Eltérés négyzetösszeg meghatározása A variancia-analízis során négyféleképpen tudjuk kiszámítani az eltérés négyzetösszegeket (SS): I.: ha a kezelésekben nem egyezik meg a megfigyelések száma, hiányzó parcellaadat van II.: kiegyensúlyozott egymásba ágyazott (nested) kísérleteknél III.: egy vagy többtényezős, kiegyensúlyozott vagy kiegyensúlyozatlan, teljes, azaz nincs hiányzó parcella adatú kísérletek kiértékelésekor (ez a leggyakoribb). IV.: hiányzó adatok, kiegyensúlyozott vagy kiegyensúlyozatlan kísérlet A III. módszer megegyezik a széles körben ismert Yates-féle módszerrel. A Yates módszer lényegében az átlagok súlyozott eltérésnégyzet technikáját használja a négyzetösszegek számításakor. Ez a módszer jól ismert a mezőgazdasági kutatásban, mivel Sváb könyveiben a variancia-analízis ismertetésekor ezt a technikát mutatja be.

Kísérletek csoportosítása

Kéttényezős véletlen blokk elrendezés Az elrendezés matematikai modellje: Yijk = m + Ri + Aj + Bk + ABjk + eijk ahol: Yij = egy parcella termése (kg/parcella) m = a kísérlet becsült, számított átlaga, a kísérlet legjellemzőbb értéke Ri = blokk ill. ismétlés hatás a talaj heterogenitását mutatja Aj = az „A” tényező termésre gyakorolt hatása Bk = a „B” tényező termésre gyakorolt hatása ABjk= a két tényező kölcsönhatása eijk = a kísérlet hibája ismétlés kezelések (1) a1b1 a1b2 a2b1 a2b2 a3b1 a3b2 (2) (3) (4) (5)

GLM-táblázat kéttényezős véletlen blokk esetén SS df MS F Sig. DESIGN Korrigált modell ? Eltérés 1 Ismétlés r-1 ismétlés A tényező a-1 atényező B tényező b-1 btényező AxB kölcsönhatás (a-1)(b-1) atényező*btényező Hiba (r-1)(ab-1) Összesen rab Korrigált összesen rab-1

Kéttényezős sávos elrendezés I. ismétlés II. ismétlés A B C 1 3 2

GLM-táblázat kéttényezős sávos elrendezés df MS F Sig. DESIGN Eltérés 1 Ismétlés r-1 ismétlés A tényező a-1 atényező Hiba (a) (r-1)(a-1) atényező*ismétlés B tényező b-1 btényező Hiba (b) (r-1)(b-1) btényező*ismétlés AxB kölcsönhatás (a-1)(b-1) atényező*btényező Hiba (a x b) (r-1)(a-1)(b-1)

Kéttényezős osztott parcellás elrendezés (split-plot) I. ismétlés II. ismétlés Fő parcella A B C Osztó terület 1 2 3

GLM-táblázat kéttényezős osztott parcellás elrendezés SS df MS F Sig. DESIGN Eltérés 1 Ismétlés r-1 ismétlés A tényező a-1 atényező Hiba (a) (r-1)(a-1) atényező*ismétlés B tényező b-1 btényező AxB kölcsönhatás (a-1)(b-1) atényező*btényező Hiba (b) a(r-1)(b-1)

Random modell (A és B tényező random tényező) Forrás MS E(MS) varianciakomponensek A tényező MSA 2e+r2AB+rb2A B tényező MSB 2e+r2AB+ra2B AXB MSAXB 2e+r2AB Error MSe 2e A két tényező A és B. Tételezzük fel, hogy kölcsönhatásuk is létezik. Jelmagyarázat: E(MS) = a közepes négyzetes eltérés várható értéke MS = közepes négyzetes eltérés (becsült) r = ismétlések száma (valódi x belső ismétlés) 2e = hiba szórásnégyzet (valódi) 2index =kezelés szórás négyzet (valódi) H0 : 2A=0 H0 : 2B=0 H0 : 2AB=0

Fix modell (A és B tényező fix tényező) Forrás MS E(MS) varianciakomponensek A tényező MSA 2e+rb2A B tényező MSB 2e+ra2B AXB MSAXB 2e+r2AB Error MSe 2e H0 : 2A=0 H0 : 2B=0 H0 : 2AB=0

Kevert modell (A fix és B random tényező) Forrás MS E(MS) varianciakomponensek A tényező MSA 2e+rb2A B tényező MSB 2e+r2AB+ra2B AXB MSAXB 2e+r2AB Error MSe 2e Az előző táblázatokból látható, hogy random modell esetén a vizsgált tényező hatására létrejövő MS nemcsak a saját maga által létrehozott variancia-komponenst és hibakomponenst tartalmazza, hanem még más variancia-komponenseket is. Például, ha az előbbi tényezővel egyidejűleg vizsgált másik tényező véletlen osztályai szerepelnek (pl. különböző véletlenszerűen kiválasztott fajták), akkor az MS variancia-komponensei között a kölcsönhatás variancia-komponense is szerepel. A kezelés variancia-komponensének, szigma négyzetnek tesztelésére mindig olyan nevező MS-t kell választani, melynek variancia-komponensei csak szigma négyzet különböznek a számláló komponenseitől. Az előbbiekből következik, hogy mielőtt az egyes tényezők hatásának F-próbáját elvégeznénk, meg kell állapítanunk, hogy a tényezők közül melyek szerepelnek véletlen és melyek fix osztályozással. Egy fix és egy véletlen osztályozás kölcsönhatása véletlen osztályozásnak számít. H0 : 2A=0 H0 : 2B=0 H0 : 2AB=0

Kölcsönhatások (AxB, AxBxC) AxB: elsőrendű kölcsönhatás AxBxC: másodrendű kölcsönhatás Pozitív kölcsönhatás: az együttes hatás nagyobb Ai+Bi-nél. Negatív kölcsönhatás: az együttes hatás kisebb, mint Ai és Bi algebrai öszzege. Pozitív kölcsönhatás pl. tápanyag és víz.

Kevert modell az SPSS-ben

Modell beállítása az SPSS-ben (kölcsönhatások)

GLM-táblázat háromtényezős véletlen blokk elrendezés SS df MS F Sig. DESIGN Korrigált modell ? Eltérés 1 Ismétlés r-1 ismétlés A tényező a-1 toszam B tényező b-1 hibrid C tényező c-1 tragya AxB kölcsönhatás (a-1)(b-1) hibrid*toszam AxC kölcsönhatás (a-1)(c-1) toszam*tragya BxC kölcsönhatás (b-1)(c-1) hibrid*tragya AxBxC (a-1)(b-1)(c-1) hibrid*toszam*tragya Hiba (r-1)(abc-1) Összesen rabc Korrigált összesen rabc-1

Latin négyzet elrendezés 4, 5, 6, 7 és 8 kezelés összehasonlítására alkalmas kísérleti elrendezés, ha az ismétlések száma azonos a kezelések számával. Alkalmazható háromtényezős kísérletek elrendezésére is, ha a kezelések között nincs kölcsönhatás. 1 2 3 4 5 6

A GLM-táblázat latin négyzet esetén Tényező SS df MS F Sig. DESIGN Korrigált modell ? Eltérés 1 Sor r-1 sor Oszlop oszlop Kezelés (csop. között) v-1 kezelés Hiba (r-1)(v-2) Összesen rv Korrigált összesen rv-1

Háromtényezős kétszeresen osztott parcellás elrendezés (split split-plot) I. ism. II. ism. Fő parcella A B Osztó terület 1 2 a d c b Osztó területek

GLM-táblázat háromtényezős kétszeresen osztott elrendezés SS df MS F Sig. DESIGN Eltérés 1 Ismétlés r-1 ismétlés A tényező a-1 toszam Hiba (a) (r-1)(a-1) ismetlés*toszam B tényező b-1 hibrid AxB kölcsönhatás (a-1)(b-1) hibrid*toszam Hiba (b) a(r-1)(b-1) toszam(hibrid*ismetles) C tényező c-1 tragya AxC kölcsönhatás (a-1)(c-1) toszam*tragya BxC kölcsönhatás (b-1)(c-1) hibrid*tragya AxBxC (a-1)(b-1)(c-1) hibrid*toszam*tragya Hiba (c) ab(r-1)(c-1)