1. Bevezetés a waveletekhez (folytatás) Speciálkurzus 2009 tavasz

Matematikai alapok (folytatás) Lineáris algebra, lineáris tér Függvényterek, ortogonalitás Fourier transzformáció, DFT, FFT Lineáris rendszerek, konvolúció Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

Fourier transzformáció A folytonos Fourier transzformáció (CFT) ω a körfrekvencia, t az idő, az integrálás az f(t) jel ill. F(ω) transzformált teljes értelmezési tartományára vonatkozik

CFT, frekvencia változó Az ω helyett a ν frekvencia változóval szimmetrikus egyenleteket kapunk: ω = 2πν

Ablakfüggvény, CFT A Π(t) ablakfüggvény CFT-je a sinc(f) függvény (most f a frekvencia): ω = 2πf

CFT, tulajdonságok linearitás: eltolás (fázis változás):

Fourier transzformált nagysága és fázisa nagyság és fázis: F(ω) = nagyság{F(ω)} e-i fázis{F(ω)} I(ω) = nagyság{F(ω)2} Φ(ω) = fázis{F(ω)} Φ(ω) Re Im F(ω) √I(ω)

Konvolúció tétel a konvolúció CFT-je a tényező függvények CFT-inek szorzata

Lineáris időinvariáns rendszerek a rendszert jellemzi a g(t) impulzusválasz vagy a G(ω) frekvencia átviteli függvény.

Diszkrét Fourier transzformáció, DFT Mintavételezés hatása a spektrumban (‘aliasing’, átlapolódás)

DFT, mintavételezési tétel A mintavételezési frekvencia legalább kétszerese legyen a jelben előforduló legnagyobb frekvenciának (Nyquist frekvencia). Ekkor nincs átlapolódás:

Mintavételezett ablak, Dirichlet kernel A Π(t) ablakfüggvényt mintavételezzük – a transzformáltja a sinc(f) függvény analógiája – a Dirichlet kernel (magfüggvény). A frekvencia folyamatos (0, 0.5) között

DFT, véges jelsorozat A mintavételezett jelsorozat térben korlátozott kiterjedésű – ez egy levágó ablak alkalmazásának felel meg. Eredmény: spektrális ‘szivárgás’, a spektrum elkenődése

DFT transzformált pár N db. mintát veszünk a jelből mind az idő- mind a frekvencia tartományban. Ez a diszkrét Fourier transzformáció: Műveletigény: N2 db. komplex szorzás, N(N – 1) db. komplex összeadás

FFT, 2D DFT Műveletigény: A diszkrét transzformáció műveletigénye csökkenthető ~N2 -ről, N log2N –re: ez a gyors Fourier transzformáció (FFT) Két dimenzió esetén először az adattömb sorait, majd az eredmény oszlopait transzformáljuk: 2D FFT

Sztochasztikus folyamatok, idősorok, stacionaritás Sztochasztikus folyamat – realizációk E{xn} : realizációkra vett átlag

Stacionárius folyamatok, ergodicitás Stacionárius folyamat: statisztikai jellemzők t-től nem függnek pl. az átlag: Tágabb értelemben stacionárius folyamat (WSS): statisztikai jellemzők csak az idő eltolástól (t – τ ) függnek Ergodikus folyamat: a realizációkra vett átlagot helyettesíthetjük az idő szerinti átlagokkal

Fehérzaj (WN) A fehérzaj kifejezés nem ír le egyértelműen egy sztochasztikus folyamatot!

Sztochasztikus folyamatok spektrálanalízise Penc, KGO permanens GPS állomás magassági koordináta adatsora (cm)

Fourier transzformált nem létezik Diszkrét idősor spektruma (–½, ½) intervallumra: –½ ≤ f ≤ ½ az alábbi módon állíthatjuk vissza: xn most sztochasztikus folyamat – a FT nem létezik!

... helyette van a PSD (teljesítmény spektrum) egy keskenysávú sáváteresztő szűrő Sx(f) a jel PSD (teljesítmény sűrűség) spektruma

PSD másik definíciója Sx(f ) az Rx(t) autokorreláció Fourier transzformáltja: inverz transzformáltját véve:

Fehérzaj PSD a fehérzaj autokovariancia függvénye a Dirac-féle delta függvény (disztribúció) számszorosa, s2(t) a PSD: a folytonos fehérzaj fizikai értelemben fikció – nincs végtelen energiájú sztochasztikus folyamat!

Szűrt folyamat PSD-je a konvolúciós szűrés egyenlete szerint a szűrt y(t) jel: ahol g(t) a szűrő impulzus átviteli függvénye (magfüggvénye) Ha ismerjük Sx(f )-et, akkor számíthatjuk Sy(f )-t

Idősor PSD-je diszkrét Fourier transzformációk határértéke Alternatív definíció az autokovariancia függvény segítségével: –½ ≤ f ≤ ½

Spektrum (PSD) becslése adatok alapján a sztochasztikus folyamatból nem végtelen, hanem csak N db. mintával rendelkezünk a valódi spektrum helyett egy olyan spektrumot kapunk, amely a valódi spektrum és a Dirichlet-féle magfüggvény konvolúciója – az egzakt dekonvolúció (kijavítás) lehetetlen végső soron egy olyan függvényt akarunk meghatározni, amely több ismeretlentől függ mint ahány mérésünk van ez inverz feladat, rosszul kondicionált! A megfelelő közelítést adó eljárás megtalálása jó hozzáértést és tapasztalatot kíván

Spektrum (PSD) periodogram becslése torzítatlan, de inkonzisztens becslés a becslés szórása Sx(f )2, azaz megegyezik magával a becsléssel!

Spektrum (PSD) periodogram becslése

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei Yule-Walker egyenletek Maximum Entropy Spectral Estimation (MESE) Welch módszer (szekció átlagolás) Multitaper módszer

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei 62 Hz-es szinuszhullám, amelynek amplitúdója –75 dB.

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei Átlagolás nélküli és Welch-féle szekció átlagolással meghatározott spektrumok

Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei Welch-féle ablakfüggvénnyel meghatározott spektrum és adaptív DPSS multitaper spektrum