Matematika a zenében

A Fourier-elemzés Fourier-elemzésnek nevezett matematikai tételből következik, hogy minden periodikus rezgés megfelelő számú tiszta, színuszos részrezgés eredőjeként is felfogható. Ezeknek a részrezgéseknek a körfrekvenciái az előforduló legkisebb körfrekvencia egész számú többszörösei lesznek.

…mindez képlettel ahol n = 1, 2, 3, …. y(t) az elemzett periodikus rezgés pillanatbeli kitérése, αn az egyes részrezgések csúcsértéke, amplitúdója, ω0 = 2π x f0, ahol f0 az elemzett periodikus rezgés alapfrekvenciája, φn az egyes részrezgések kezdeti fázisszöge. Grafikonon ábrázolt rezgésciklusok:

A felhangsor A részhangok és a felhangsor fogalma nem más, mint ennek az összefüggésnek a hangok világára való alkalmazása. A felhangsor az akusztikus hangszereknél játszik szerepet, de vannak kivételek. Többek között a zongora, a hárfa és a gitár (bundozott). Ennek kapcsán írta J. S. Bach – Wohltemperiertes Klavier (= Jól hangolt zongora) c. művét. Az alábbi ábrán a „C” hang felhangsora látható.

A felhangsor Az előző ábrán látható felhangsor számozásából rezgésszám aránypárokat kapunk, melyekből megkapjuk a hangköz nagyságát (ti. a két hang rezgésszámának hányadosát, vagyis a két hang távolságát). Mindez fizikai szemszögből ábrázolva:

A felhangsor Nézzük tehát a legfontosabb hangközök aránypárjait! Az oktáv: Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 1:2 A zeneelmélet legfontosabb hangköze A hangrendszerekben a hangok magassági viszonyainak alapegysége Különböző népek, különböző korokban, eltérő módszerek alapján alakították ki hangrendszereiket, egy dolog azonban majdnem az összesben közös, hogy a hangok viszonya egymáshoz képest oktávonként megismétlődik Ennek fizikai magyarázata van, mivel az oktávot alkotó hangok jól szólnak együtt, hasonlítanak egymásra A különböző hangnemek skálái is az alaphangtól, az alaphang oktávhangjáig tartanak, mivel utána minden hangköz megismétli önmagát

A felhangsor A kvint A kvart Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 2:3 Ezt szokták a második legfontosabb hangköznek nevezni Ez is nagyon jól szól együtt, ezért hangzatok fontos alkotórésze Ilyen hangközzel hangolják a szomszédos húrokat a hegedűn a brácsán a csellón a mandolinon a német citerán A kvart Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 3:4 A kvint kiegészítő hangköze, mivel együtt egy oktávot tesznek ki (Hangközöket úgy tudunk összeadni, hogy a rezgésszámok arányát kifejező törteket összeszorozzuk) Erre hangolják a nagybőgő és a basszusgitár húrjait, illetve egy-egy hangköztől eltekintve a lant és a gitár húrjait is

A felhangsor A terc A szekund Ha a két hang rezgésszámának aránya 4:5, akkor a hangközt nagytercnek nevezzük Ha 5:6, akkor a hangközt kistercnek hívjuk Együtt egy kvintet alkotnak A szekund A második legkisebb hangköz (ti. a legkisebb hangköz a prím, de a gyakorlatban nem létezik, mivel hangközaránya 1:1) A szekundnak nincs meghatározott aránypárja A felhangsor 8. fokától „felfelé” már csak kis- és nagyszekundok vannak Két nagy szekund egy nagytercet alkot Egy kisszekund és egy nagyszekund együtt, egy kistercet alkot

A felhangsor Ez itt a természetes hétfokú hangsor. Attól természetes, hogy a természetes felhangrendszer darabjai fedezhetők fel benne, és attól hétfokú, hogy oktávonként hét hangból áll. Nézzük meg közelebbről, számozzuk meg a hangokat, majd írjuk le ezeket a sorszámneveket latinul:

A felhangsor Ábrázoljuk végül a felhangsort számegyenesen úgy, hogy feltűntetjük az aránypárok neveit is!

Zárógondolatok Mivel idén született 200 éve Liszt Ferenc, ezért nem fejezhetem be mással, mint pár szóval a zongora hangterjedelméről, és annak fejlődéséről. (A hangközöknél - így a hangterjedelemnél is - a hangok számába beleszámoljuk a kezdő- és záróhangot is) A klaviatúra terjedelme Christofori gravicembalo col pian e fortéján 1700 körül 4 és fél oktáv (54 hang). A klaviatúra terjedelme Silbermann, Stein zongoráin és az angol zongorákon az 1770-es évekig 5 oktáv (61 hang). Broadwood ért el előszőr 5 és fél oktáv terjedelmet 1792 körül (68 hang). A bécsi zongorák körében 1805 körül mindennapinak számított a 6 oktávos terjedelem (73 hang). Az angol zongorák 1805 körül általában 6 oktávos terjedelműek voltak (73 hang). Egy 18. század közepén készült zongora jellemző hangterjedelme 82 hang volt. Napjaink standard hangterjedelme 7 és 1/4 oktáv (88 hang) A Bösendorfer Imperial koncertzongoráknak 8 oktáv a hangterjedelme (97 hang)

Bibliográfia Források: http://www.mek.iif.hu/porta/szint/human/zene/kaboca01/html/dalla1.htm http://hu.wikipedia.org/wiki/Felhangsor John-Paul Williams : A Zongora Kiegészítve zenei tanulmányaimmal. /Kővári Gergő/

Készítették Joó Róbert (fizikai elméleti rész) Nádas László (fizikai elméleti rész) Kővári Gergő (egyéb zeneelméleti részek) 2011. február 9.