Komplex számok (Matematika 1.) Készítette: Kiss Máté

A komplex számok felépítése Komplex számok a valós számokból alkotott (x,y) alakú rendezett számpárok. Általános alakja: x + iy Az i = 0 + 1i komplex szám neve képzetes egység, amelyre i2 = -1 (azaz i = √-1) Szokás azt mondani, hogy az x a komplex szám valós része, y pedig a képzetes (imaginárius) része.

A z:= x + iy komplex számot a Descrates-féle koordinátarendszerben a P(x,y) ponthoz húzható helyvektorral ábrázoljuk. Ennek a vektornak a hossza a komplex szám abszolút értéke, amely r:= |z| = √x2 + y2 módon számítható. A φ szög a komplex szám arkusza, amely megállapodás szerint –Π< φ≤Π , vagy 0≤ φ<2 Π. A következő egyenletekből számítható: x = r cos φ , y = sin φ

A z = x + iy ún. algebrai alakban megadott komplex szám felírható trigonometrikus alakban vagy exponenciális alakban is, azaz z = x + iy = r(cosφ + i sinφ) = reiφ A ž = x – iy komplex szám a z konjugáltja.

A z1 és z2 komplex számok összege, illetve különbsége z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = x1 + x2 + i (y1 + y2) z1 – z2 = (x1 + iy1) – (x2 + iy2) = x1 – x2 + i (y1 – y2)

A z1 és z2 komplex számok szorzata z1z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 – y1y2 + i(x1y2 + x2y1)

z1z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)] = r1r2ei(φ1 +φ2) A szorzást tehát a többtagúak szorzási osztálya szerint kell elvégezni, csak figyelembe kell venni, hogy i2 = -1. A szorzat trigonometrikus és exponenciális alakja: z1z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)] = r1r2ei(φ1 +φ2) ahol r1, illetve r2 a z1, illetve z2 abszolút értéke, φ1, illetve φ2 pedig a szöge.

Komplex számok osztása Az osztást algebrai alakban célszerű az alábbi módon elvégezni: z1 = x1 + iy1 · x1 - iy1 x1x2 + y1y2 + i(x2y1 – x1x2) z2 x2 + iy2 x2 - iy2 x22 + y22

Trigonometrikus, illetve exponenciális alakban: z1 = r1 [cos(φ1 – φ2) + i sin(φ1 – φ2)] ei(φ1 – φ2) z2 r2

zn = [r(cosφ + i sinφ)]n = rn (cos nφ + i sin nφ) = rneinφ Hatványozás A komplex szám pozitív egész kitevőre való hatványozása algebrai alakban lehetséges a binomiális tétellel, trigonometrikus alakban pedig az úgynevezett Moivre- képlettel: zn = [r(cosφ + i sinφ)]n = rn (cos nφ + i sin nφ) = rneinφ Fontos, hogy i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i5 =i …

Gyökvonás Komplex számnak n darab n-edik gyöke van. A gyökvonás: A komplex számok, akárcsak a valós számok, számtestet alkotnak. n√z = n√r(cos φ + 2kΠ + i sin n k = 0, 1, 2, …, n - 1

Köszönöm a figyelmet!