6. Wavelet spektrumok, többváltozós CWT Speciálkurzus 2009 tavasz.

Az előadások a következő témára: "6. Wavelet spektrumok, többváltozós CWT Speciálkurzus 2009 tavasz."— Előadás másolata:

1 6. Wavelet spektrumok, többváltozós CWT Speciálkurzus 2009 tavasz

2 2 További témák Kereszt PSD, wavelet kereszt-spektrum, koherencia Wavelet reprodukáló magfüggvény Többváltozós folytonos WT

3 3 Vektor értékű idősor Adott egy vektor értékű x n idősor (n = 1, …, N) x n = (x n1, x n2 ) –nek az R kovariancia mátrixa: Ekkor az S(f) PSD mátrix: itt S 21 (f) = S 12 *(f) (* : komplex konjugált)

4 4 Kereszt PSD, koherencia S 12 (f) a kereszt PSD: A K(f) koherencia (0 ≤ K(f) ≤ 1) az f frekvencián levő lineáris kapcsolatot méri x 1 és x 2 között. Ha x 2 az x 1 lineáris szűrővel előállított változata, akkor K(f) ≡ 1

5 5 Időeltolás Ha x 2 az x 1 d-vel eltolt változata, x n2 = x n-d,1 + N n akkor az eltolás értékét a Φ(f) fázis spektrum meredeksége adja: ∂ f Φ(f) = d Általánosságban, a fázis spektrum méri az f frekvencián x 2 fáziskésését (phase lag) x 1 –hez képest.

6 6 Szakirodalom C. Torrence, G. Compo (1998): A Practical Guide to Wavelet Analysis, Bull. Am. Met. Soc., 79, 61-78 C. Torrence, P. Webster (1999): Interdecadal Changes in the ENSO-Monsoon System, J. Clim., 12, 2679-2690 A. Grinsted et al. (2004): Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series, Nonlin. Proc. Geoph., 11, 561-566 D. Maraun, J. Kurths (2004): Cross wavelet analysis: significance testing and pitfalls, Nonlin. Proc. Geoph., 11, 505-514

7 7 Wavelet kereszt spektrum Adott két idősor: x n és y n ; W n x (s) W n y (s) a WT-jaik A wavelet kereszt-spektrum (wavelet cross spectrum, WCS) WCS n xy (s) = E {W n x (s) W n y* (s)} E{. } várható érték ahol W n y* (s) a W n y (s) komplex konjugáltja () A WCS n xy (s) komplex : WCS n xy (s) = |WCS n xy (s)| e iΦ n (s) amplitúdó: |WCS n xy (s)| fázis: Φ n (s) A Φ n (s) fázis mutatja meg az időkésést a két jel között a t n időpontban és az s skálán – ez vektorként is ábrázolható

8 8 Wavelet koherencia Normalizált idő- és skála felbontású mérőszám két idősor (x n és y n ) kapcsolatának jellemzésére a wavelet koherencia (WCO) Ez a WCS amplitúdója a két önálló WPS-el (wavelet power spectrum) normalizálva: ahol a WPS n (s) = E { W n (s) W n (s)* }. Az 1 érték itt is lineáris kapcsolatot jelez az x n és y n között az adott időben és skálán, a 0 érték a korreláció hiányára utal. A várható érték képzése fontos: nélküle a WCO mindig 1.

9 9 Wavelet kereszt spektrum - csapdák A WCS a két jel együttes teljesítményét méri – ez félrevezető lehet: ha pl. az egyik spektrum helyileg sima és a másiknak jelentős csúcsai vannak, a WCS is csúcsai lesznek, aminek semmi köze sincs a két idősor kapcsolatához A WCS tehát alkalmatlan a két idősor kapcsolata szignifikáns voltának vizsgálatára nézzünk egy példát… Matlab csomag: sowas (D. Maraun) http://tocsy.agnld.uni-potsdam.de/wavelets/software.html

10 10 Wavelet kereszt spektrum - csapdák Nino3 SST (tengerfelszín hőmérs.): Indiai monszun csapadék (AIR): WCS kereszt spektrum:

11 11 Ugyanez fehérzajjal… Normál eloszlású fehérzaj (WGN): Nino3 és WGN kereszt spektrum:

12 12 Wavelet koherencia Nino3 SST – AIR koherencia: mindenütt 1 – mert nincs skála/idő átlagolás!

13 13 Wavelet koherencia simítással Nino3 SST – AIR koherencia: skála simítás: 1 oktáv, idő simítás: 3 periódus minden skálán

14 14 Wavelet koherencia és fázis Nino3 SST – AIR koherencia és fázis: SST siet SST késik

15 15 Wavelet szignifikancia teszt Többszörös teszt (Lehmann, 1986): Ha az (1 – α ) szinten tesztelünk, definíció szerint α % szinten elvetjük H 0 -t még akkor is, ha az fennáll Ha megismételjük a tesztet sok független realizációra, akkor az eredmények kb. α % -ában hamisan szignifikáns eredményeket kapunk Torrence és Compo tesztje tipikus példa a többszörös tesztre. A skála/idő tartományt pontonként teszteljük, viszont a szomszédos pontok korreláltak (az ún. reprodukáló magfüggvény szerint). Ezért a hamis pozitív eredmények mindig összefüggő foltokként jelentkeznek.

16 16 Fehérzaj - példa 90 %-os (pontonkénti) szignifikancia szint hamis szignifikáns foltok

17 17 Fehérzaj - példa 90 %-os (területi és pontonkénti) szignifikancia szint

18 18 Wavelet skála/idő korreláció A Fourier-analízis esetében a fehérzaj korrelálatlan a szomszédos frekvenciákon Ez a wavelet-analízisre már nem igaz x(t): folytonos fehérzaj Folytonos WT: két időben szomszédos pont korrelálatlan:

19 19 Wavelet skála/idő korreláció A CWT korrelációja két különböző s 1 és s 2 skálán és két különböző t 1 és t 2 időpontban: beírva a W(s, t) definícióját, E{. } linearitása miatt ha x(t) fehérzaj volt, akkor C(.) arányos a wavalet K(.) ún. reprodukáló magfüggvényével

20 20 Wavelet reprodukáló magfüggvénye A CWT reprodukáló magfüggvénye: Egy r(s, t) csak akkor WT, ha az reprodukáló tulajdonság teljesül

21 21 Morlet wavelet reprodukáló magfüggvénye A Morlet wavelet esetében: A korrelációval a szignifikancia vizsgálatnál számolni kell!

22 22 Két változós CWT Két (térbeli) dimenzió esetén x = (x, y), és az f(x) skalár értékű jelet elemezzük. Térbeli frekvencia tartomány (Fourier domain): k = (u, v) vagy k = (k x, k y ) (k a térbeli frekvencia) 2D CWT: b = (b x, b y ): eltolás paraméter (2D) a : skála paraméter (1D) θ : forgatási szög (1D) a skalár jel 4D-s leképezése

23 23 Frekvencia tér – skála/forgatás tér A térbeli frekvencia tartomány k = (u, v) egy az egyben leképezhető a skála/forgatási térre: (a, θ) |k| = a -1 és θ = arctg (v / u) |W ψ f(a, θ, b)| 2 az f jel energiasűrűsége, egyben tér- frekvencia energiasűrűség, tehát a CWT a jel fázistérbeli ábrázolásának tekinthető 2D CWT ábrázolása négy változót jelent: 2D → 4D, néhány változót meg kell kötnünk, célszerűen: 1.helyzeti ábrázolás: (a, θ) rögzített 2.skála-szög ábrázolás: b rögzített

24 24 2D Morlet wavelet skála = 1, változó θ

25 25 2D Morlet wavelet skála = 0.5, változó θ

26 26 2D Morlet wavelet skála = 0.2, változó θ

27 27 2D Morlet wavelet skála = 0.1, változó θ súlypontja (frekvencia)

28 28 2D CWT alkalmazásai földi radarral észlelt óceán hullámok elemzése (Chuang et al., 2008, Ocean Engineering 35, 1039-1051 anizotróp 2D Morlet wavelettel elemzett szimulált hullámtér

29 29 2D CWT alkalmazásai

30 30 2D CWT alkalmazásai Ausztrál DEM (Kirby 2005, Computers & Geosciences 31, 846-864) cwt2d.f Fortran90 + Matlab szoftver Melyik wavelet reprodukálja leginkább a Fourier spektrumot?

31 31 2D CWT alkalmazásai Izotróp Fan wavelet

32 32 Ausztrál DEM 2D CWT különböző waveletekkel