Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS VIII. Előadás FORWARDS, FUTURES, SWAPS Elektronikus kereskedelem Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP P / Tartalom Bevezetés Forward szerződések Tartási költség Szűk piacok Swaps Kamat swap értékelése Futures szerződések Futures árak

2006 HEFOP P / BEVEZETÉS I. Derivatív termékek: a kifizetést (payoff) egy másik termék ára határozza meg Célja: kockázat kezelés Példa: Forward szerződés (forward contract) veszek 1000 kg cukrot 24 cent/kg áron pontosan 6 hét múlva Implicit kifizetési függvény (implicit payoff): ha a cukor ára 25 cent/kg lesz, akkor a profit 1 cent/kg

2006 HEFOP P / BEVEZETÉS II. Példa: vételi opció vételi jog, de nem kötelezettség 100 GM részvényre $ 60 / részvény áron pontosan 3 hónap múlva Implicit kifizetési függvény: ha pl. a GM részvény ára $ 70 lesz, akkor a profit $ 10 / részvény

2006 HEFOP P / BEVEZETÉS III. Példa: változó kamatú jelzáloghitel (mortgage) a kamat periodikus beállítása (adjusted): egy jövőbeni t időben a kamat a t időben kibocsátott új jelzáloghitelek súlyozott átlaga

2006 HEFOP P / BEVEZETÉS IV. Alaptermék (underlying security): az az értékpapír, amelynek az ára meghatározza a származtatott (derivative) termék árát Általánosabban: az alaptermék lehet időjárás, választási eredmény Főbb származtatott termékek: forward szerződés (forward contracts) futures szerződés (futures contracts) opciók opciók futures-re (options on futures) swap csereügyletek (swaps)

2006 HEFOP P / BEVEZETÉS V. Az előadás célja: az alapvető származtatott termékek bemutatása a kockázat-csökkentő hatások bemutatása származtatott termékek árazása - a kutatások középpontjában

2006 HEFOP P / FORWARD SZERZŐDÉSEK I. Példa: veszek 1000 kg cukrot 25 cent/kg áron jövő év március 15 -én Az ágensek: az eladó és a vevő Hosszú és rövid pozíciók: „The buyer is long 1000 kg sugar.” „The seller is short.” Több ezer éves konstrukció!

2006 HEFOP P / FORWARD SZERZŐDÉSEK II. A forward szerződés: kötelező erejű szerződés egyben egy pénzpiaci eszköz: belső értéke van a forward ár (forward price): amit a leszállítás (delivery) idején alkalmazunk a kötéskor egyik fél sem fizet → a forward szerződés értéke 0 Azonnali piac vs. határidős piac: vagyoni eszközök vs. szerződések

2006 HEFOP P / FORWARD KAMATLÁBAK Példa: Egy kincstárjegy értéke 3 hónap múlva: P A 6 hónapos kamat 5%, így: Ez az az ár, amiben a bankkal megállapodok: ennyit fogok fizetni 3 hónap múlva Forward kamatláb (forward interest rate): a forward szerződés értékelésének alapvető eszköze Emlékeztető: a forward kamatláb kiszámításának az alapja: a lejárati struktúra (term structure) ill. a kötvényár

2006 HEFOP P / FORWARD ÁRAK A forward ára: az az F ár, amit a jövőben fizetni fogok az eszközért A forward szerződés pillanatnyi értéke: f t = 0 -ban f = 0, de t > 0 -ra f ≠ 0 lehet! Kérdés: mi legyen a forward ára? Feltevések: 0 tranzakciós költség 0 tárolási költség van rövid eladás

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA I. Állítás: Legyen t = 0 -ban az azonnali ár S. Ekkor T határidőre kötött szerződésben a határidős ár: ahol d(0,T) a diszkont tényező 0 és T között.

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA II. 1. Indoklás: jelenérték analízissel. veszünk egységnyi tömegárut (commodity) t = 0 -ban S áron lépjünk be egy T határidőre kötött szerződésbe eladóként F áron A pénzáramlás: (- S, F ) Jelenérték analízis: a pénzáramlás értéke T -ben 0 → jelenértéke 0 -ban szintén 0, így:

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA III. 2. Indoklás: arbitrázs megfontolással tegyük fel, hogy t = 0 -ban: konstruálunk egy portfoliót kölcsönzök S dollár készpénzt veszek egységnyi eszközt S -ért felveszek egy rövid pozíciót az egységre a határidős piacon a portfolió összköltsége: 0 T -ben: leszállítom az eszközt kapok F készpénzt visszafizetem a kölcsönt: a profit:

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA IV.

2006 HEFOP P / TARTÁSI KÖLTSÉG I. Tárolási költség (costs of carry): pozitív Egy értékpapír tartása: negatív költség (osztalék) Egy modell: kifizetés időpontja (delivery date): T ? M periódus a k -dik periódus ( k és k +1 között) költsége: c(k) Feltevés: van rövidre eladás Kérdés: mi a határidős ár?

2006 HEFOP P / TARTÁSI KÖLTSÉG II. Állítás: Legyen az eszköz azonnali ára t = 0 -ban S. Ekkor a határidős ár: ahol d(k,M) a diszkont tényező k és M között. - Másképp:

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA V. Indoklás : jelenérték analízis veszünk egységnyi tömegárut az azonnali piacon belépünk egy határidős ügyletbe (rövid pozícióban) A pénzáramlás ekkor: ( -S - c(0), -c(1), -c(2),…, -c(M-1), F ) A pénzáramlás jelenértéke T -ben 0. Ezt fejezi ki a formula. Átszorozva d(0,M) -mel kapjuk az alternatív alakot. Ez is egy jelenérték formula, de t = 0 -ban. Gyakorlat: arbitrázs-megfontolás

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA VI. Példa : (cukor tárolási költséggel) a cukor pillanatnyi ára: 12 cent / font tárolási költsége: 1 cent / font / hó éves kamat 9% Kérdés: mi a határidős ár 5 hónapra? Megoldás: a havi kamat 0,09/12 = 0,0075 / hó a havi diszkont tényező reciproka: 1,0075 = 12, 95 cent

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA VII. Példa : határidős kötvény (bond forward) Tekintsünk egy T - kötvényt: $ névértékkel 8% coupon T >> 1 lejárati idővel pillanatnyi ár: $ kamat: évi 9%, flat Kérdés: mi a kötvény határidős ára 1 éves szállítás mellett?

2006 HEFOP P / A FORWARD ÁRAZÁSI FORMULA VIII. Megoldás: két kamatfizetés lesz (félévenkénti kifizetés mellett). Így Innen:

2006 HEFOP P / SZŰK PIACOK (TIGHT MARKETS) I. Egy észrevétel: T (delivery date) vagy M növekedésével a határidős ár F nő. Tapasztalati tény: ez nincs mindig így! Kérdés: van-e arbitrázslehetőség?

2006 HEFOP P / SZŰK PIACOK II. Egy arbitrázs kísérlet: eladok szóját decemberben $ 188,2 áron visszavonom márciusban $ 184,00 áron pozitív profit + 0 tárolási költség ! A tranzakció korlátja: hiány a szójapiacon a szójatulajdonosok egyéb kötelezettségei Az arbitrázs-meggondolás korlátja: az “arbitrazsőr” nem tud rövid pozíciót nyitni senki nem ad kölcsön szóját!

2006 HEFOP P / SZŰK PIACOK III. Egy arbitrázs-meggondolás eredménye: ha van tárolási lehetőség, akkor: Kényelmi hozam (convenience yield): egy mesterséges konstrukció: a tömegáru tartásából származó bevétel másképp: egy negatív tárolási költség; jele: y a definiáló egyenlet:

2006 HEFOP P / EGY HATÁRIDŐS SZERZŐDÉS ÉRTÉKE Feltevés: a t = 0 -ban kikötött szállítási ár: F 0 a jelenlegi t időpontban ugyanazon kötelezettségre a szállítási ár: F t Kérdés: mi a szerződés pillanatnyi értéke, f x ? Állítás: A határidős szerződés értéke t -ben: ahol a d(t,T) a kockázatmentes diszkont-tényező t és T között.

2006 HEFOP P / SWAPS I. Swap : egy megállapodás két pénzáramlás cseréjére Swap-piac: sok száz milliárd dollár Plain vanilla swap: a legtipikusabb swap ügylet változó szintű kifizetések vs. fix szintű kifizetések Példa: (kamat swap) A fizet B -nek félévenként fix kamatot egy névleges tőke után B fizet A -nak félévenként a névleges tőke után 6 hónapos LIBOR kamatot Megjegyzés: “swaps are netted”: csak a különbözet cserél gazdát

2006 HEFOP P / SWAPS II. Példa: (tömegáru swap) egy elektromosáram szolgáltató olajat vesz minden hónapban a spot árának ingadozása elleni védekezés: swap

2006 HEFOP P / EGY TÖMEGÁRU SWAP ÉRTÉKE I. A swap ügylet: A kap azonnali árat egységnyi tömegáruért M perióduson át A fizet fix x árat egységnyi tömegáruért M perióduson át a pénzáramlás A részére: ( S 1 - x, S 2 - x,…, S n - x ) A pénzáramlás értékelése. Az ötlet: a bizonytalan jövőbeni S i ár ekvivalens az F i biztos jövőbeni határidős árral ! így az S i ár jelenértéke 0 -ban: d(0,i) F i és innen: Tipikusan x -et úgy választják, hogy V = 0 legyen.

2006 HEFOP P / EGY TÖMEGÁRU SWAP ÉRTÉKE II. Speciális eset: 0 tárolási költség Ekkor Így

2006 HEFOP P / EGY KAMAT SWAP ÉRTÉKELÉSE I. A swap ügylet: A fizet r kamatot egy névleges N tőke után M perióduson át és A kap változó kamatot névleges N tőke után M perióduson át a pénzáramlás: ( c 0 - r, c 1 - r,…, c M - r ), ahol c i a változó kamat Az ötlet : a c i kifizetések egy változó kamatú kötvény kifizetései M lejárta mellett de: most nincs végkifizetés!

2006 HEFOP P / EGY KAMAT SWAP ÉRTÉKELÉSE II. Emlékeztető: egy változó kamatú kötvény értéke par, vagyis N ! Tehát, a swap stream változó kamatú részének értéke: Így a swap értéke:

2006 HEFOP P / FUTURES SZERZŐDÉSEK I. Cél: a határidős szerződések standardizálása és forgalmazása A kihívás: a határidős árak könyvelése Példa: két azonos tartalmú szerződés t = 0 -ban ill. t = 1 –ben F 0 ≠ F 1 ! a könyvelés: lidércnyomás! Egy zseniális ötlet: a futures piac

2006 HEFOP P / FUTURES SZERZŐDÉSEK II. Az ötlet: t = 1 -ben az elszámolóház (clearinghouse) átírja a t = 0 -ban kötött szerződéseket → az új szállítási ár: F 1 ha F 1 > F 0, akkor a fedezeti számlámra (margin account) kapok F 1 - F 0 -t! Marking to market: a fenti eljárást ismételjük minden nyereség vagy veszteség a fedezeti számlán kerül elszámolásra a lejáratkor megveszem a tömegárut egy egészen más áron, mint F 0 !