Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot a G gráf illeszkedési mátrixának nevezzük, ha bij=1, ha a j-ik él az i-ik ponthoz illeszkedő hurokél. Irányítatlan esetben az él kezdő és végpontjánál is 1 a mátrix elem.

Példa e1 e2 e3 e6 e4 e5 e7 e8 v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8

Tétel Az n pontú c összefüggő komponensből álló, hurokélmentes irányított gráf illeszkedési mátrixának rangja n-c. Összefüggőség irányított gráfban: az éleket irányítás nélkül tekintjük, és akkor ugyanaz, mint irányítatlan esetben. Bizonyítás Ha c > 1, akkor komponensenként sorolva fel a pontokat és éleket, B(G) blokkdiagonális szerkezetű lesz. C1 C2 Cc Elég tehát egy p pontú összefüggő komponensre belátni, hogy a neki megfelelő blokk rangja p-1.

Egy ilyen blokk sorainak száma p, és a sorok összege (0,0,…,0), mert minden oszlopban pont egy +1 és egy -1 áll. (nincs hurokél, minden élnek pontosan egy kezdő és egy végpontja van, és ezek különbözőek): a rang tehát legfeljebb p-1 Legyen F egy feszítőfa ebben a komponensben: p-1 élű. Legyen v1 az F egy elsőfokú pontja, e1 a hozzá illeszkedő él. Ekkor (F - {v1}) is egy fa, legyen v2 egy elsőfokú pontja és e2 a hozzá illeszkedő él. Általában, vi+1 legyen az (F - {v1,v2,…,vi}) fa egy elsőfokú pontja, ei+1 a hozzá illeszkedő él. Ha a blokk sorait v1,v2,…,vp sorrendben soroljuk fel, az oszlopait pedig az e1,e2,…,ep-1 felsorolással kezdjük, akkor a mátrix megfelelő p x p-1-es része a következő alakú: Azaz p-1 lineárisan független oszlopot tláltunk.

Tétel Vegyünk a p pontú összefüggő hurokél mentes irányított G gráf illeszkedési mátrixában p-1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisn függetlenek, ha a megfelelő p-1 él G egy feszítőfáját alkotja. Bizonyítás Az előző tétel szerint, ha fa, akkor lineárisan független. Tegyük fel, hogy van egy kör, azaz az e1,e2,…,er élek kört alkotnak ebben a sorrendben. a,b,c,d,e{-1,1} e1 e2 e3 e4 e5 v1 v2 v3 v4 v5 Az e1,e2,…,er éleknek megfelelő oszlopokban a többi elem 0.

a2 -e2 = -a2+b2=…= -d2+e2=0 Legyenek az oszlopok u1,u2,…,ur, a diagonálisban álló elemek a1,a2,…,ar. Ekkor a1u1+…+arur=0. A feszítőfához tartozó p x p-1-es részmátrix bármely sorát elhagyva a maradék determinánsa 1, ugyanis minden esetben pontosan egy nemnulla kifejtési tag van.

Tétel Hagyjunk el a G összefüggő p pontú gráf illeszkedési mátrixából egy tetszőleges sort. A keletkező B0 mátrixból képzett B0·B0T mátrix determinánsa éppen a G feszítőfáinak száma. elhagyott sor A bizonyításhoz használjuk: Tétel(Binet, Cauchy) Ha M egy p x r-es, N egy r x p-es mátrix (ahol pr), akkor az M·N mátrix determinánsa ahol Mi az M valamely p oszlopából, Ni pedig N ugyanazon sorszámú soraiból áll, és a szummázás az összes lehetséges p elemű oszlophalmazra történik.

Példa B0-ból p-1 oszlopot kivéve, ponosan a feszítőfának megfelelők determinánsa lesz nem nulla, mégpedig ±1. B0T megfelelő soraiból álló részmátrix pont ennek transzponáltja, azaz a determinánsa ugyanaz, azaz a kettő szorzata +1. Pontosan annyi +1-et adunk össze, ahány különböző feszítőfa van.

Ha B0·B0T =(dij), akkor dij meghatározható Ugyanis B0 i-ik sorát szorozzuk a j-ik sorával, hogy dij-t kapjuk. Ezt felhasználjuk Cayley tételének újabb bizonyításához.

Az n pontú teljes gráfra

Körmátrix Ha a G irányított gráf egy 2 pólusú alkatrészekből álló hálózat kapcsolási gráfja (irányítás: mérőirányok), akkor Kirchoff csomóponti törvényei (áram egyenletek) a B(G)·i=0 alakban irhatók, ahol az i vektor elemei az egyes alkatrészek áramai. Kirchoff feszültség egyenleteit a körmátrix segítségével lehet leírni: C·u=0 Írjuk elő minden egyes kör "körüljárási irányát" (tetszőlegesen, majd rögzítsük.) Ha G-nek k darab köre van, akkor C(G)=(cij) egy k x i-es mátrix, melyre cij=0, ha a j-ik él nem része az i-ik körnek, cij=1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányába mutat, cij=-1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányával ellenkező irányba mutat .

Megjegyzés A szomszédsági és az illeszkedési mátrixok izomorfia erejéig meghatározzák a gráfot. A körmátrix nem, például egy síkbarajzolható gráf két különböző (nem izomorf módon) lerajzolt duálisának ugyanaz a körmátrixa. Általában két gyengén izomorf gráfnak ugyanaz a körmátrixa, ha a körüljárási irányokat megfelelően jelöljük ki. Tétel Az n pontú, e élű, c komponensű irányított gráf körmátrixának rangja e - n + c.

Tétel Tekintsünk a p pontú, e élű összefüggő irányított gráf körmátrixában e - p + 1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a megfelelő e - p + 1 él a G egy feszítőfájának komplementere.

Vágásmátrix A körmátrixhoz hasonlóan definiálható: Minden vágás egy komponenst vág szét X1 , X2 részhalmazokra. Egy (u,v) él irányítása megegyezik a vágással, ha u X1 és v X2, ellentétes vele, ha u X2 és v X1. Tétel Legyen B, C és Q rendre egy hurokélmentes irányított gráf illeszkedési, kör-, illetve vágásmátrixa. Tegyük fel, hogy oszlopaik ugyanabban a sorrendben felelnek meg G éleinek. Ekkor B·CT=0 és Q·CT=0.

Vegyük észre, hogy B·CT=0 következik Q·CT=0-ból Vegyük észre, hogy B·CT=0 következik Q·CT=0-ból. B részmátrixa Q –nak, hiszen az egy pontra illeszkedő élek vágást alkotnak. Q CT zij Vi Kj e1 e2 ... em e1 e2 em A zij elem meghatározásánál nem 0 szorzat a Vi vágás és a Cj kör közös éleinél van.

Egy szorzat az +1, ha az él irányítása a vágásban és a körben is megegyezik a vágás, illetve a kör irányításásval, vagy mindkettőben ellentétetes. Vi -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 Egy szorzat az -1, ha az él a vágás és a kör egyikével azonos, a másikkal ellentétes irányú. -1 -1 Tehát +1, ha a kör és a vágás ugyanolyan irányban „halad át” az élen, -1, ha ellentétes irányban. Ezek száma egyenlő, mert a kör pont ugyanannyiszor halad a vágással szemben, mint vele egy irányban.