Számítógépes algebrai problémák a geodéziában Készítette: Zaletnyik Piroska

Bevezetés Joseph L. Awange, Erik W. Grafarend: Solving Algebraic Computational Problems in Geodesy and Geoinformatics, Springer, 2004 Geodéziai, geoinformatikai feladatok → nem lineáris algebrai problémák megoldása Számítógépes algebrai szoftverek ismerete (Mathematica, Maple, Matlab) Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása → többnyire egyenletek linearizálása, nem zárt képletek, nem egzakt megoldás

Nemlineáris, többváltozós egyenletrendszerek megoldása n=m → zárt formulával megoldható Gyakorlatban közelítő numerikus módszerek a megbízható, egzakt eljárások nehézkessége miatt Linearizálás, iterációk, közelítő kezdeti értékek felvétele Bizonyos esetekben a numerikus módszer instabil, vagy a kezdeti értékek rossz becslése miatt nem konvergál

Hagyományos megoldás hiányoságai Részleges megoldásban használt linearizálás során az egyenlet gyökeinek megtalálásában vétett kis hiba, a számítások kiterjesztésekor a teljes megoldásra, nagymértékben növekedhet A nem lineáris hatásokat figyelmen kívül hagyja Többnyire iteráció szükséges Nagyon fontos a helyes kezdeti érték felvétel

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása zárt képletekkel Számítógépek teljesítményének növekedése, algebrai szoftverek Egzakt eljárások kidolgozása: Gröbner bázisok, Buchberger algoritmus, multipolinomiális rezultáns, Sylvester rezultáns, Macaluay, Strumfels formulák Alapelv: többváltozós nemlin. egy. rsz.-nél a változók számát egyre lecsökkentik, innen egyszerű gyökkeresés (pl. roots parancs)

Túlhatározott egyenletrendszerek Egzakt megoldások keresése n=m esetében Ill. egzakt megoldás, amikor n>m Több mérés, mint ismeretlen (pl. 7 paraméteres koordináta transzformáció) Megoldás: Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus

Gröbner bázisok eredete Zárt képletek nemlineáris többváltozós egyenletrendszerek megoldására W. Gröbner javasolta 1949-ben, tanítványa Buchberger dolgozta ki részletesen 1965-ben (közben tőlük függetlenül 1964-ben Hironaka is alkalmazta ugyanazt) Buchberger nevezte el Gröbner bázisnak az alkalmazott formulát

Gröbner bázisok Nemlineáris, többváltozós egyenletrsz-ek „legnagyobb közös osztói” Lineáris egyenletrendszerek Gauss eliminációs megoldásával analóg eljárás

Gröbner bázisok f1=0, f2=0

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

Sylvester rezultáns Kétváltozós, homogén polinomok esetében

Sylvester rezultáns

Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus Általában több a mérés, mint az ismeretlenek száma Lineáris egyenletrendszer esetében alkalmazható a legkisebb négyzeteken alalpuló, lineáris Gauss-Markov modell Nem lineáris esetben linearizálás szükséges, megfelelő kezdeti értékek felvétele és iteráció

Gauss-Jacobi kombinatorikus modell Nem szükséges linearizálni Nincs szükség iterációra Minden paraméter variancia-kovariancia mátrixa számításba vehető Ki lehet szűrni a durva hibás méréseket n>m esetben alkalmazható

Gauss-Jacobi kombinatorikus modell Pl. ívmetszés (síkban) kettőnél több mért távolsággal

Gauss-Jacobi kombinatorikus Pl. 3 mért távolság → 2 szükséges az egyértelmű megoldáshoz Minden 2-es kombináció (jelen esetben 3) kiválasztása, megoldása pl. Gröbner bázisok segítségével Gauss: megoldás súlyozott számtani közép (súlyok távolságok négyzetétől függenek) Tőle függetlenül Jacobi is kitalálta a módszert (súlyok: determináns négyzete) Gauss-Jacobi: megoldandó kérdés maradt a nemlineáris egyenletrendszerek esete

Gauss-Jacobi kombinatorikus modell

Gauss-Jacobi kombimatorilus modell Lineáris esetben a megoldás megegyezik a lineáris Gauss-Markov modellel Ellenkező esetben a variancia-kovariancia mátrix meghatározható nem lineáris hibaterjedési törvények alkalmazásával Végeredmény a speciális lineáris Gauss-Markov modellel számítható (az egyenletek linearizálására csak a variancia-kovariancia mátrix levezetésekor van szükség)

Gauss-Jacobi kombinatorikus megoldás

Nem lineáris egyenletrendszerek megoldása

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás Nemlineáris hibaterjedési törvények → variancia-kovariancia mátrix → súlyok számítása a megoldáshoz A maradék eltérések nagyságrendileg azonosak mind a lineáris Gauss-Markov modell, mind a kombinatorikus Gauss-Jacobi modell esetében Ha a felhasználó a hagyományos lineáris kiegyenlítést választja, a Gauss-Jacobi megoldás akkor is jól használható a kezdeti értékek jó megválasztásához, a gyors konvergáláshoz

Egyéb alkalmazások Hátrametszés 2 és 3 dimenzióban is Előmetszés 3 dimenzióban is GPS meteorológia (pl. refrakciós szögek meghatározása, CHAMP adatok elemzése) 7 paraméteres koordináta transzformáció Durva hiba szűrés

Összefoglaló A bemutatott módszerek új eszközei a nemlineáris egyenletrendszerek kezelésének a geodéziában Egzakt megoldást szolgáltatnak a problémákra. Nincs szükség linearizálásra (csak a kovariancia mátrix meghatározásához), se kezdeti érték felvételére, se iterációkra. Alkalmazásuk a mai számítógépes algebrai szoftverek használatával nem jelent nehézséget.

Köszönöm a figyelmet!