Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév 3. téma Vonalintegrálok értelmezése és kiszámítása. Munka számítása. Vonalintegrál függetlensége az úttól. Vektormező rotációja. Potenciál függvény meghatározása vonalintegrálokkal. Vonalintegrálok és a tartományon vett kettős integrálok kapcsolata: Green - formula. Területszámítás vonalintegrálokkal. j PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Vonalintegrálok értelmezése B=Pn Legyen adva egy G görbe, melynek paraméteres előállítása és egy v(r) vektormező, melynek koordinátái Pk-1 Qk Pk P3 Osszuk fel az [a,b] paraméter tartományt és ezzel együtt a görbét is n részre P2 P1 Válasszunk mindegyik [tk-1,tk] részintervallumon egy közbenső ξk helyet z A=P0 y x Képezzük az alábbi skaláris szorzatok összegét Definíció: Ha létezik az Sn összegeknek a határértéke n →∞ és feltételek mellett, akkor ezt a határértéket nevezzük a v(r) vektormező r(t) görbe menti vonalintegráljának. j Jelölése PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Erőtérben mozgó test munkája x y z A=P0 B=Pn P1 P2 P3 Pk-1 Pk Qk Ha egy test mozog az F(r) erőtérben a G útvonal mentén, akkor a végzett munka az erőtér vonalintegrálja lesz az adott útvonalon. Jelöljük az F(r) erőtér koordinátáit a következőképpen Az erővektornak és az elmozdulás vektornak a skaláris szorzata a munka, ezért az összegben szereplő minden tag egy kis elmozdulás alatt végzett átlagos munkát jelöl. Az összegzéssel és a megfelelő határérték képzéssel kapott vonalintegrál az erőtérben mozgó és a G útvonal megtétele közben befektetett munkát vagy nyert munkát adja, attól függően, hogy pozitív vagy negatív az integrál értéke. j PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

A vonalintegrál tulajdonságai és kiszámítása 1. Ha a görbe irányítását ellenkezőjére változtatjuk, akkor a vonalintegrál előjelet vált. B A A t paraméter helyére (-t)-t tesszük. 2. Ha az AB görbét a C ponttal két részre osztjuk, akkor az AC és CB görbéken vett vonal-integrálok összege egyenlő az AB görbén vett vonalintegrállal. A C B 3. Ha a görbe x=x(t), y=y(t) és z=z(t) paraméteres előállításában a függvények folytonosan differenciálhatók, akkor a vonalintegrált kiszámíthatjuk t-szerinti integrállal. t szerinti integrál x helyébe x(t) y helyébe y(t) z helyébe z(t) PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa vonalintegrál számítására Határozzuk meg a vektormező vonalintegrálját a K: , egység- körvonal mentén pozitív irányítás mellett. Teljes körvonal x(t) y(t) x(t) y(t) PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Munka gravitációs és rugalmas erőtérben 1. Tekintsünk egy m tömegű testet, amelyre minden pillanatban az origó felé mutató, az origótól való távolsággal egyenesen arányos rugalmas erő és a gravitációs erő együttese hat. Mozgassuk a testet az A(r;0;0) ponttól a B(r;0;h) pontig olyan csavarvonal mentén, melynek menetemelkedése h és tengelye z-irányú. Mekkora munkát végzünk a mozgás során?. Rugalmassági erő D>0 a rugalmassági tényező Gravitációs erő A kettő erő ellenében kell munkát végezni, ezért az összeg (-1)-szeresét vesszük! A csavarvonal paraméteres egyenlete PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Munka gravitációs és rugalmas erőtérben 2. Lokalizáljuk a vektormezőt a csavarvonalra, azaz a vektormező koordinátái helyére helyettesítsük x, y és z helyére a görbe paraméterrel adott függvényeit! lokalizáció Képezzük a görbe érintő vektorát! A két vektor skaláris szorzatának integrálja adja a vonalintegrált! Rugalmassági energia Potenciális energia PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Vonalintegrál függetlensége az úttól 1. Vigyük az előző testet az A(r;0;0) pontból a B(r;0;h) pontba egyenes út mentén és számoljuk ki a munkát! Az egyenes paraméteres egyenlete Képezzük a görbe érintő vektorát! Az előző értéket kaptuk! Tehát a munka független az út alakjától! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Vonalintegrál függetlensége az úttól 2. TÉTEL Ha a v(r) vektormezőnek létezik U(r) potenciálja egy összefüggő T tartományban, akkor a vonalintegrál értéke független az út alakjától, csak az A kezdő és B végponttól függ. Legyen , azaz Bizonyítás Legyen a görbe paraméteres egyenlete PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Rugalmas erőtér és a nehézségi erőtér potenciálja 1. Példa Keressük meg az rugalmas erőtér potenciál függvényét! Mivel olyan U(x,y,z) függvényt keresünk, amelyre mindegyike teljesül, ezért az függvény rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal! 2. Példa Keressük meg az nehézségi erőtér potenciál függvényét! Most olyan U(x,y,z) függvényt keresünk, amelyre Mindhárom feltételt teljesíti a U(x,y,z) = -m·g·z függvény. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Vonalintegrál függetlensége az úttól 2. TÉTEL Ha a v(r) vektormezőnek létezik olyan U(r) potenciálja az összefüggő D tartományban, melynek másodrendű parciális deriváltjai folytonosak, akkor a vektormező rotáció vektora nulla, ahol a rotáció Bizonyítás Mivel , azaz ezért A kapott egyenletek különbségei a rotáció vektor komponensei! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Potenciál meghatározása A potenciál létezésének szükséges feltétele, hogy a rotáció vektor nulla legyen! Nézzük a koordináták parciális deriváltjainak különbségét! Mivel a rotáció vektor mindhárom koordinátája nulla, ezért a potenciálfüggvényt vonalintegrállal is előállíthatjuk. Integráljunk az origótól a P(x;y;z) pontig egyenes mentén. Az egyenes paraméteres egyenlete Egyszerűbb alakra hozva

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Green - formula TÉTEL Az xy - sík zárt D tartományának C határa álljon véges sok zárt és sima görbébõl! Ha a P(x,y), Q(x,y) függvények folytonosan parciálisan differenciálhatók D-ben és határán, akkor ahol a vonalintegrált a C határ mentén olyan irányban kell venni, hogy a D tartomány belseje balkéz felé essen. D = A D tartomány C határa két részből áll: C1- irányítása az óramutató járásával ellentétes, C2 -irányítása az óramutató járásával megegyezõ PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa Green-formulára 1. Számoljuk ki a kettősintegrált! = PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa Green-formulára 2. Számoljuk a vonalintegrálokat! B(0;1)- től C(1,1)-ig Az egyenes paraméterese alakja: x=t, y= t, t=0..1 C(1,1)- től B(0;1) - ig Az egyenes paraméterese alakja: x=-t, y= 1, t=0..1 Az egyenes paraméterese alakja: x=0, y= -t, t=0..1 B(0;1)- től A(0,0)-ig Ez megegyezik a kettős integrál értékével! A három vonalintegrál összege= PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Területszámítás vonalintegrálokkal A Green-formula P(x,y)= -y és Q(x,y) = x választása esetén = 2 Ekkor a kettõs integrál a D zárt tartomány T területének 2-szeresét adja. D = Így a D tartomány T területét vonalintegrállal kiszámíthatjuk az alábbi formula alapján PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Ellipszis területe vonalintegrállal Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere A függvények deriváltja a=2, b=3 Az a=b=R speciális esetben az ellipszis kör lesz, és ekkor a képlet visszaadja a kör területének T=R2·p ismert képletét! PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály