Térbeli tartószerkezetek 6. Előadás Rúd-szerű térbeli rácsok

Rúd-szerű térbeli rácsok Jellemző szerkezetek: távvezeték-tartóoszlopok adótornyok tűztornyok kilátók darugémek daruhidak, szalaghidak sátorlefedések belső és külső árbocai Alapelv: Térbeli viselkedéshez minimum háromövű rácsos szerkezet szükséges. Leggyakoribb: négyövű rácsos tartó - egyszerűen csatlakoztatható más szerkezethez, - egyszerűbb szerkezeti kialakítás, - síkbeli rácsos tartókra visszavezethető az erőjátéka.

Hálózat felvétele -háromövű rács (3 rácssík) -négyövű rács (4 rácssík) -rácsos hengerek: (9 rácssík) Kialakítás szempontja: - nyomott rudak lokális kihajlását elkerülni; - szilárdsági teherbírását minél jobban kihasználni. A térbeli teherviseléshez legalább háromövű rácsos szerkezet szükséges. A leggyakoribb a négyzet befoglaló keresztmetszetű, négyövű rácsos tartó. Ennek kézenfekvő magyarázata, hogy - egyszerűbben csatlakoztatható más szerkezetekhez, - egyszerűbb a szerkezeti kialakítása, -szemléletesen visszavezethető a vizsgálata síkbeli rácsos tartó vizsgálatára. A hálózat felvételében a lokális rúdkihajlás megelőzése ugyanúgy elsődleges szempont, mint a síkbeli rácsos tartók esetén. Törekedni kell tehát arra, hogy a nyomott rudak szilárdsági teherbírását minél inkább ki tudjuk használni.

Keresztmetszet, rácsozás Befoglaló keresztmetszet - állandó, - lineárisan változó, - szakaszosan lineárisan változó. övrudak folytonosak Előny: - kevesebb kapcsolatra van szükség Hátrány: - statikailag határozatlan lesz mellékigénybevételek A rúdszerű térbeli rácsok befoglaló keresztmetszete lehet állandó, ill. változó. A változó befoglaló keresztmetszet legtöbbször a rúd tengelye irányában lineáris vagy szakaszosan lineáris változású, ily módon a szerkezet befoglaló formája csonkagúla, vagy egymásra épített csonkagúlák sorozata. Ez a kialakítás azért előnyös, mert lehetőséget ad arra, hogy az övrudakat folytonosan, ill. kevés számú töréssel átvezessük a csomópontokon, ami különösen a faszerkezetű rácsoknál nagy előny. A csuklók beiktatása nélküli övrúd kialakítás miatt fellépő csomóponti nyomatékok a rúd-szerű térbeli rácsokat voltaképpen statikailag határozatlanná teszik, de ezeknek a nyomatékoknak mellékigénybevételek, így kicsiny a közvetlen részvételük a „globális” teherviselésben. Jelentős szerephez jut viszont a rudak sarokmerevsége a rácsrudak lokális merevítésében (a rácsrudak kihajlási hosszának a csökkentésében), ill. a térbeli rácsostartó keresztmetszetének a merevítésében. A változó keresztmetszetű rúdszerű térbeli rácsok közismert példája a Lakihegyi Nagyadó. A legtöbb rúdszerű térbeli rácsban nagyságrendi a különbség az övrudakban, ill. az összekötő rácsozatban fellépő rúderők között. Emiatt lényeges a méretkülönbség az övrúdként, ill. összekötő rácsozatként alkalmazott rúdszelvények között. Gyakran alkalmaznak pl. acélszerkezetű rácsos rudak övrúdjaiként acélcsöveket vagy rácsos szerkezetet. Gyakori eset, hogy összekötő rácsozás átlós rúdjai a különböző irányú terhekből azonos nagyságú húzó- és nyomóerőt kaphatnak, és a kihajlás miatt nagyságrendi a különbség a húzás, ill. a nyomás felvételéhez szükséges rúdkeresztmetszet között. Ilyen esetben ún. alternatív rácsozást célszerű alkalmazni, ami átló-párok alkalmazását jelenti. A rudak számának megnövelése statikailag határozatlanná teszi a rácssíkokat, de ha feltesszük, hogy az adott elrendezésű teher esetén csak az az átló „dolgozik”, amelyben húzóerő működik, a rácssík továbbra is statikailag határozottnak tekinthető. - csomóponti nyomatékok (globális hatásuk kicsi), - sarokmerevség csökkenti a kihajlási hosszakat (hatása jelentős). térbeli merevséget ad a km-nek

Erőjáték Prizmatikus rácsos konzol: Rúderők meghatározása: - övsíkjait csuklós kapcsolatú rácsos tartók alkotják, - statikailag határozott, - csomópontjaiban terhelt. Rúderők meghatározása: - terhet a rácssíkokba eső komponensre bontjuk, - rácssíkokat a teherkomponensekkel, mint síkbeli tartót megoldjuk, - rácssíkok közös öveiben ébredő rúderőket összeadjuk. Megállapítások: - csomóponti teher csak azokban a rácssíkokban kelt igénybevételt, amelyben a csp. fekszik, - a terhelt csp. és a befogás között keletkeznek igénybevételek. Alakváltozások vizsgálata: - csp.-ra ható erő, nem csak a csatlakozó rácssík deformációját okozza, - deformáció a terhelt csomópont fölötti szakaszra is kiterjed. Megállapítás: - megváltozik a rácssíkok által közrefogott térrész alakja. Ha egy rácssíkokból összetett, prizmatikus kialakítású rácsos konzol övsíkjait csuklós kapcsolatú, statikailag határozott hálózatú rácsok alkotják, akkor maga a rácsos konzol is statikailag határozott erőjátékú. Ez lehetőséget ad arra, hogy a csomópontjain terhelt térbeli rácsos tartó rúderőit a következő lépésekben határozzuk meg: - első lépésben minden csomóponti terhet a csomópontot tartalmazó rácssíkokba eső komponenseire bontunk, - a rácssíkokat a rájuk jutó teherkomponensek figyelembevételével síkbeli rácsos tartóként megoldjuk, (a csatlakozó övek vonalába eső teherkomponenseket csak az egyik övsík terheként vesszük figyelembe!), - a rácssíkok közös öveiben ébredő rúderőket összeadjuk. A fenti számítást végiggondolva a következő érdekes megállapítást tehetjük: a rácsos konzol egy-egy kiválasztott csomópontján működő külső erő csak abban a két rácssíkban kelt rúderőt, amelynek csatlakozási vonalában a kiválasztott csomópont fekszik, de ezekben a rácssíkokban is csak a csomópont és a befogás közötti zónában ébred rúderő. A statikailag határozott rácsozású rúdban tehát meglehetősen egyenetlen a rúderő-eloszlás, ami gyakorlati szempontból nem tekinthető előnyös tulajdonságnak. További érdekes megállapításra juthatunk, ha – legalább gondolatban – elvégezzük a rács alakváltozásainak vizsgálatát. (Egy-egy rácspont eltolódásainak meghatározására a munkatételek adnak egyszerű lehetőséget.) Ez a vizsgálat azt mutatja, hogy egy-egy kiválasztott csomóponton működő külső erő nemcsak a csomóponthoz csatlakozó rácssík deformációját okozza, hanem az ezekkel szomszédos rácssíkokét is, és – szemben a rúderőkkel – a deformáció a rácssíkoknak a terhelt csomópont fölötti szakaszára is kiterjed. A csomópontok elmozdulása jellemzően olyan, hogy megváltozik a rácssíkok által közrefogott térrész keresztmetszetének az alakja, mégpedig annál erősebben, minél távolabb fekszik a keresztmetszet a befogástól.  A statikailag határozott rácsozású rúdnak ez a sajátos viselkedése valóban összefüggésbe hozható a közrezárt keresztmetszet deformálhatóságával, és alapvetően megváltozik, ha a közbezárt keresztmetszetet valamilyen módon – térátlók alkalmazásával vagy a csuklós csomópontok befogássá alakításával merevebbé tesszük. A rúdserű érbeli rácsos tartó közbezárt keresztmetszetének merevségét a következő vizsgálat világítja meg. Minél távolabb fekszik a befogástól, annál nagyobb mértékben. egyenlőtlen igénybevétel-eloszlás Keresztmetszet deformálhatósága

Négy övű konzol erőjáték 4 övű rácsos konzol: - statikailag határozott hálózatú, - csomópontjait ideális csuklónak tekintjük, - teher hatásvonalába eső rudakban keletkezik rúderő, - rácsrudak rugalmas viselkedését feltételezve, - rugalmas összenyomódás a teher alatt, - de! rúdvégi elfordulások minden csp.-ban, melyek felfelé egyre nőnek. - az elfordulások létrejöttéhez ideális csuklókat kellene kialakítani, amit a valóságban nem lehet, - tehát a valós szerk. erőjátéka eltér az ideális csuklókkal számított eredménytől. Ha a rács csomópontjait ideális csuklóknak tekintjük, a szerkezetben az a. ábrának megfelelő teher hatására csak az erő hatásvonalába eső rácsrúd-sorban ébred rúderő. A rácsrudak rugalmas viselkedésének a feltételezésével meghatározva a szerkezetnek ehhez a teherhez tartozó alakváltozását (az a. ábrán piros vonallal jelölve), azt találjuk, hogy bár rugalmas összenyomódás csak az említett övrúd-sorban alakul ki, jelentős, fölfelé növekvő nagyságú rúdvégi elfordulások alakulnak ki a rács összes csomópontjában. Ahhoz, hogy ezek az elfordulások létre tudjanak jönni, a csomópontokban ideális csuklókat kellene kialakítani. Erre a gyakorlatban nincs lehetőség, emiatt viszont a rács rúderő-rendszerének is el kell térnie az ideális csuklókat feltételező számítás eredményeitől.

Négy övű konzol erőjáték 4 övű rácsos konzol: - statikailag határozott hálózatú, - csomópontjait ideális csuklónak tekintjük, - rúderő: rácssíkokra redukálás módszere szerint, 2 rácssíkban ébred erő, - alakváltozás: a fenti rúdnégyzet átlóban hosszváltozás, - ha meggátoljuk a rövidülést rúd beiktatásával (statikailag határozatlanná tesszük), jelentősen változik az erőjáték! a teher fele „áttevődik” az átellenes csp.-ra, - pótrúddal statikailag határozatlanná téve a rácsot az erőjátéka közelít a merev keresztmetszetű rúdéhoz. rövidül hosszabbodik Ha a terhelő erőt a b. ábra szerint, a legfelső rácsnégyzet átlójának az irányában vesszük fel, a csuklós kapcsolatú rácsos tartó megoldása szerint csak azokban a rudakban ébred rúderő, amelyek a terhelt csomóponthoz csatlakozó rácssíkban fekszenek. Az is belátható, hogy ha a szerkezetet nem a legfelső rácsszinten terheljük, a terhelt rácsszint fölötti összes rúd feszültségmentes. Az alakváltozások vizsgálata azt mutatja, hogy jelentős elmozdulások lépnek fel azokban a csomópontokban is, amelyekhez feszültségmentes rudak csatlakoznak. Ezek hatására pl. a legfelső rúdnégyzet egyik átlója megrövidül, a másik meghosszabbodik. Ha azonban a legfelső négyzet átlójának a megrövidülését a c. ábrán piros vonallal jelzett rúd beillesztésével meggátoljuk, a szerkezet erőjátéka drámai mértékben megváltozik: a terhelt csomópontot terhelő erő fele mintegy „áttevődik” az átellenes csomópontra, emiatt a korábbi maximális övrúderő mintegy felére csökken, és hasonló nagyságú, de ellentett előjelű rúderő lép fel az átellenes övrúd-szakaszban. Hasonló változást eredményez az is, ha a d. ábra szerint a másik átló hosszváltozását akadályozzuk meg. A szerkezet jó közelítéssel ekkor is úgy viselkedik, mintha a sarokpontban működő terhelőerő fele átkerülne az átellenes csomópontba. Kiterjeszthető további rácsrudak beillesztésére jelentős új eredményt nem hoz Statikailag határozatlanná téve bevonhatók eredetileg feszültségmentes rudak is a teherviselésbe

Erőjáték Több rudat bevonunk a teherviselésbe Statikailag határozott statikailag határozatlan - pót-rudakat iktatunk be - sarokmerevvé tesszük a csomópontokat - ha merevebbé tesszük a rácsos rúd körbezárt keresztmetszetét - rácsos szerkezet erőjátéka közelít a merev keresztmetszetű rudak erőjátékához. Több rudat bevonunk a teherviselésbe csomópontok relatív elmozdulásának meggátlása relatív szögfordulások meggátlása Erőjáték nagyban függ a rácsos szerkezet km-i alaktartóságától. A körbezárt keresztmetszet merevnek tekinthető: - csp.-ban terhelt rácsos tartó helyett nyomott-hajlított-csavart rúd számítása - normálerőből és hajlításból csak az övrúdban keletkezik erő, - nyírásból, csavarásból a rácsozásban keletkezik erő. Nem a hagyományos rácsos síkra redukálásra van szükség. Ezt a vizsgálatot ki lehet terjeszteni további rácsrudak beillesztésére, de ez nem hoz lényegesen új eredményt: azt állapíthatjuk meg, hogy ha a hálózatot megfelelően elhelyezett rudakkal statikailag határozatlanná tesszük, ezzel azokat a rácsrudakat is bevonhatjuk a teherhordásba, amelyek statikailag határozott hálózat esetén feszültségmentesek. Ez a hatás annál jelentősebb, minél hatékonyabban gátolhatja a beillesztett pótrúd (vagy pótrudak) a statikailag határozott erőjátékú rács csomópontjainak relatív elmozdulását. Mivel konzolszerű rácsos rudaknál ezek a relatív elmozdulások a megfogástól távolodva növekednek, a legerősebb hatást éppen a fenti c. és d. ábrának megfelelően elhelyezett pótrúddal érhetjük el. Ezeknek a rudaknak a hatékonysága szemléletesen azzal magyarázható, hogy merevé teszik a rácsos rúd keresztmetszetét, ezáltal a rácsos rúd erőjátéka közeledik a merev keresztmetszetű rudak elmélete alapján feltételezhető erőjátékhoz. Hasonló a hatása van a rács erőjátékára annak is, ha a keresztmetszet merevségét nem többlet-rudak elhelyezésével, hanem sarokmerev kapcsolatok alkalmazásával növeljük. Ez szintén statikailag határozatlanná teszi a szerkezetet. A sarokmerev kapcsolatok azzal merevítik a keresztmetszetet, hogy gátolják a statikailag határozott tartó erőjátékához tartozó csomóponti szögforgások kialakulását. Ezzel a pótrudakhoz hasonló hatékonysággal csökkentik különbséget a csomóponti teherkomponensekkel közvetlenül terhelt, ill. nem terhelt rácssíkok teherviselése között. Ennek eredményeként a térbeli rácsos tartó „globális” erőjátéka a rúdszerű teherviseléshez közeledik. Ez vizsgálat azt mutatja tehát, hogy a statikai határozatlanság kiegyenlítő hatása „globálisan” a közbezárt keresztmetszet alaktartóvá válásában jelentkezik, és a statikailag határozott törzstartó terheletlen rácssíkjainak részvétele a teherviselésben jórészt attól függ, hogy feltételezhető-e ez az alaktartóság, vagy nem. Ha a rácsozás és/vagy a csomópontok kialakítása olyan, hogy a rácsos oszlop közbezárt keresztmetszete merevnek tekinthető, a terheknek a rácssíkokra való redukálása helyett lényegében az általános elrendezésű teherrel terhelt, nyomott-hajlított-csavart rudak számításánál alkalmazott vizsgálat gondolatmenetét követhetjük. Ennek megfelelően a rács csomóponti terheit a térbeli terhelésű helyettesítő rúd szilárdsági tengelyére redukáljuk, majd meghatározzuk helyettesítő rúd igénybevételeit. A rácsrudakban ébredő erőket ezek alapján az igénybevételek alapján a zárt keresztmetszetű, nyomott-nyírt-hajlított-csavart rudak vizsgálatára kidolgozott eljárás szerint számíthatjuk ki. Feltehetjük, hogy a normálerőből és a hajlító nyomatékokból csak az övrudakban keletkeznek rúderők, amelyeket úgy határozunk meg, mintha a vizsgált helyen a rúd „dolgozó” keresztmetszetét csupán az övrúdak keresztmetszetei alkotnák. Az öveket összekötő rácsozat rúderőit a nyíróerőkből és a csavarónyomatékból számíthatjuk úgy, hogy a nyíróerőt a rácssíkokkal párhuzamos összetevőire bontjuk, majd ezekhez hozzáadjuk a közbezárt keresztmetszetre ható csavaró nyomatékból a Bredt-féle formula alkalmazásával számított nyírófolyamnak a rácssíkok szélességére eső részét. A következő lépésben ezekből a rácssíkokra eső nyíróerőkből a síkbeli rácsos tartóknál megismert módszerekkel számíthatjuk az összekötő rudakban fellépő rúderőket. - nyíróerőt a rácssíkokkal párhuzamos összetevőkre bontjuk, - csavarónyomatékból Bredt képlettel nyíróerőt számolunk

Három övű tartó erőjáték 3 övű rácsos tartó: - körbezárt keresztmetszet mindig merevnek tekinthetők, - statikailag határozott szerkezetek esetén sincs lényeges különbség merev rúd feltételezése és a rácssíkokra való redukálással végzett számítás között. Tangenciális igénybevételek meghatározása: - erő irányába eső rácssíkban ható nyíróerő - mindhárom rácssíkban nyírást keltő csavarónyomaték együtteséből áll Terhek rácssíkra redukálása Hasonló lépésekben lehet a háromövű rácsos tartó megoldását is elvégezni. A lényeges különbség az, hogy itt a befoglalt keresztmetszet minden esetben merevnek tekinthető, így statikailag határozott rácsozású szerkezetnél sincsen lényeges különbség a terhek rácssíkokra való redukálásával, ill. a merev keresztmetszetű rúd feltételezésével végzett számítás eredményei között. A rácsos tartót helyettesítő rúd tangenciális igénybevételeit a nyíróerővel párhuzamos rácssíkban közvetlenül nyírást keltő nyíróerő, ill. mindhárom rácssíkban nyírást keltő csavarónyomaték együtteseként, (felső ábra,) ill. a rácssíkokra bontott komponenseikkel (alsó ábra) helyettesíthetjük. Legcélszerűbb eljárás: 1. terheket a rácssíkokra redukáljuk 2. síkbeli szerkezetként megoldjuk a rácsos tartókat 3. övrudakban összegezzük a rúderőket célszerű statikailag határozott síkbeli rácsozást alkalmazni

Három övű tartó erőjátéka Gyakori eset: Különböző irányú erőkből azonos nagyságú nyomó és húzóerők keletkezhetnek Kihajlás miatt nagy a különbség a húzott és nyomott rudak szükséges km-e között „alternatív” rácsozás alkalmazása átló-párok alkalmazása statikailag határozatlan húzott pótátlósként statikailag határozottként számítható. 3-nál több öv esetén: Ideális rácsos tartó számítás valós erőjáték (mellékigénybevételek) nagyon nagy a különbség Vierendeel modell alkalmazandó statikai és építés szempontjából optimális hálózat: - egyszerű geometria (építés) - statikailag határozatlan hálózat

Faszerkezetű tornyok Legtöbb szerkezet: - acél - mérnöki faszerkezet húzott fakapcsolatok kialakítása nehéz - acél kapcsolóelemeket alkalmaznak - húzott elemként acél elemeket Cél: - húzóerő felvétele - olyan sajátfeszültségi állapot, melyben a fa elemek nyomottak lesznek - 4 övű; - stat. határozott - faszerkezetű - tűztorony - övek: nagy fa oszlopok - rácsozás: nyomatékkal is terhelt fa elemek - harangtorony alakú - óratorony - rendezettséget sugall - erőjáték tiszta - 3 övű; - faszerkezetű - antennatorony - övek: rétegelt ragasztott fa - K rácsozás: nyomatékkal nem terhelt fa elemek Nem rácsos tartó szerű viselkedés példája

Acélszerkezetű tornyok - 3 ővű - szimmetrikus rácsozású - Antennatorony - nagy különbség az övrudak és rácsrudak között - 4 övű - statikailag határozott - távvezetékoszlop - Csuklós kapcsolatú szerkezetek „tiszta” erőjátékát közelíti. - Eiffel-torony mintjára - Tokyo-torony - Eiffel-toronynál magasabb - tömege 40%-kal kisebb

Felhőkarcolók merevítése Leghatékonyabb, ha a merevítőrács körbefogja az épületet Nehéz a külső megjelenéssel összhangba hozni esztétikus megoldás nem esztétikus megoldás ALCOA Building Hancock Tower, Chicago (1970.) 30 St Mary Axe, („az Uborka”) London. (N. Foster, 2004)

Pathfinder Mars-szonda kamerája Merevítő rendszerek Homlokzatban elhelyezett merevítőrács lehetőségei: Alátámasztás elhagyása Nagy csavarómerevség biztosítása További szerkezetek: Deployable structures - összecsukhatók - szétnyitás után veszik fel végleges alakjukat Sanghai, Ipari centrum (Terv) Nanocsövek: - szénatomokból fölépülő 2~20 nm átmérőjű óriásmolekulák Pathfinder Mars-szonda kamerája - előnyös tulajdonságaik jórészt sajátos „szerkezeti kialakításukhoz” kötődnek - zöld és piros gömbök a szerkezetet alkotó Szénatomok (sarokmerev kapcsolatok)

Rácsos hengerek Rúdszerű viselkedésű rácsoknál nem korlátozzuk a rács síkok számát 3 vagy 4-re. 9 rácssíkból álló szerkezet - egyrétegű, - statikailag határozott, - oszlopos rácsozású - rácshengernek erőjáték követhető rudaknál megismert módon nem igazi rúdrács függőleges síkú lamellák statikailag határozott hálózatú síkbeli rácsos tartó külső terhek rácssíkokra redukálása síkbeli rácsos tartó megoldások egyesítése

Rácsos hengerek „visszabontás” módszere Alternatív rácsrúderő meghatározás: „visszabontás” módszere Alapja: - egyes rácskoszorúk önmagukban is statikailag határozottak 1. lépés: felső koszorú erőinek meghatározása. 2. lépés: átadódó erőkből az alatta lévő koszorú erőinek számítása. teljes rács erőjátékát meghatározhatjuk erőjáték hasonlít a membránhengerre Függőleges erők csak egy alkotóban keltenek erőt mint a peremen terhelt membránhéjban.

Rácsos hengerek oszlopos rácsozású hengert szimmetrikus rácsozású hengerré alakíthatjuk koszorúpontok odébb- húzásával rácssíkok megszűnnek statikailag határozott - csp. száma - támaszok száma - rudak száma nem változott. viselkedés gyökeresen megváltozik egy koszorút vizsgálva: páratlan oldalszám alaktartó hálózat páros oldalszám nem alaktartó hálózat sajátfeszültséggel sem stabilizálható

Rácsos hengerek páratlan oldalszámnál sem hasonlít a viselkedés az oszlopos rácsozásra pl: függőleges erő nem csak 1 alkotóban okoz erőt exponenciálisan szétterjed a teljes szerkezetben magyarázat: nem konvex szerkezet kellemtelen viselkedés csökkenthető: Viselkedés inkább egymásra állított forgási hiberboloidokra hasonlít Melyek peremgyűrűkkel adják át a terheiket egymásnak. - Csp-ok merevvé tételével ennek ellenére sem szerencsés szerkezet

Rácsos lamella-kupolák Szerkesztési elvet módosíthatjuk: különböző sugarú körökbe írt sokszögekkel kialakított rácskoszorúkat alakítunk ki Szimmetrikus és oszlopos rácsozású lamella-kupolák - rácskoszorúként megoldható rácsfelületek - viselkedés - erőjáték: inkább forgáshéjakra, mint rudakra emlékeztet Statikai határozottságával, ill. labilitásával kapcsolatban ugyanaz a kettősség mutatható ki, mint a szimmetrikus hálózatú rácshengerek esetében

Rácsos lamella-kupolák Külső határvonalát is a rácshoz tartozó n oldalú rácspoligonnak tekintjük, a rács alaktartóságához és statikai határozottsághoz perempontonként két megtámasztó rúd szükséges. 2n megtámasztás szükséges és elegendő bezárhatjuk a kupolák felülvilágítóját háromszög rácsozással középső csp. nem csak 3 rúddal statikailag határozatlan (n-3) szorosan határozott tehető: külső csomópontok két rúddal való megtámasztását 3 hely kivételével egy rúddal való megtámasztásra cseréljük

Háromszög hálózatú rácsfelületek Vizsgáljuk meg hogyan szerkeszthető egy megfelelően választott felülethez illeszkedő, alaktartó, ill. statikailag határozott erőjátékú térbeli rácsfelület. Kiindulás: a csuklók száma: c = 4, a lapok száma l = 4 , a rudak száma r = 6 geometriailag és statikailag határozott újabb csp-ok szerkesztése: tetraéder-rács Alapelv: Couchy poliéder-tétel: minden zárt, konvex poliéder alaktartó új csp. beiktatása, új rudakkal új rudak + régi megtörése 1 új csomópont 3 új rúd háromszögek száma 2-vel több bizonyítható teljes indukcióval: c + l = r + 2 egyszeresen összefüggő zárt poliéderre r + 6 = 3 c csak háromszög poliéderre csuklós kapcsolatú térbeli rácsos tartó belső statikai határozottságának szükséges hálózati feltétele

Háromszög hálózatú rácsfelületek Föppl tétele: minden csuklós kapcsolatú, zárt, konvex háromszög-poliéder hálózatú térbeli rács belsőleg statikailag határozott ha a hálózat fejlesztésnél figyelünk rá, hogy a hálózat megőrizze a konvexitását 6 kapcsolórúd segítségével a merev alzathoz kapcsolva statikailag határozott szerkezetté válik. Háromszög hálózat tetszőleges konvex felületre illeszthető statikailag határozott marad Konvexitás helyre állítása: rúdcserével

Háromszög hálózatú rácsfelületek - Ha 1 pontot végtelen távol viszünk - ezeket rudakkal összekötjük - ezt a csp-ot 3 rúddal megtámasztjuk - a felületet még további 3 rúddal megtámasztjuk statikailag határozott szerkezet Feltétel: r + 6 = 3 c Statikailag határozott megtámasztású, háromszög-hálózatú rácshéj Bebizonyítottuk: Bármely görbült felületre szerkesztett konvex háromszög-hálózatú rácsot a perempontjain egy-egy függőleges irányú kapcsolórúddal a merev alzathoz rögzítve, továbbá a peremet három nem egy pontban összemetsződő vízszintes (vagy ferde) rúddal megtámasztva statikailag határozott, héjszerű erőjátékú térbeli rácsot kaphatunk.

Geodetikus gömbi hálózatok Legismertebb alkalmazások: gömbre szerkesztett háromszög hálózatú rácsok Gömb szabályos geometria szabályos háromszög hálózattal fedjük be Lehetséges szabályos sokszög hálózatok melyek gömbre illeszkednek - szabályos háromszöghálózat összesen három található: a szabályos tetraéder, az oktaéder és az ikozaeder hálózata, - négyzethálózat csak egy van: a kocka (hexaéder) hálózata, - szabályos ötszöghálózat egy van: a pentagon-dodekaéder hálózata, - szabályos hatszöghálózat egyáltalán nincs Gömbre szerkesztett szabályos poliéder-hálózatok még ez is túl ritka tényleges hálózathoz u.n. Platon-féle szabályos test hálózatok

Geodetikus gömbi hálózatok Be kell érni kevésbé szabályos hálózattal - a szabályos gömbi hálózatok ún. alosztásai, - elforgatási szimmetriájú hálózatok, - vetületben szabályos hálózatok. ikozaéder sűrítésével szokás előállítani geodetikus kupolának nevezzük R.B. Fuller elneveze szerint - 1967-es Montreali Világkiállítás pavilonja - 80 m átmérőjű - 65 m magas geodetikus gömbkupola Fuller nevét őrzik az elemi szén gömbös elrendezésű allotróp kristályai, a fullerének.

Hálózatsűrítés lehetőségei Alosztással történő hálózatsűrítés élközép szerinti sűrítés lapközép szerinti sűrítés vegyesen alkalmazva az előző kettő többszöri alkalmazással tetszőlegesen sűríthető a hálózat Háromszög hálózatú kupola stabilizálása Belső ráccsal (duális vagy „reciprok” hálózattal) háromszög lapokat tetraéderré egészítik ki szomszédos tetraéderek 4. csúcsait összekötik Duális hálózaton: - minden rácssokszögnek 1 csomópont felel meg - minden csomópontnak egy rácssokszög felel meg

Háromszög hálózat – duális hálózata Gold Dome. Oklahoma (US). (B. Fuller, 1958.) Eden Garten, Cornwall (UK), (MERO, 1999-2001.)