Matematikai logika A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István

érték. Ha az ítélet hamis akkor 0 a logikai érték, ha igaz, akkor 1. Arisztotelész (ie. IV. század) egyik meghatározó műve a matematikai (vagy formális) logika alapjainak lerakása. Alapfogalmak Ítélet: egyszerű állítás, kijelentés, amelyhez egyértelműen tartozik egy logikai érték. Ha az ítélet hamis akkor 0 a logikai érték, ha igaz, akkor 1. A matematikai logikában eleve adottnak tekintjük a logikai értéket és azt keressük, hogy az ítéletekből képzett következtetések igaz vagy hamis volta hogyan függ az ítéletek logikai értékeitől. Logikai művelet: ítéletekhez ítéletek hozzárendelése, a művelet logikai érté- kének megadásával. Ha az adott logikai értékű ítéletekkel következtetéseket hajtunk végre (műveleteket végzünk), akkor a matematikai logikában azt tárgyaljuk, hogy egy logikai kifejezés logikai értéke (igaz vagy hamis volta) hogyan függ a művelet típusától és a benne szereplő íté- letek összes lehetséges logikai értékeitől. Az ítéleteket az ábécé nagybetűivel szokás jelölni. Például: A ítélet: Esik az eső. B ítélet: Fúj a szél. Művelet A-val és B-vel: Esik az eső és fúj a szél. Vagy: Ha esik az eső, akkor fúj a szél. Sokféle műveletet végezhetünk ítéletekkel. Ezek mind 3 alapműveletre vezethetők vissza.

Alapműveletek ítéletek között Az ítéletek közötti művelet definiálása azt jelenti,hogy megadjuk az „eredmény” (követ- keztetés) lehetséges logikai értékeit a kiindulási (bemenő) ítéletek logikai értékeinek összes lehetséges változatában. A.) Binér műveletek (Binér: két adott ítélethez rendelünk egy harmadikat.) 1. Diszjunkció (egyesítés) Definíció: Az A és B ítéletek diszjunkcióján azt a harmadik (C-vel jelölt) ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor hamis, ha A is és B is hamis, máskor igaz. Jelölése: A B = C, illetve lehet így is: A + B = C. Más fogalmazás: C igaz (logikai értéke 1), ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkettő igaz. A diszjunkciót szemléltethetjük táblázattal („igazságtábla”): Az igazságtáblázatokkal a matematikai logikai összefüggéseket egyszerűen tudjuk bizonyítani. 2. Konjunkció („közös rész”) Jelölése: A  B = C, illetve: A  B = C. Az A és B ítéletek konjunkciója az a (hozzájuk rendelt) C ítélet, amely akkor és csak akkor igaz, ha A is és B is igaz. Igazságtáblázata:

B.) Unáris művelet 3. Negáció Az A ítélet negációján azt az ítéletet értjük, amelynek logikai értéke ellentettje az A logikai értékének. Jelölés: Ā („á negált”). Tehát, ha A igaz,akkor Ā hamis, és ha A hamis, az Ā igaz. Így az igazságtábla is csak két oszlopból áll: Nyilvánvaló: a negált negáltja maga az eredeti ítélet: Szoktunk beszélni két speciális (egy logikai értékű) ítéletről, a mindig igaz (1) és a mindig hamis (0) ítéletről. Ekkor igaz a következő: (A biztosan igaz ítélet negáltja a biztosan hamis ítélet és fordítva). Példa: Igazságtáblázatok felhasználásával igazoljuk a következőt: Megoldás: elkészítjük a bal- és a jobboldal igazságértékeit az összes lehetséges ítélet érték kapcsolatra: Tehát a felírt egyenlőség azonosság. (Ez a De Morgan azonosság egyik alakja.) Az A és B logikai értékeinek minden lehetséges kapcsolatát számba vettük.

Az alapműveletek azonosságai Az alapazonosságok a halmazelméletben tárgyaltakkal teljesen analógok: Tautológia: 1. A+A=A 2. A·A=A Ha a halmazok-nál ezeket meg-jegyeztük, akkor csak ismétlünk. Kommutatívitás: 3. A+B=B+A 4. A·B=B·A Asszociatívitás: 5. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C 6. A·(B·C)=(A·B)·C=(A·B·C)=ABC Disztributívitás: 7. A(B+C)=AB+AC 8. A+B·C=(A+B)(A+C) Negáltra vonatkozó azonosságok: 9. A+ Ā=1 10. A· Ā=0 Speciális ítéletekre vonatkozó azonosságok: 11. A+1=1 12. A·0=0 13. A+0=A 14. A·1=A Példa: Bizonyítsuk a 8. azonosságot: A+B·C=(A+B)·(A+C). Az igazságtábla: 3 ítélet esetén a 2 igazságérték 8-féleképpen társítható. Külön előállítjuk mind a baloldal, mind a jobboldal összes lehetséges logikai értékeit. Ekkor a B·C sora: BC: 1 0 0 0 1 0 0 0 Minden esetben az egyenlőség bal- és jobboldalán megegyeznek a logikai értékek, a szabály igaz. Majd a baloldal: A+BC: 1 1 1 1 1 0 0 0 A jobboldalon: A+B: 1 1 1 1 1 1 0 0 és A+C: 1 1 1 1 1 0 1 0 Tehát: (A+B)(A+C): 1 1 1 1 1 0 0 0

További műveleti azonosságok 1. Beolvasztási (abszorpciós) szabály: A+AB=A és a duálja: A·(A+B)=A. 2. De Morgan azonosság: illetve: A dualitás elve ezeknél az azonosságoknál is érvényes! Példa: Bizonyítsuk be, hogy minden A és B ítéletre igaz: Az igazolást igazságtáblázattal végezzük. Az egyes elemi lépések összevonhatók: Látható, hogy az A és a B minden lehetséges igazságérték párjára a bal- és jobboldalon ugyanazokat az igazságértékeket kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a szabály általánosan igaz. További műveletek 1. Implikáció Az A és B ítéletek implikációján azt a C ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis. Jelölése: A  B = C Igazságtáblázattal:

Az implikáció nyelvi megfelelője a „ha A, akkor B” kapcsolat. Az implikáció alapműveletekkel helyettesíthető: AB = Ā+B. Ugyanis: A: 1 1 0 0 B: 1 0 1 0 Ā: 0 0 1 1 Ā+B: 1 0 1 1 Ez pedig azonos AB-vel: 2. Ekvivalencia Az A és B ítéletek ekvivalenciáján azt a C ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor igaz, ha A és B logikai értékei azonosak. Jelölése: AB=C. Igazságtáblázattal: A: 1 1 0 0 B: 1 0 1 0 AB: 1 0 0 1 Az ekvivalencia nyelvi megfelelője: „ha A, akkor és csak akkor B ”. Más szavakkal: ha A-ból következik B, akkor B-ből is következik A. Az ekvivalencia alapműveletre visszavezetését ismerjük. Így az ekvivalencia helyettesíthető: AB=(AB)(BA) Igazságtáblával: A: 1 1 0 0 B: 1 0 1 0 AB: 1 0 1 1 BA: 1 1 0 1 (AB) (BA): 1 0 0 1 Az ekvivalencia alapműveletekre is visszavezethető igazságtáblázattal:

A Boole algebra A halmazelmélet és a matematikai logika áttanulmányozása után egyértelműen láthatók az analógiák. George Boole (1815-1864) már hasonlókat a XIX. században felfedezett. Boole algebráról akkor beszélünk, ha egy H alaphalmaz részhalmazainak halmazán értelmezünk 3 műveletet, van két kitüntetett elem, és a műveletek az említett 14 alap- azonosságnak tesznek eleget. A Boole algebra elemei lehetnek egy halmaz összes részhalmazai, alkothatják ítéletek vagy események, vagy más objektumok. A Boole algebrát a közös lényeg megragadása miatt lehet teljesen elvontan, absztrakt módon is tárgyalni. A Boole algebrát alkalmazhatjuk elektromos áramkörökre is. Ez vezetett el az elektronikus számítógép meghatározó elemének, a bináris összeadó egységnek a létrehozásához. Konkrétumokat a bináris összeadó egységről a számítástudományi tárgyakban tanulhatunk. A fejezet tárgyalását befejeztük.