RUGALMAS HULLÁMOK

Hooke féle közelítés Feltételezzük, hogy a feszültségek a deformációkkal egyenes arányban állnak. Ez a feltételezés idealizált közegnek felel meg. Ezt a közeget Hooke-féle közegmodellnek nevezzük.

Mit nevezünk feszültségnek ? A rugalmas felületre ható feszültséget a felületre ható erőből számítjuk ki. Van egy véges kiterjedésü felületünk. Erre hat egy F erő. A feszültség átlagos értéke a felületen az erő és a felület nagyságának a hányadosa. Egy adott pontban a feszültséget úgy értelmezzük, mint a hányados határértékét, miközben a felület egy ponttá zsugorodik össze.

A feszültség hatása egy adott felületre Rugalmas szilárd test belsejében egy tetszőleges P pontban ható erő által keltett feszültséget a P ponton áthaladó tetszőleges irányítottságú felületre vonatkoztatjuk. Jelölje n a felület normálvektorát. A feszültséget felbonthatjuk a normálvektor irányába és az erre merőleges irányba eső feszültségvektor összetevőkre. A normálvektor irányába eső feszültségvektort húzó, vagy nyomófeszültségnek nevezzük, a feszültségvektor n-re merőleges komponensei a nyírófeszültségek.

A feszültség hatása egy adott felületre Példa: Ha n iránya megegyezik F irányával, nyírófeszültségek nem lépnek fel.

A feszültségek felbontása Vegyünk egy, a koordinátatengelyekkel párhuzamos élű prizmát. A szilárd testek valamelyik szabad felszínén alkalmazott terhelés a többi szabad felületen mérhető hatással jár. Külső erő hatására a rugalmas test belsejében is feszültségek alakulnak ki. A feszültség a test belső pontjában közvetlenül nem mérhető. De: a külső felszíneken fellépő erők a belső reakció-erőkkel egyensúlyt tartanak. Ezek megmérhetők.

A feszültségek felbontása A prizma lapjain ható feszültségeket felbontjuk a lapra merőleges, normális irányú húzó-nyomó feszültségekre és a lapok síkjában ható nyíró feszültségekre.

A feszültségek felbontása Pxx, Pyy, Pzz – főfeszültségek, ezek a koordináta tengelyek irányába eső húzó, nyomó feszültségek. Pxy, Pxz, Pyx, Pyz, Pzx, Pzy – nyírófeszültségek (Pxy = Pyx, Pxz = Pzx, Pyz = Pzy) Hat független komponens egy szimmetrikus tenzor formájában is felírható, ezt nevezzük feszültségtenzornak.

A feszültségek felbontása Az egyes tengelyekre merőleges három felületelemre ható feszültségek komponensei : pxx pxy pxz pyx pyy pyz pzx pzy pzz A feszültség tenzor kilenc eleme nem független egymástól. Az ábrán látható térfogatelem z-vel párhuzamos tengely körüli forgásakor a forgást létrehozó forgatónyomatéknak egyenlőnek kell lennie az impulzusmomentum z komponensének idő szerinti deriváltjával. __________________ ahol ω a szögsebesség, paralelepipedon tehetetlenségi nyomatéka

Deformációk A rugalmas testben ébredő feszültségeket a deformációk okozzák A Hooke törvény (közelítés) azt mondja ki, hogy a fesszültség tetszőleges összetevője a deformáció lineáris függvénye

Deformációk A deformálható test egy P pontjának a helyzete a deformáció után : P‘ A P pont közelében elhelyezkedő Q pont új helyzete : Q’ A PQ és a P’Q’ távolság nem feltétlenül egyenlő. A deformációk leírásához az x, y, z irányú elmozdulások mindhárom térváltozó szerinti deriváltjára szükség van

Deformáció menyiségek Deformációk Jelölje az x irányú elmozdulást : u Jelölje az y irányú elmozdulást : v Jelölje a z irányú elmozdulást : w Deformáció menyiségek

Deformációk Az u, v, w elmozduláskomponenseket úgy definiáljuk, mint az x, y, z irányba eső felületrészek elmozdulását. Ezért mindhárom elmozduláskomponensnek lehetlehetséges, hogy van x, y, z szerinti nem nulla deriváltja.

Lamé féle állandók A mérnöki munkájuk tapasztalatait Lamé és társa, Clapeyron a „Sur l’equilibre interieur des corps solides homogénes” című, közösen írt és 1833-ban megjelentetett könyvükben összegezték. Ennek az 1833-as publikációnak Lamé által írt fejezeteiben bukkant fel először az a gondolat, amely az elmozdulás-módszerre építő rugalmasságtani megoldási technikához vezetett. A rugalmas anyagi viselkedés vizsgálata során ekkor még ő is (francia kortársaihoz hasonlóan) egyetlen egy anyagi konstanst használt.

Lamé féle állandók Rugalmasságtani vizsgálatait Lamé az1852-ben megjelent „Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides” (Bachelier) című könyvében összegezte. Ez volt az első könyv a világon, amely kifejezetten csak a szilárdságtan elméleti kérdéseire összpontosított és ebben az értelemben unikumnak számít. Ebben a művében már – Cauchy-val és Poisson-nal ellentétben – két konstanst használt a rugalmas anyagi viselkedés elméleti modellezésére (ezeket hívják ma a mechanikában Lamé-állandóknak). Kifejezetten bátor tett volt ez a részéről – Cauchy bírálta is érte –, mert még sokat kellett várnia a mechanikával foglalkozóknak, amíg a laboratóriumi kísérletek a század második felében végre igazolták a kétparaméteres modell helyességét.

Lamé-féle állandók Homogén, izotróp (minden irányban azonos módon viselkedő) közegben a feszültségek és a deformációmennyiségek kapcsolatát két állandó segítségével felírhatjuk. Ezek a Lamé féle állandók : λ és μ, ahol λ a méret változással, μ pedig a nyírás irányú változásokkal arányos. μ – t nyírási modulusnak is nevezik. Jelölje θ a relatív méret változást : Ekkor a Lamé féle összefüggés:

Rugalmassági állandók A rugalmas anyagi viselkedés leírására különböző kutatók 36 féle „állandót” vezettek be. Ezek egymással összefüggnek, egymásból általában kiszámíthatók. A szeizmikus kutatásban leggyakrabban használtak : Két Lamé féle állandó : λ és μ Inkompresszibilitási együttható : κ Young állandó : E Poisson állandó : σ

Rugalmassági állandók Inkompresszibilitási együttható : κ Azt mutatja meg, hogy mennyire összenyomhatatlan egy anyag egy minden irányból egyformán ható (hidrosztatikus) nyomás hatására. Ha egy elemi anyagmintára minden irányból egyforma nagyságú, p nyomás hat, akkor a normális feszültségek azonosak: pxx = pyy = pzz = p a nyírófeszültségek pedig eltünnek : pxy = pxz = pyz = 0 Ekkor a Δp minden irányból ható nyomásváltozás következtében fellépő θ relatív térfogatváltozás kapcsolatát a -Δp = κθ egyenlet írja le. A negatív előjel azt mutatja, hogy a nyomás növekedésével a térfogat csökken.

Rugalmassági állandók Young modulus : E egy hosszú, vékony rúd hosszirányú deformációját írja le, a hossztengelyében ható feszültség hatására. A pxx feszültségkomponens hatására fellépő εxx deformációmennyiség kapcsolata : E εxx = pxx A Young modulus a hosszirányú megnyúlást írja le.

Rugalmassági állandók Poisson állandó egy hosszú, vékony rúd oldalirányú deformációjának és hosszirányú megnyúlásának a hányadosát írja le, a hossztengelyében ható feszültség hatására. A hosszirányú deformációt keresztirányú deformáció kíséri. Húzás hatására az anyag keresztirányban összehúzódik, nyomás hatására keresztirányban kiterjed. Ennek relatív nyagyságát a σ Poisson állandó írja le. Az εxx hosszirányú deformációmennyiség és az εyy és εzz keresztirányú deformációmennyiségek kapcsolata : εyy = - σ εxx és εzz = - σ εxx A Poisson állandó a hossz és oldalirányú deformációk arányát írja le.

Rugalmassági állandók A hosszirányú megnyúlás és az oldalirányú összehúzódás következtében fellépő térfogatváltozás : θ = (1 - 2σ) ε Az előbbi egyenletekből κ, λ és μ egyszerűen kifejezhetők a Young állandó és a Poisson állandó segítségével. Az egyenletek gyakorlati jelentőségét az adja, hogy λ és μ a kőzetmintákon nem mérhető, a Young, illetve Poisson állandók viszont laboratóriumi mérésekkel egyszerűen meghatározhatók.

Young modulus A Young modulus az x irányú feszültség és a feszültség hatására létrejövő relatív megynyúlás hányadosa – dimenziója azonos a feszültség dimenziójával

Poisson állandó (Poisson ratio) A Poisson állandó az oldalirányú kiterjedés (vagy összehúzódás) és a relatív hosszirányú összenyomódás (vagy megnyúlás) hányadosa. A Poisson állandó egy dimenizótlan mennyiség.

Rugalmassági állandók Az előbbiekből látszik, hogy κ, λ, μ és E feszültség dimenziójú mennyiségek. A Poisson állandó, σ dimenziótlan mennyiség. σ = 0.5 tökéletesen összenyomhatatlan anyagnak felel meg. A kőzetek esetében σ értéke általában 0.25 és 0.4 között változik. λ és μ viszonya az előbbi egyenletekből : Ha σ=1/3 , ebből λ=2μ, míg, ha σ=1/4, ebből λ=μ következik.

Rugalmassági állandók A szokásos anyagoknál a Poisson-tállandó 0,1 és 0,4 közötti értéket vesz fel. Néhány anyag Poisson-tényezője: Alumínium: 0,33 Acél: 0,2-0,33 Beton: 0,2 Ólom: 0,45 Sárgaréz: 0,37 Üveg: 0,23 SiC: 0,17 Si3N4: 0,25

Rugalmassági állandók Néhány anyag Young modulusa Anyag Young modulus E (GPa) Gumi 0.01-0.1 Beton 30 Fémes magnézium 45 Üveg 72 Vas 192-210 Szén nanocső 1000+

Mozgásegyenlet Newton második axiómája : erő = gyorsulás x tömeg Vizsgáljuk a rugalmas közeg egy kis, Δx, Δy, Δz oldalhosszúságú prizmáját. Ennek tömege : ρ Δx Δy Δz, ahol ρ a prizmán belül állandónak feltételezett sűrűség. Amikor egy kocka alakú prizma egyensúlyi helyzete közelében viszonylag kis sebességgel mozog, gyorsulását azonosnak vehetjük az s elmozdulásvektor idő szerinti deriváltjával:

Mozgásegyenlet ERŐ Tételezzük fel, hogy a prizmára ható F erő kizárólag rugalmas feszültségekből származik. Vizsgáljuk az egyszerűség kedvéért kizárólag az F erő x irányú komponenseit. Általános esetben a prizma minden lapján van a feszültségnek x irányú komponense.

Mozgásegyenlet Jelöljük a feszültség tetszőleges komponensének értékét a test középpontjában „o” alsó indexszel. Ekkor az x tengelyre merőleges két lapon a feszültség x irányú komponensei : (1) (2) Az x irányba ható erő komponens a két feszültség különbsége, szorozva a lap ΔyΔz nagyságú feületével :

Mozgásegyenlet (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Mozgásegyenlet Az x irányba ható erőkomponens az y tengelyre merőleges két felületen: Az x irányba ható erőkomponens a z tengelyre merőleges két felületen: Az erő x irányú komponense:

Mozgásegyenlet A fenti egyenlet x irányú komponensébe beírva F x irányú komponensét : Hasonló gondolatmenettel felírhatjuk az y és z irányú komponenseket :

Mozgásegyenlet Korábban már láttuk a Lamé féle összefüggést. Ezeket felhasználva felírhatjuk a pxx, pyx és pzx feszültségkomponensek deriváltjait:

Mozgásegyenlet Az előbbiek segítségével a mozgásegyenlet x irányú komponense: Hasonló módon az y és z irányú komponenseket is előállíthatjuk. Vizsgáljuk meg azt a speciális esetet, amikor az y és z szerinti parciális deriváltak zérussá válnak. Ebben az esetben változás csak az x irányban történik. Ennek a szemléletes fizikai jelentése az, hogy a hullám x irányban terjed, és csak x irányú részecskemozgások vannak. Ez az úgynevezett longitudinális hullámnak felel meg.

Mozgásegyenlet Az u=u(x,t) elmozdulásra vonatkozó parciális differenciálegyenletet egydimenziós hullámegyenletnek nevezzük. Válasszunk egy u=u(k(x-αt)) alakú megoldást. Jelölje u” az u argumentuma szerinti második deriváltat. Ekkor a közvetett deriválás szabálya szerint az x és t szerinti parciális deriváltak:

Mozgásegyenlet Beírva ezeket az egydimenziós hullámegyenletbe, látszik, hogy az u függvény alakja és a k állandó is tetszőleges, (nem nulla), mert mindkét oldalon megjelenik. Ami marad : Mivel u az elmozdulás x irányú komponense és a terjedési irány is az x tengely iránya, az itt leírt hullámot longitudinális hullámnak nevezzük. Az itt szereplő α a longitudinális hullám sebessége.

Mozgásegyenlet Hasonló módon ferírhatuk az előbbi egyenletet az v és w elmozduláskomponensekre. Ekkor a hullámegyenlet alakja a következő lesz: Minkét egyenletet kielégíti a v = v(k(x-βt)), illetve a w = w(k(x-βt)) kétszer deriválható függvény, avval a feltétellel, hogy kell, hogy legyen. Az argumentumban szereplő β paraméter a transzverzális hullám terjedési sebessége.

P hullámok A longitudinális hullámot P hullámnak (P=primary) is szokás nevezni

S hullámok A transzverzális hullámot S hullámnak (S=secondary, ill. S=shear) is szokás nevezni

Felszíni hullámok : Rayleigh hullám A részecskék cirkuláris mozgást végeznek

Felszíni hullámok: Love hullám A részecskék keresztirányú mozgást végeznek, a felszínen mozognak legerősebben.

Longitudinális hullám ?