Bernoulli Egyenlőtlenség

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Egy szélsőérték feladat és következményei
Advertisements

Események formális leírása, műveletek
Koordináták, függvények
Sor láncolt ábrázolással
Ptolemaiosz tétel bizonyítása 1.
Másodfokú egyenlőtlenségek
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
OKTV feladatok megoldása C#-ban
Műveletek logaritmussal
A ÉVI ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS ISKOLAI EREDMÉNYEI.
Euklidészi gyűrűk Definíció.
Egy f  R[x] polinom cS -beli helyettesítési értéke
4. VÉGES HALMAZOK 4.1 Alaptulajdonságok
Operációkutatás szeptember 18 –október 2.
Az összehasonlító rendezések
Intervallum.
Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban Hajnal Péter Szeged, SZTE, Bolyai Intézet.
Csernoch Mária Adatábrázolás Csernoch Mária
Bizonyítások Harmath Zsolt.
MATEMATIKA e-tananyag 9. osztály
SZÁMRENDSZEREK SZÁMÁBRÁZOLÁS
Fejezetek a matematikából
Halmazok Gyakorlás.
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika
Év eleji információk Előadó: Hosszú Ferenc II. em Konzultáció: Szerda 9:50 – 10:35 II. em
Differenciál számítás
Lineáris algebra Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek
Integrálszámítás Mire fogjuk használni az integrálszámítást a matematikában, hova szeretnénk eljutni? Hol használható és mire az integrálszámítás? (már.
Valós számok Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány. Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test felső határ.
Reprezentációs függvény. Adva egy adattípus absztrakt és konkrét specifikációja: d a = ( A, F, E a ); d c = ( C, G, E c ); A = {A 0,..., A n };C = {C 0,...,
A számfogalom bővítése
Halmazok Összefoglalás.
Rendszerek sajátfüggvényei és azok tulajdonságai Folytonos (FT) rendszerekkel foglalkozunk,de az eredmények átvihetők diszkrét rendszerekre is. kt)kt)
Exponenciális egyenletek
Beolvasó utasítás Console.Read();  Int típusú adatot kapunk. Console.ReadLine();  String típusú adatot kapunk. Console.ReadKey();  Tetszőleges billentyű.
Alapszint 2.  Készíts makrót, ami a kijelölt cellákat egybenyitja, a tartalmat vízszintesen és függőlegesen középre igazítja és 12 pontos betűméretűre.
Függvények.
Halmazműveletek.
Kifejezések. Algoritmus számol; Adott összeg; összeg:=0; Minden i:=1-től 5-ig végezd el Ha 2 | i akkor összeg:=összeg+2*i Ha vége Minden vége Algoritmus.
Félévi típus feladatok
Feladatok: Algoritmusok Pszeudokódban
1. feladat Makó és Veszprém között a távolság 270 km. Reggel 8-kor elindult egy vonat Makóról 60 km/h sebességgel. 9-kor Veszprémből indult egy gyorsvonat.
A Birodalmi lépegetőtől… Egy játék matematikája. Egyszer volt… Ha megnőnek a gyerekek, akkor a matematikusnak marad a solitaire :( Van k darab doboz 1-től.
A Birodalmi lépegetőtől… Egy játék matematikája. Egyszer volt… Ha megnőnek a gyerekek, akkor a matematikusnak marad a solitaire :( Van k darab doboz 1-től.
13. A zillmerezés, mint bruttó
Nevezetes algoritmusok
Koncepció: Specifikáció: e par exp i = eb imp bod ib Specifikáció elemzése: tulajdonságok felírása a koncepció alapján + tulajdonságok bizonyítása.
Fogalom Kérdezz! Felelek.
Lineáris algebra.
Az elektromágneses tér
Valószínűségszámítás III.
Az egész számok szorzása
A folytonosság Digitális tananyag.
A Függvény teljes kivizsgálása
Alapműveletek (Természetes számok, Egész számok)
Iteráció, rekurzió, indukció. Iteráció iterációs módszer –egy adott műveletsort egymás után, többször végrehajtani megvalósítás –ciklusokkal pl. –hatványozás.
Erdélyben járunk, a bennszülöttek egy része vámpír. Az emberek mindig azt mondják, amit igaznak hisznek, a vámpírok az ellenkezőjét. De az embereknek és.
Adalékok egy véges összegzési feladathoz
A HÁROMSZÖGSZÁMOKRÓL - SZEMLÉLETESEN
Számok világa.
Maximális nyereség Ha a függvények valamilyen gazdasági jelenséget írnak le, vizsgálatukkal megoldható az ügyvitel optimizációja.
A Catalan-összefüggésről
Pázmány Péter Katolikus Egyetem ITK Központi Alapok Program
Egyenletek, egyenlőtlenségek Érettségi feladatok
II. konzultáció Analízis Sorozatok Egyváltozós valós függvények I.
Egyenletek.
Egyenletek, egyenlőtlenségek Érettségi feladatok
Egyenletek, egyenlőtlenségek Érettségi feladatok
Tanórán kívül lehet kicsit több
Szögfüggvények és alkalmazásai Készítette: Hosszú Ildikó Nincs Készen.
Előadás másolata:

Bernoulli Egyenlőtlenség t > -1 valós szám, és n > 0 egész szám Ez csak nyitó oldal, a továbbiakban az általánosított Bernoulli Egyenlőtlenség bizonyítása következik, majd a speciális eset(ami a címoldalon is látható) említésével zárul a bemutató.

Általánosított Bernoulli-egyenlőtlenség Ha n>1 egész, és a t1, t2, …,tn valós számok mindegyike vagy a (-1, 0] vagy a[0, ∞) intervallumon van, és van közöttük legalább kettő nullától különböző, akkor (1+t1)·(1+t2) · … · (1+tn)>1+t1+t2+…+tn

Bizonyítás: Teljes indukcióval n = 2-re teljesül az állítás, hiszen (1+t1) · (1+t2) = 1+t1+t2+t1 · t2 és t1 · t2 >0 a kezdeti feltételek miatt. Ha n darab számra igaz az állítás, akkor n+1 darabra is igaz, mert az n+1 darab számot úgy állítjuk sorrendbe, hogy az első n szám között legyen két nullától különböző, akkor (1+t1) · (1+t2) · … · (1+tn) > 1+t1+t2+…+tn , (indukciós feltétel n-re), s ha ezt az egyenlőtlenséget megszorozzuk (1+tn+1) számmal, (mely a feltételek miatt pozitív), akkor (1+t1) · (1+t2) · … · (1+tn) · (1+tn+1) >(1+t1+t2+…+tn ) · (1+tn+1) Ennek jobb oldalát átalakítjuk: (1+t1+t2+…+tn ) · (1+tn+1) = (1+t1+t2+…+tn ) + (1+t1+t2+…+tn ) · (1+tn+1) = =1+t1+t2+…+tn+ tn+1+ (tn+1+t1 · tn+1 +t2 · tn+1 +…+tn · tn+1)> 1+t1+t2+…+tn+ tn+1 felhasználva, hogy (tn+1+t1 · tn+1 +t2 · tn+1 +…+tn · tn+1) 0 (az összeg tagjai a kezdeti feltételek miatt nem lehetnek negatívak) . Ezzel az indukciós feltételt beláttuk. =

Speciális esetben, ha az adott tk számok egyenlőek, a Bernoulli-egyenlőtlenséget kapjuk. Ha egész szám és , akkor

Bizonyítás Ha 1+t · n<0 akkor az egyenlőtlenség igaz, mert mindig nagyobb nullánál a kezdeti feltétel miatt. Igaz-e az állítás ha ? Lássuk: , itt mindkét oldalból n-edik gyököt vontunk, amit megtehetünk, mert egyik oldal sem negatív. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségek tételét alkalmaztuk a Bernoulli-egyenlőtlenség igazolására. n-1 db  n-1 db