Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk. Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor az A halmazon értelmezett B-beli értékeket felvevő függvényről beszélünk. Az ilyen hozzárendelést egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. - ha akkor valós értékű függvényről, - ha akkor valós-valós függvényről beszélünk. Jelölés. , vagy Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk. Definíció. Két függvény egyenlősége: ha és

Függvények Példa. és és Definíció. Az függvény invertálható, ha a fordított hozzárendelés is függvény, azaz különböző képe különböző. Az ilyen hozzárendelést kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. A fordított hozzárendelést, - ha ez is függvény - az eredeti függvény inverz függvényének nevezzük. Jelölés. Tétel. Ha f invertálható, akkor is invertálható és . Következmény. Az eredeti függvény és az inverz függvényének grafikonja szimmetrikus az egyenesre.

Függvények Példa. , , nem invertálható, mert nem kölcsönösen egyértelmű. Ezért az értelmezési tartományát leszűkítjük olyan intervallumra, ahol már kölcsönösen egyértelmű lesz. Jelölés: , Ciklometrikus függvények (A trigonometrikus függvények inverzei) 1./ nem invertálható, ezért , ekkor és

Függvények 2./ nem invertálható, ezért , ekkor és 3./ nem invertálható, ezért , ekkor

Függvények Összetett függvények 4./ nem invertálható, ezért , ekkor és Definíció. Legyen f és g két olyan adott függvény, amelyekre ! Az függvényen értjük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya g értelmezési tartományának azon része, ahol g olyan értékeket vesz fel, amelyeken f értelmezve van. Az összetett függvény hozzárendelési szabálya:  

Függvények Példa. Legyen , . ; , . ; . ; . ; Függvények monotonitása Definíció. Az függvényt monoton növekedőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha -re, melyre , az ( -re, az ). Szigorúan monoton növekvő (csökkenő), ha -re melyre , az . ( -re )

Függvények Függvények korlátossága Definíció. Az függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha , hogy -re teljesül, hogy . Az függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha , hogy -re teljesül, hogy . Az függvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos. Periodikus függvények Definíció. Az függvény periodikus, ha szám, amelyre igaz, hogy 1./ esetén , 2./ -re . Ekkor p-t az f függvény periódusának nevezzük. Természetesen, ha p periódus, ennek bármely egész számszorosa is periódus.

Függvények határértéke Definíció. (torlódási pont) A P pontot a H halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha a P bármely környezete tartalmaz legalább egy P-től különböző H halmazbeli pontot. Elnevezés: A H halmaz torlódási pontjainak halmazát a H derivált halmazának nevezzük. Definíció: (végesben, véges határérték) Legyen függvény, és . Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban A , ha -hoz , hogy , amelyre igaz, hogy . Jelölés: , vagy , vagy , ha .

Függvények határértéke Definíció: Átviteli elv (végesben, véges határérték) Legyen függvény, és . Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban A , ha minden olyan -beli sorozatra, amelyre és igaz, hogy . Tétel: Az előbbi két definíció ekvivalens. Bizonyítás: nincs. Definíció: (végesben, végtelen határérték) Legyen függvény, és . Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban , ha -hoz , hogy , amelyre igaz, hogy . Jelölés: , vagy

Függvények határértéke További (összesen 9) határérték definíciókat adhatnánk meg, de a továbbiakban néhányat csak szemléltetünk előadáson. Definíció: (Kétoldali határérték) Legyen függvény , és . Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban jobbról A , ha -hoz , hogy , amelyre igaz, hogy . Jelölés: , vagy Megjegyzés: Baloldali határértékre a definíció hasonló. Tétel: Nyilvánvaló, hogy az ] a, b [ valamely x pontjában az f függvénynek a.cs.a. létezik határértéke, ha létezik bal- és jobboldali határértéke, és ezek megegyeznek.

Műveletek függvényekkel Definíció. Legyen és tegyük fel, hogy  . A két függvény 1./ összege az az f + g függvény, amelyre és 2./ szorzata az az függvény, amelyre és 3./ a g függvény reciproka, az az függvény, amelyre és .

Műveletek függvényekkel Tétel. Legyen és tegyük fel, hogy , továbbá és . Ekkor 1./ 2./ 3./ , ha Bizonyítás: Az átviteli elv miatt az állítások adódnak a sorozatok megfelelő tulajdonságaiból. Definíció. , azaz a valós számhalmazból és a , valamint a -ből áll.

Függvények folytonossága Tétel. Legyen Ekkor f a.cs.a. folytonos a-ban, ha 1./ f értelmezve van a-ban , 2./ Bizonyítás: nincs. Weierstrass-tétele Korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvény az értelmezési tartományán felveszi a legkisebb és legnagyobb értékét. Bolzano tétele Legyen f folytonos az [a, b] intervallumon és , vagy Ekkor van olyan c hely, amelyre < c < b, és .

Szakadások Definíció. Legyen , D( f ) = ] a, b [. Ha az f függvénynek az pontban szakadása van és , valamint létezik, akkor azt mondjuk, hogy f-nek elsőfajú szakadása van x-ben. Egyébként a szakadást másodfajúnak nevezzük. Megjegyzés: Az elsőfajú szakadás kétféle lehet: 1./ 2./ Ekkor azt mondjuk, hogy az x helyen f-nek megszüntethető szakadása van.

Nevezetes határértékek Tétel. Bizonyítás: előadáson Következmény: Bizonyítás: nincs.