GNSS elmélete és felhasználása A helymeghatározás matematikai megoldása. A kiegyenlített koordináták transzformálása.

Tartalom Az elmúlt órákon áttekintettük: - a GNSS műholdak pályaszámítását; - a méréseket terhelő szabályos hibákat; - a helymeghatározási módszereket és a hozzájuk kapcsolódó közvetítőegyenleteket; - a különféle lineáris kombinációkat; - a ciklustöbbértelműség feloldásának kérdéseit. Mai teendőnk: - a helymeghatározás matematikai megoldásának áttekintése: hogyan kapjuk meg a hálózati pontok koordinátáit a méréseinkből? - a kiegyenlített koordinátákat hogyan tudjuk beilleszteni az országos hálózatba (koordináta-trnaszformáció)

A matematikai megoldás menete Rendelkezésünkre állnak a közvetítőegyenletek (pl. az AB bázisvonalra, illetve j,l műholdakra felírt kettős különbségekre: A kettős különbségeket, mint fiktív mérési eredményeket, felírhatjuk az összes lehetséges független kombinációban (pl. több műholdra végzett észlelések esetére). Ezt követően meg kell találnunk a paraméterek legvalószínűbb értékét, amely a kettős különbségekhez rendelt javítások súlyozott négyzetösszegét minimalizálja! Legkisebb négyzetek módszerén alapuló kiegyenlítés! Ezt követően meghatározzuk a paraméterek kiegyenlített értékét (pl. koordináták), valamint azok kovariancia-mátrixát is.

Kérdések a megoldással kapcsolatban Hogyan vegyük fel a fiktív mérési eredményeket leíró súlymátrixot? Hogyan kezeljük a hálózatban végzett méréseket (több műszer együttes észlelésének feldolgozását)?

A különbségek korrelációja Meg kell különböztetnünk kétféle korrelációt: - fizikai (pl. ugyanazon műholdra, de más pontokon végzett észlelések) - matematika (a fázistávolságok különbségképzése során kialakuló korrelációs kapcsolatok leírása) Csak az utóbbival foglalkozunk, mivel feltesszük, hogy a fázismérések csak véletlen jellegű hibával terheltek (az összes szabályos hibát már figyelembe vettük), amelyeknek a várható értéke 0, a varianciája pedig  2. Vezessük be a fázistávolságok vektorát (  ). Feltéve, hogy a fázismérések azonos pontosságúak, felírhatjuk, hogy:

Az egyszeres különbségek korrelációja Legyen két mérésünk (A és B pontokon) a j műholdra, t időpontban. Ekkor az egyszeres különbség: Ugyanezen két pontban a k műholdra az egyszeres különbség: A két egyszeres különbséget felírhatjuk mátrixos alakban is: ahol:

Az egyszeres különbségek korrelációja Írjuk fel az egyszeres különbségekre a hibaterjedés törvényét: mivel: így: mivel:

Az egyszeres különbségek korrelációja Azaz: Ebből látszik, hogy - az egyszeres különbségek függetlenek egymástól; - az egységmátrix mérete az egyszeres különbségek számától függ.

A kettős különbségek korrelációja Legyen 3 műholdunk (j,k,l), amelyek közül a j lesz a referencia-műhold. Végezzünk észleléseket A és B pontokból a t időpontban mindhárom műholdra, majd írjuk fel a kettős differenciákat: Ugyanez mátrixos alakban: ahol:

A kettős különbségek korrelációja A kettős különbségek kovarianciamátrixa tehát: Behelyettesítve az egyszeres különbségek kovarianciamátrixát: Elvégezve a mátrix-szorzást: Ebből látszik, hogy a kettős különbségek már korreláltak!!!

A súlymátrix előállítása kettős különbségekre A súlymátrix a kovarianciamátrix inverze (két kettős különbségre, ugyanazon epochában): n D műholdra ugyanabban az epochában (t):

A súlymátrix előállítása kettős különbségekre A súlymátrix előállítása több epochára (t 1,t 2,…,t n ): A súlymátrix tehát egy blokk-diagonál mátrix, ahol az egyes blokkok mérete eltérő lehet a kettős különbségek számának függvényében.

Abszolút helymeghatározás kódmérésekkel A Kódmérések közvetítőegyenlete k ponton j műholdra végzett kódmérés esetére: A javítási egyenletet a fenti egyenlet átrendezésével kaphatjuk:

Abszolút helymeghatározás kódmérésekkel A javítási egyenlet egyetlen műholdra: A javítási egyenletek n db műholdra mátrixos alakban: ahol:

Abszolút helymeghatározás fázismérésekkel A fázistávolságok közvetítőegyenlete: A javítási egyenlet: vagy:

Abszolút helymeghatározás fázismérésekkel A javítási egyenlet mátrixos alakban: ahol: Mindkét esetben azonos súllyal végezhetjük el a kiegyenlítést, de akár valamilyen magasságfüggő súlyozás is elképzelhető.

Rel. helymegh. fázismérésekkel (kettős különbségek) A kettős különbségek közvetítőegyenlete: vagy röviden:

Rel. helymegh. fázismérésekkel (kettős különbségek) A javítási egyenlet (egyetlen műholdpárra és két pontra): Vegyünk pl. 4 közös műholdat (ebből egyet kiválasztunk referenciaként, így 3 kettős különbség képezhető):

Rel. helymegh. fázismérésekkel (kettős különbségek) Vegyük észre, hogy egyetlen epochában végzett méréseknél a probléma nem megoldható! Figyeljük meg, hogy itt N értéke is ismeretlen! Első lépésben a kiegyenlítésből meghatározzuk, majd elvégezzük a ciklustöbbértelműség feloldását, aztán már csak  x,  y,  z lesz az ismeretlen.

Hálózatkiegyenlítés Az előbbiekben láthattuk, hogy pl. relatív helymeghatározás esetére (egyetlen AB vektorra), hogyan írhatóak fel a közvetítőegyenletek, illetve a javítási egyenletek. Nézzük meg, hogy a kiegyenlítést hogyan hajthatjuk végre különböző esetekben: - Bázisvonalankénti feldolgozás; - valódi hálózatként történő kiegyenlítés.

Bázisvonalanként történő feldolgozás Használjuk a legkisebb négyzetek módszerét a kiegyenlítésre! Már felírtuk a javítási egyenleteket (relatív helymeghatározás két pont között, kettős különbségek feldolgozásával): A legkisebb négyzetek módszere szerint oldjuk meg az alábbi szélsőérték-feladatot: Hogyan vegyük fel a súlymátrixot? - kódtávolságok, illetve fázistávolságok feldolgozásánál: a mérések függetlenek, így a súlymátrix egy egységmátrix; - egyszeres különbségek feldolgozásánál (a vevőórahiba nem esik ki!): a mérések függetlenek, így a súlymátrix egységmátrix; - kettős különbségek esetén (a vevőórahiba is kiesik!): a mérések korreláltak, így csak olyan súlymátrix vehető fel, amely a korrelációt figyelembe veszi.

Bázisvonalanként történő feldolgozás Korábban már levezettük a kettős különbségek kovarianciamátrixát, illetve a súlymátrixot is: ahol:

Bázisvonalanként történő feldolgozás A megfelelő súlymátrix felvétele után az ismeretlen paraméterek meghatározhatóak a legkisebb négyzetek módszerével: Hogyan dolgozunk fel egy egész hálózatot (ahol nem csupán egyetlen vektort mérünk)? A bázisvonalanként történő feldolgozás esetén minden bázisvonalat (vektort) egyenként, egymástól függetlenül feldolgozunk, így meghatározzuk a vektort alkotó pontok közötti koordinátakülönbségeket. N pontból álló hálózat esetén ez összesen vektor feldolgozását jelenti, amelyekből csak (N-1) vektor független egymástól.

Bázisvonalanként történő feldolgozás A bázisvonalanként történő feldolgozás előnyei és hátrányai: Előny: - A fölös vektorok felhasználhatóak a poligonzárások ellenőrzéséhez; - Más-más mérési periódusban meghatározott ugyanazon két pont közötti vektor külön megoldásként fog szerepelni az eredményekben (ellenőrzési lehetőség pl. pontraállási hibára v. antennamagasságmérésre); - A különböző mérési periódusokban meghatározott vektorok együtt kiegyenlíthetőek; Hátrány: - az egyidőben mért vektorok közötti korrelációt elhanyagolja ez a megoldás (minden bázisvonalat egymást követően, külön-külön dolgoz fel). - valamivel pontatlanabb eredményre vezet, mint az együttes feldolgozás.

Többpontos együttes kiegyenlítés Az egész mért hálózatot egyben egyenlítjük ki, ezáltal figyelembe van véve a vektorok közötti korreláció is. Nézzük meg ezt az esetet a kettős különbségeket felhasználva: - az ABC háromszögben (A pont a referencia); - j,k,l,m műholdakra végzett észlelések (j a referencia-műhold); - egyetlen epocha (t) Összesen (n r -1)(n s -1) különböző kettős differencia írható fel az észlelésekből. Esetünkben n r =3, n S =4, így 6 különböző kettős differencia állítható fel.

Többpontos együttes kiegyenlítés A 6 különböző kettős különbség: Mátrixos alakban felírva:

Többpontos együttes kiegyenlítés A variancia-kovariancia mátrix: Ami az alábbi egyszerűsített alakra hozható: Kifejtve: Láthatjuk, hogy a különböző kettős különbségek korreláltak! A súlymátrix levezethető a var-kov mátrix inverzeként:

A bázisvonalankénti, illetve többpontos feldolgozás összevetése Általában a bázisvonalankénti kiegyenlítés egyszerűbben megvalósítható (kisebb memóriaigény, egy-egy lépésben kevesebb változó), valamint könnyebb a mérési hibák azonosítása és kiküszöbölése (pl. antennamag. mérés, pontraállás). A többpontos kiegyenlítés figyelembe veszi a vektorok közötti korrelációt is, és jobban használható a ciklusugrások javítására. Általában a nagypontosságú feldolgozásoknál a többpontos módszer használandó (pl. Bernese), míg a mérnöki gyakorlatban elterjedt feldolgozószoftvereknél a bázisvonalankénti feldolgozás terjedt el. Így elő tudtuk állítani a hálózati pontok X,Y,Z koordinátáit a WGS-84 rendszerben.

Térbeli koordináták átszámítása elkülönült vízszintes és magassági rendszerekbe A kapott koordinátákat át kell transzformálnunk az országos rendszerbe: - elkülönült vízszintes és magassági hálózat; - helyi dátum (pl. HD-72) eltér a WGS-84 ellipszoid méreteitől és elhelyezésétől is; Ismernünk kell azonos pontokat mindkét rendszerben (pl. OGPSH). A transzformált koordináták dimenziója szerint megkülönböztethetünk egy-, két-, illetve háromdimenziós transzformációkat.

Transzformációs eljárások Háromdimenziós transzformációk: Térbeli hasonlósági transzformáció; Térbeli polinomos transzformáció. Kétdimenziós transzformációk (pl. a helyi rendszerben csak síkkoordináták adottak): síkbeli hasonlósági transzformáció; ellipszoidi vetületek alkalmazása; azimutokból és távolságokból álló hálózat számítása kétlépcsős modell alkalmazása Egydimenziós transzformáció (magasságmeghatározás): magasságok transzformálása geoidmodell segítségével

3D transzformációk – a térbeli hasonlósági transzformáció Az ellipszoid geometriai középpontjában definiált térbeli derékszögű koordinátarendszerek közötti kapcsolatot állítjuk elő. WGS-84, ETRS, ITRS rendszerekben ez egyértelmű, hiszen eleve ilyen koordinátákat kapunk. Hogyan lehet előállítani ugyanezt a helyi (országos) rendszerben? H LS (Y,X) LS (X,Y,Z) GPS h=H, vagy h=H+N ( , ) LS ( ,  h) LS (X,Y,Z) LS Geoid modell 3D transzformáció

3D transzformációk – a térbeli hasonlósági transzformáció

ahol: 7 transzformációs paraméter -> minimum 3 közös pont szükséges a paraméterek meghatározásához.

3D transzformációk – a térbeli hasonlósági transzformáció A transzformációs paraméterek meghatározása A közvetítő egyenletek mátrixos alakja: A közvetítő egyenlet nem lineáris, ezért linearizálni kell. Feltételezzük, hogy az elfordulások kicsinyek, így:

3D transzformációk – a térbeli hasonlósági transzformáció Így az alábbi javítási egyenletrendszert írhatjuk fel (minden azonos pontra): ahol: A legkisebb négyzetek módszerével a 7 paraméter kiegyenlített értéke (és azok középhibái) is meghatározhatóak.

3D transzformációk – a térbeli hasonlósági transzformáció A maradék ellentmondások: - a paraméterek meghatározása után az azonos pontok transzformált koordinátái is kiszámíthatóak (X LS * ) - a transzformált koordináták és az eredeti (helyi rendszerbeli) koordináták különbsége adja a transzformáció maradék ellentmondásait pontonként: A transzformált és az eredeti ponthely távolsága:

3D transzformációk – a térbeli hasonlósági transzformáció A transzformáció középhibája (3D): Ha transzformáljuk a maradék ellentmondásokat a topocentrikus koordinátarendszerbe, akkor a vízszintes és a magassági középhibákhoz juthatunk: A transzformáció középhibája (2D):A transzformáció középhibája (1D):

3D transzformációk – a térbeli hasonlósági transzformáció A térbeli hasonlósági transzformáció jellemzői: - A hasonlósági jelleg miatt nem enged torzulásokat. Emiatt nagyon hasznos a közös pontok durva ellentmondásainak feltérképezéséhez. - Szükség van a vetületi egyenletek ismeretére. Ez okozhat problémát az EOV esetében. - Mivel a térbeli koordináták a vetületi torzulásokat nem tartalmazzák, a modell nagyobb munkaterületen is alkalmazható. - Oda-vissza átszámítási lehetőség (paraméterek azonosak, csak ellentétes előjelűek – ha kicsinyek az elforgatások) - minden közös pontra mindhárom koordinátát ismernünk kell (vagy feltételezéssel élhetünk pl. a magasságra vonatkozóan)

Köszönöm a figyelmet!