DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA

A differenciálszámítás alkalmazása A gyakorlati életben előforduló mennyiségi változások, fizikai mozgások, szélsőérték-problémák stb… tanulmányozásának folyamata a vizsgált folyamatban szereplő változók között keresünk függvénykapcsolatot → a jelenséghez „matematikai modellt” rendelünk a függvény tulajdonságainak vizsgálata (menete, görbülete, szélsőértéke stb…) fontos szerepe van a deriváltnak

Függvények menetének vizsgálata A függvény menetének és a derivált előjelének kapcsolata Vizsgáljuk meg az függvényt: x є ] 0 ; [ esetén - a függvény szigorúan monoton növekvő - bármely pontban az érintő irányszöge pozitív → iránytangens pozitív → derivált előjele pozitív x є ]- ; 0 [ esetén - a függvény szigorúan monoton csökkenő - bármely pontban az érintő irányszöge negatív → iránytangens negatív → derivált előjele negatív A megfigyelés általánosítható:

Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvény az intervallumban monoton nő monoton csökken, akkor a derivált az intervallum minden pontjában nemnegatív nempozitív Megjegyzés: a függvény szigorú monotonitásából is csak az következik, hogy a derivált nemnegatív illetve nempozitív pl.: pontban a többi helyen

Függvények menetének vizsgálata 2. A függvényvizsgálatkor általában a derivált előjeléből következtetünk a függvény menetére: Tétel: Ha f ‘(x) az ]a;b[ intervallumban nemnegatív (nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton növekvő (monoton csökkenő). Ha f ‘(x) az ]a;b[ intervallumban pozitív (negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő (szigorúan monoton csökkenő). f(x) monoton nő f(x) szigorúan monoton nő f(x) monoton csökken f(x) szigorúan monoton csökken

Függvények menetének vizsgálata A függvény szélsőértékének és a deriváltnak kapcsolata 1. Egy differenciálható f(x) függvény lokális szélsőérték helyén a görbéhez tartozó érintő párhuzamos az x tengellyel az érintő iránytangense nulla Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált zérushelyén a függvénynek nincs mindig szélsőértéke

Függvények menetének vizsgálata 1. Példa: pontban - a görbéhez húzott érintő az x tengely - az érintő az érintési pontban a görbét átmetszi - az pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő - az pont környezetében a derivált nem vált előjelet Az ilyen tulajdonságú grafikonpontot inflexiós pontnak, a grafikont az érintési pontban átmetsző érintőt inflexiós érintőnek nevezzük.

Függvények menetének vizsgálata 2. Példa: pontban - a görbéhez húzott érintő az x tengely - Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton csökkenő - Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton növekvő - az pont környezetében a derivált előjelet vált → a függvénynek lokális szélsőértéke van Általánosan:

Függvények menetének vizsgálata Tétel: Az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvénynek az intervallum x0 pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha f ‘(x0 )= 0. Ez a szélsőérték létezésének szükséges feltétele. Ha emellett az x0 pont környezetében a derivált még előjelet is vált, akkor az f(x) függvénynek az x0 pont környezetében lokális szélsőértéke van. A derivált előjelváltásának módjából a szélsőérték jellegére is következtethetünk. x x < x0 x = x0 x > x0 f ’(x) + - f(x) lokális maximum

Függvények menetének vizsgálata vagy x x < x0 x = x0 x > x0 f ’(x) - + f(x) lokális minimum

Függvények menetének vizsgálata A függvény deriváltjának és az inflexiós pont létezésének kapcsolata Bebizonyíthatók a következő tételek: Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x0 pontjában kétszer differenciálható, és f ‘’(x0 )= 0, valamint a második derivált előjelet vált, akkor az f(x) függvénynek az x0 helyen inflexiós pontja van. Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x0 pontjában háromszor differenciálható, és , akkor az f(x) függvénynek az x0 helyen inflexiós pontja van.

Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban kétszer differenciálható, és f ‘’(x ) > 0, akkor az f(x) függvény konvex, ha f ‘’(x ) < 0, akkor az f(x) függvény konkáv.

Függvények menetének vizsgálata A függvényvizsgálat célszerű lépései: értelmezési tartomány meghatározása zérushelyek kiszámítása a derivált meghatározása a derivált zérushelyeinek kiszámítása a táblázat elkészítése megvizsgáljuk, hogy páros-e, páratlan-e, periodikus-e stb… a függvény grafikonjának felvázolása

Példák függvényvizsgálatra 1. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Inflexiós pont inflexiós pont

Példák függvényvizsgálatra Páratlan függvény: a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra Az függvény vázlatos képe:

Példák függvényvizsgálatra 2. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek: Inflexiós pont: inflexiós pont

Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

Példák függvényvizsgálatra 3. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Inflexiós pont: inflexiós pont

Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

Példák függvényvizsgálatra 4. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

Példák függvényvizsgálatra 5. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

Példák függvényvizsgálatra Inflexiós pont: inflexiós pont Az függvény vázlatos képe:

Példák függvényvizsgálatra 6. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe: