Síkhullámok visszaverődése és törése

Síkhullámok visszaverődése és törése

Síkhullámok visszaverődése és törése

Síkhullámok visszaverődése és törése Snellius-Descartes törvény A közegek határán az elmozdulásnak és a feszültségnek folytonosnak kell lennie. Ha az elmozdulás nem lenne folytonos, felszakadások és végtelen sűrűségű helyek alakulnának ki. Ha a feszültség nem lenne folytonos, végtelen nagy erők lépnének fel a határfelületen.

Síkhullámok visszaverődése és törése α – longitudinális hullám (P hullám) sebessége β - transzverzális hullám (S hullám) sebessége ρ – sűrűség Az x tengelyt vegyük fel a határon, a z tengelyt irányítsuk lefelé. Legyen a beeső hullám egységnyi amplitúdójú.

Síkhullámok visszaverődése és törése A beeső hullám a határon látszólagos sebességgel az x tengely pozitív iránya felé haladó hullámmozgást hoz létre. Tételezzük fel azt is, hogy k0 hullámszámú harmonikus síkhullám esett be.

Síkhullámok visszaverődése és törése Ekkor a részecskemozgás x, illetve z irányú komponenseit a határon a következő függvények írják le: A két komponens látszólagos terjedési sebessége azonos kell, hogy legyen, mert ugyanannak a részecskének a mozgás összetevői. k0 az x tengely mentén mért hullámszámot jelöli.

Síkhullámok visszaverődése és törése A visszaverődő P hullám látszólagos terjedési sebessége: Jelöljük a visszavert P hullám amplitúdóját rP-vel. A részecskemozgás x és z irányú komponensei: A z irányú komponens negatív előjele azt fejezi ki, hogy a terjedési irány vetülete a z tengely irányával ellentétes. k1P a visszavert P hullámnak az x tengelyen mért hullámszámát jelöli.

Síkhullámok visszaverődése és törése Vezessük be az előbbiekhez hasonlóan a visszaverődő S hullámra, továbbá az áthaladó P és S hullámra a látszólagos terjedési sebességeket:

Síkhullámok visszaverődése és törése Az áthaladó P és S hullámok amplitúdóit tp-vel és ts-sel jelölve, az előző megfontolásokkal azonos módon kapjuk a megfelelő részecske elmozdulásokat leíró egyenleteket.

Síkhullámok visszaverődése és törése A folytonossági feltétel miatt a részecske elmozdulások mindkét komponensének meg kell egyeznie a felső és az alsó közegben a határ két oldalán:

Síkhullámok visszaverődése és törése Az előbbi két egyenlőségnek minden x helyre és minden t időre érvényesnek kell lennie. Ez csak úgy oldható meg, ha az x és (külön) a t változók szorzói minden kifejezésben egyformák. Ebből következik, hogy:

Síkhullámok visszaverődése és törése Az első egyenletsor értelmében a visszavert és az áthaladó hullámok x tengely mentén mért hullámszámai megegyeznek a beeső hulláméval.

Síkhullámok visszaverődése és törése A második egyenőség sor éppen a törési törvényeket adja. Írjuk be a látszólagos sebességeket: Az egyes hullámok időbeli frekvenciáját is kiszámíthatjuk a fenti egyenlőségből: Ez azt jelenti, hogy a visszaverődés, illetve az áthaladás a réteghatáron nem változtatja meg a hullám időbeli frekvenciáját.

Síkhullámok visszaverődése és törése Vegyünk egy speciális esetet. Válasszunk olyan x és t párokat, melyekre Ezen az x helyen és t időben az összes argumentum 90o.

Síkhullámok visszaverődése és törése Egyszerüsítés: szorítkozzunk két folyadékközeg esetére. Folyadékban transzverzális hullámok nem terjednek, így csak két együtthatót kell meghatározni, az r reflexiós és a t transzmissziós együtthatókat. Mivel a folyadékrészecskék egymáson elmozdulhatnak, az u irányú elmozdulás folytonosságát nem kell megkövetelni. Nyírófeszültségek sem keletkeznek, emiatt a pxz feszültségkomponens a határ mindkét oldalán nulla. Marad két határfeltétel: ezek a w elmozduláskomponens és a pzz feszültségkomponens folytonosságát követelik meg. A felesleges rs és ts elhagyásával:

Síkhullámok visszaverődése és törése Folyadékban a nyíró komponensek eltűnnek, ezért: A beeső longitudinális hullámban a részecskemozgás két komponensét az x, z helyen és t időben a következő függvények írják le, ahol k a valódi hullámszámot jelöli:

Síkhullámok visszaverődése és törése A beeső hullám miatt fellépő pzz feszültség értéke tetszőleges x, z helyen, pzz előbbi definíciója alapján : A határon, z=0 esetén ebből a második tag kiesik. Ugyan ezt leírhatjuk a visszvert és az áthaladó hullám esetére is : Az első két pzz összegének azonosnak kell lennie a másik oldali (harmadik) pzz-vel.

Síkhullámok visszaverődése és törése Használjuk fel a már korábban megismert egyenlőségeket : valamint a folyadékokra érvényes kapcsolatot : Ekkor a pzz folytonosságát előíró egyenlet jelentősen egyszerüsödik :

Síkhullámok visszaverődése és törése A korábban felírt egyenletből, φ0 és φ1 azonossága miatt az r reflexiós és t transzmissziós együtthatók a következő alakúak lesznek :

Síkhullámok visszaverődése és törése Vezessük be a normál impedanciának, vagy más esetekben akusztikus impedanciának nevezett mennyiségeket : Ekkor a két együttható : A fenti összefüggés a P hullám amplitúdóviszonyait írja le, folyadék közegek esetére. A gyakorlati szeizmikus kutatások során ezeknek a képleteknek a φ = 0 esetére egyszerűsített változatát szokták használni.

Síkhullámok visszaverődése és törése 1919-ben Zoeppritz levezette és publikálta a longitudinális és transzverzális hullámokat is magába foglaló eddig ismert legteljesebb megoldást. A kiindulás : két homogén közeg határára beesik egy sík P-hullám, A0 amplitúdóval. A Zoeppritz egyenletek megadják mind a visszavert, mind az áthaladó P és a beeső hullám által gerjesztett S hullámok amplitúdóját.

Síkhullámok visszaverődése és törése

Síkhullámok visszaverődése és törése A Zoeppritz egyenleteket többen megpróbálták használható alakra hozni. A leegyszerüsített végeredmény a visszavert P hullám amplitúdójára ad meg egy formulát, miszerint az amplitúdó függ a beesési szögtől ( θ ) és a határos két réteg Poisson állandója ( σ ) közötti különbségtől. ahol r0 a merőlegesen (0 szögben) beeső hullám reflexiós együtthatója, ri pedig a θi szögben beeső hullámé. α a két rétegben a P hullám terjedési sebességének átlaga, Δα pedig a két sebesség különbsége. A0 a beeső P hullám amplitúdója. Ezeket a mennyiségeket becsülni tudjuk a mért szeizmikus hullám amplitúdója segítségével. Ezekből a Poisson állandó helyi változásai kimutathatók.

Síkhullámok visszaverődése és törése A folyadékok gyakorlatilag összenyomhatatlanok, Poisson állandójuk 0.5 közeli. A gázok majdnem teljesen összenyomhatók. Ezért Poisson állandójuk 0.0 közeli. Képzeljük el, hogy egy rétegben egyik helyről a másikra a pórustartalom folyadékról (vízről) gázra változik. Ha megvizsgáljuk a reflektált hullám amplitúdóját a beesési szög függvényében, a két hely között jeletős anomáliát fogunk találni. Ez felhasználható közvetlen pórustartalom becslésekre.

Síkhullámok visszaverődése és törése Az ábrán a vizszintes tengelyen a beesési szög látható, 0-tól 45 fokig. A függőleges tengely a hullám kétszeres terjedési ideje (lement és feljött) A pirossal jelölt zónában egy ismert gáztelep található.

Síkhullámok visszaverődése és törése Két példa a gázakkumuláció kimutatására.