< < 1 Minden valós x esetén. A függvény és deriváltja Fixpont létezik és egyértelmű, ha megköveteljük, hogy az f függvény kontraktív valamely zárt C halmazon, azaz minden C-beli x, y esetén Differenciálható f esetén a Lagrange-tétel alapján Így esetén f kontraktív.

A Newton-iteráció másodrendben konvergál. Speciális iteráció: Newton-érintő módszere Cél: Az f(x)=0 egyenlet megoldása Az f-hez tartozó Newton-függvény Newton-iteráció és eljárása Számítás táblázatba foglalása: Animációs szemléltetés

Az első vonzási tartományból véletlenszerűen választott iterációk f(x)=0 Állítás: Ha f kétszer deriválható és első deriváltja nem nulla a zérushely egy környezetében, akkor van olyan környezete a zérushelynek, amelyben N(x) deriváltja abszolút értékben kisebb 1-nél! megoldása deriváltja Szemléltetés A Newton-iteráció vonzástartományai Az feltételnek eleget tevő intervallumok

Amikor a Newton-iterációs sorozat kaotikus dinamikát mutat x 0 =0.8 kezdeti értékről induló Newton iterációs sorozat Az f Newton iterációs függvénye L 4 (x)=4x(1-x) logisztikus leképezés kaotikus [0,1] – ben. Nem deriválható a 0 és ¾ helyeken A differenciálegyenlet f(1)=1 kezdeti feltételt kielégítő megoldása x=3/4 zérushely A függvény grafikonja egyszerűsítve Keressük azt az f(x) függvényt, amely megoldása a differenciálegyenletnek

Szükséges-e a teljes vonzástartományban az feltétel teljesülése ?! Grafikus, numerikus, szimbolikus x=0 fixpont vonzási tartománya a teljes [0,1[ intervallum. x=0 fixpont vonzási tartománya a teljes [−1,0[ intervallum. Derivált és értéke

f X 1 =[-1,0] f f D 3 =[X 3,f] dinamikus rendszer Amikor a vonzástartomány végtelen sok diszjunkt intervallumrendszer Dinamikus rendszerekhez keressünk intervallumokat! X 1 = [-1, 0] intervallumot f önmagára képezi le! Tehát a D 1 = [X 1, f] pár dinamikus rendszer! X 1 =[-1,0] f X 2 = [0,1] intervallumot f önmagára képezi le! Tehát a D 2 = [X 2, f] pár dinamikus rendszer! X 2 =[0,1] f X 0 =-0.1 X 0 =0.1 További dinamikus rendszerek keresése! D 4 =[X 4,f] dinamikus rendszer f X 2 =[0,1] f f x=─1 és x=1 fixpontok vonzók az x=0 taszító

Van-e még további dinamikus rendszerhez vezető intervallum? Az f páratlan függvény Rajzoljuk fel f abszolút értékét! Megtaláltuk a legnagyobb invariáns intervallumot?! Ebben keveregnek a pályák! Igen, mert igazolhatjuk, hogy

A vonzási tartományban váltás van az helyen Alternáló vonzási intervallumok végtelen rendszerét kapjuk A vonzási tartományban váltás van az helyen Van olyan u 1 >0, amelyre f(u 1 )= V 1 =─u 1 helyen f(v 1 )= Van olyan u 2 >0, amelyre f(u 2 )=v 1. V 2 =-u 2 helyre f(v 2 )=u 1 u 1 <u 2 < u 3 <u 4 < …. <u n <u n+1 < …< Az I 4 intervallumban találtunk egy szigorúan monoton növekvő sorozatot f [n+1] (u n )=0, n=1, 2, 3,..

< …. <v n+1 <v n < … <v 2 <v 1 f [n+1] (v n )=0, n=1, 2, 3,.. Az I 3 intervallumban találtunk egy szigorúan monoton csökkenő sorozatot Váltakozó vonzási intervallumok sorozata Az intervallumok végpontjainak sorozata

LETÖLTÉSEK A cikkhez kapcsolódó (Maple 8 –ban megírt) tananyagok letöltése Iterációk vizsgálata, kontrakciós tétel Newton-iteráció Newton iteráció vonzástartománya Iterációk vonzástartományának vizsgálata