3. előadás

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése tipikus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vizsgálata, a sokaság/minta eloszlásgörbéjének elemzése.

Eloszlásjellemzők

Középértékekkel szembeni követelmények egyértelmű számítás; tipikus, jellemző értékek legyenek; szemléletes, jó értelmezhetőség; közepes helyzet Xmin  K  Xmax

Középértékek jellemzői A mennyiségi ismérvet egyetlen számmal jellemzik. Dimenzió: az ismérv mértékegysége.

Középértékek : Átlagok Helyzeti középértékek Számtani Módusz (Mo) Harmonikus Medián (Me) Mértani Négyzetes

Számtani átlag Az a szám, amelyet az átlagolandó értékek helyére téve azok összege változatlan marad.

Számtani átlag Egyedi értékeknél: Súlyozott forma:

A számtani átlag matematikai tulajdonságai Az egyes elemek - átlagolandó értékek - átlagtól való eltéréseinek összege 0: Ha minden egyes elemhez hozzáadunk egy "a" konstans értéket, az így kapott elemek számtani átlaga "a"-val tér el az eredeti elemek átlagától. Ha minden egyes elemet megszorzunk egy "b" konstans értékkel, akkor az így kapott elemek átlaga "b"-szerese lesz az eredeti elemek átlagának.

A számtani átlag matematikai tulajdonságai Ha az x1, x2, ..., xn elemek átlaga , az y1, y2, ..., yn elemek átlaga , akkor az x1 + y1; x2 + y2; ...; xn + yn átlaga lesz. Az elemek mindegyikéből egy tetszőleges "a" állandót levonva ezen eltérések négyzetösszege akkor lesz minimális, ha az "a" állandó éppen az ,azaz minimális, ha a =

Példa a számtani átlag tulajdonságaira xi xi+50 xi·1,1 Z= 100 150 110 210 200 165 315 260 231 441 240 290 264 504 300 350 330 630 Σ 1000 1250 1100 2100 250 220 420

A számtani átlag előnyös tulajdonságai Világos, érthető fogalom, számítása egyszerű. Minden adathalmaznak létezik számtani átlaga, s egy van belőle. Minden elem figyelembe vételével kerül kiszámításra. Kiszámításához nem szükséges az egyedi értékek ismerete, elegendő azok összegét tudni.

A számtani átlag hátrányos tulajdonságai A kiugró értékekre (ún. outlier-ekre) érzékeny. (nyesett átlag –trimmed mean) Osztályközös gyakorisági sor alkalmazása esetén nem tudjuk figyelembe venni az egyedi értékeket. Nyitott osztályközök használatakor adatvesztés.

Geometriai átlag Geometriai átlag az a szám, amelyet az egyedi értékek helyére írva azok szorzata változatlan marad. Egyedi értékek esetén: Súlyozott átlagforma:

A GDP volumenindexének alakulása Magyarországon Időszak Előző negyedév=100% 2008. I. n.év 100,9 2008. II. n.év 99,8 2008. III. n.év 99,0 2008. IV. n.év 98,1 Forrás: KSH Gyorstájékoztató A változás átlagos üteme:

Harmonikus átlag Harmonikus átlag az a szám, amelyet az egyes átlagolandó értékek helyére írva azok reciprokösszege változatlan marad. Egyedi értékek esetén: = Súlyozott átlag formában: = , ahol

Megoszlási viszonyszám és dinamikus viszonyszám közötti kapcsolat Telep Árbevétel (MFt) Árbevétel megoszlása Dinamikus viszonyszám (%) t0 t1 t0 (%) t1 (%) A 30 36 20 19 120 B 40 60 27 32 150 C 70 77 47 41 110 D 10 14,5 6 8 145 Összesen 187,5 100 125

Négyzetes átlag A négyzetes (kvadratikus) átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad. Kiszámítási módjai

Súlyozott átlagok xi: átlagolandó értékek fi: súlyok A súlyozott átlag nagysága függ: az átlagolandó értékek abszolút nagyságától, a súlyarányoktól (a súlyok egymáshoz viszonyított arányától), súlyként fi/n=gi is használható.

Mennyiségi csoportosító sorok fajtái Egy társasház vízfogyasztására vonatkozó adatok Vízfogyasz-tás (m3) Lakások száma f’ g(%) g’(%) s(m3) z(%) – 15 5 10 50 3 15 – 25 17 22 34 44 340 24 25 – 35 15 37 30 74 450 32 35 – 45 8 45 16 90 320 23 45 – 100 250 18 Összesen - 1410

Köszönöm a figyelmet