KÖZMŰ INFORMATIKA NUMERIKUS MÓDSZEREK I. Hidraulikai feladat megoldása számítógépen
A feladatmegoldás lépései 1. A (hidraulikai) feladat megfogalmazása 2. A matematikai modell felállítása 3. Algoritmus készítése (folyamatábra +numerikus módszer kiválasztása) 4. Programírás 5. Adatok beszerzése vagy előállítása
A feladatmegoldás lépései 6. A program tesztelése 7. Kalibrálás 8. Igazoló futtatások 9. Végső futtatások 10. Eredmények értékelése 11. Dokumentáció készítése
időrendi sorrend (nem merev, felcserélhető) egyidejűleg több részfeladatot is lehet végezni nem mindig kell minden egyes részfeladatot elvégezni (matematikai modell irodalomból ismert, nincs szükség vagy lehetőség kalibrálást végezni stb.)
A feladatmegoldás lépései 1. A (hidraulikai) feladat megfogalmazása 2. A matematikai modell felállítása 3. Algoritmus készítése (folyamatábra +numerikus módszer kiválasztása) 4. Programírás 5. Adatok beszerzése vagy előállítása
A feladatmegoldás lépései 6. A program tesztelése 7. Kalibrálás 8. Igazoló futtatások 9. Végső futtatások 10. Eredmények értékelése 11. Dokumentáció készítése
Hibaforrások hibák elemzése, becslése lényeges kérdés minden számítást a négy aritmetikai művelet segítségével végzünk el csak közelítő pontosság érhető el
Hibák típusai a) fizikai valóság közelítésének hibája b) képlethibák, vagy numerikus hibák c) kerekítési hibák d) adathibák (öröklött hibák) e) tévedések
TÁROZÓ VÍZSZINTJÉNEK SZÁMÍTÁSA
Feltételek a vízszintingadozás tartományában konstans felületűnek tekinthető felülről egy patak táplálja a leeresztés egy fix koronaszintű, állandó szélességű bukón történik, szabad átbukással tározó vízszintje horizontálisnak tekinthető (Qi, és Q0 vízhozamok olyan kicsik)
1. A feladat megfogalmazása Adott, konstans ki- és bevezetések mellett határozzuk meg a tározó vízszintmagasságának alakulását az idő függvényében
2. A matematikai modell felállítása A folytonossági egyenlet a tározóra Térfogatváltozás = Befolyt – Kifolyt vízmennyiség egységnyi idő alatt
Az egyenletben szereplő tényezők A (m2) - a tározó felülete, h (m) - a vízmélység a fix bukó koronaszintjétől mérve, Qi (m3/s) - a befolyó vízmennyiség, Q0 (m3/s) - az elfolyó vízhozam, t (s) - az idő.
Poleni féle bukóképlet b (m) - a bukó koronaszélessége, µ - vízhozam tényező. A képletben szereplő konstansokat vonjuk össze
a differenciálegyenlet: az egyenlet mindkét oldalát A-val osztva
2. Numerikus megoldási módszerek a modell egy elsőrendű differenciálegyenlet az analitikus megoldás megadja az összes megoldási görbét műszaki feladatok megoldásakor csak egy görbe meghatározása a cél kezdeti feltétel, kezdeti érték feladat
konkretizáljuk a feladatot: A = 10000 (m2) - a tározó felülete, Qi = 3 (m3/s) - a befolyó vízmennyiség, c = 1,7 (m1/2/s) - az átbukási tényező, b = 10 (m) - a bukó koronaszélessége. az adatokat behelyettesítve a differenciálegyenletbe
h (m) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 dh/dt(10-4 m/s) - 14,00 - 11,51 - 9,16 - 6,96 - 4,90 - 3,01 - 1,30 0,20 1,48 2,46 3,00 ha dh/dt nullával egyenlő, akkor a vízszint, h=0,315 m ez az egyensúlyi vízszint
az érintőket a h-t síkban ábrázolva
Numerikus integrálás módszere Keressük azt a h(t) függvényt, amely kielégíti a differenciálegyenletet, és a h (t0) = h0 kezdeti feltételt
Lépésköz: t = t1 – t0 Integráljuk mindkét oldalt t0–tól t1–ig bal oldali integrál valójában h (t1) – h (t0)
Euler – Cauchy – féle téglalap szabály a görbe alatti területet a t0–tól t1–ig terjedő időintervallumban egy téglalap területével közelítjük A téglalap-szabály alkalmazásával elkövetett hiba mértékét a besatírozott területrész érzékelteti
a numerikus integrálás képlete újabb t értékekhez tartozó h(t) értékek meghatározására az alábbi általános formula használható
A lépésköz (Δt) kiválasztása ha Δt kicsi, akkor a diszkretizációs hiba is kicsi lesz, numerikus hibák halmozódnak ha Δt túl nagy, akkor a diszkretizációs hiba lesz túl nagy Δt –t folyamatosan csökkentjüka függvényértékek eltérése a kívánt hibakorlátnál kisebb nem lesz
A trapézformula pontosabb numerikus integrálás pontosabb eredményt is ad trapéz területével közelítjük a görbe alatti területet A trapéz-szabály alkalmazásakor elkövetett hiba jól látható módon, lényegesen kisebb
A trapéz szabály rekurzív formulája hj +1 implicit formában szerepel iteráció iteráció gyorsítható Prediktor – Korrektor módszer egy lépésközre eső megoldást két lépésben végzünk el
Prediktor – Korrektor módszer Prediktor (előre jósóló) lépés az egyszerű Euler-Cauchy-féle közelítés A korrektor lépés előtt még számolunk egy középértéket Ezt helyettesítve a rekurzív formulába egy új, jobb közelítést kapunk